Tập hợp con
Ví dụ 1: Xét hai tập hợp: $A=\left\{a; b; d\right\}$ và $B=\left\{a; b; c; d; e\right\}.$
Dễ dàng thấy rằng mọi phần tử của tập hợp $A$ đều thuộc tập hợp $B.$ Khi đó, ta nói $A$ là một tập hợp con của $B.$
🤔 Nếu mọi phần tử của tập hợp $A$ đều thuộc tập hợp $B$ thì ta nói $A$ là tập hợp con (hay tập con) của $B.$
🤔 Quy ước: Tập rỗng $\varnothing$ được coi là tập con của mọi tập hợp.
Câu hỏi 1: Cho hai tập hợp: $X=\left\{ 2; 5\right\}$ và $Y = \left\{x\in\mathbb{R} \;|\; x>1\right\}.$
Tập hợp $X$ có phải là tập con của tập hợp $Y$ không?
Hướng dẫn
Muốn biết $X$ có phải là tập con của $Y$ hay không, ta kiểm tra lần lượt từng phần tử của tập hợp $X$ có thuộc tập hợp $Y$ hay không.
+) Nếu mọi phần tử của tập hợp $X$ đều thuộc tập hợp $Y$ thì $X$ là tập con của $Y.$
+) Nếu có ít nhất một phần tử của tập hợp $X$ không thuộc tập hợp $Y$ thì $X$ không phải là tập con của $Y.$
Giải
Ta có: $2\in Y; 5\in Y$ (vì $2 > 1$ và $5>1).$
Vậy mọi phần tử của tập hợp $X$ đều thuộc tập hợp $Y$ nên $X$ là tập con của $Y.$
🤔 Nếu $A$ là tập con của $B,$ ta viết $A\subset B$ (đọc là $A$ chứa trong $B)$ hoặc $B\supset A$ (đọc là $B$ chứa $A).$
🤔 Nếu $A$ không phải là tập con của $B,$ ta viết $A \not\subset B.$
Câu hỏi 2: Cho tập hợp $S=\left\{2; 4; 6\right\}.$ Những tập hợp nào sau đây là tập con của $S?$
$S_1 = \left\{2\right\}; S_2=\left\{4; 6\right\}; S_3=\left\{2; 3; 4\right\}.$
Giải
$S_1 \subset S$ (vì mọi phần tử của $S_1$ đều thuộc $S).$
$S_2 \subset S$ (vì mọi phần tử của $S_2$ đều thuộc $S).$
$S_3 \not\subset S$ (vì có phần tử $3\in S_3$ nhưng $3\notin S).$
Câu hỏi 3: Cho $X$ là một tập hợp và $\varnothing$ là tập hợp rỗng. Mỗi phát biểu sau đây đúng hay sai?
a) $\varnothing \in X;$
b) $\varnothing \subset X;$
c) $X \subset X.$
Giải
a) SAI. Vì $\varnothing$ là một tập hợp chứ không phải là một phần tử, nên ta không dùng ký hiệu $\in.$
b) ĐÚNG. Vì $\varnothing$ là tập con của mọi tập hợp.
c) ĐÚNG. Hiển nhiên, vì mọi phần tử của $X$ đều thuộc $X.$
Trong toán học, người ta thường minh họa tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một đường cong kín (gọi là biểu đồ Ven). Theo cách này, ta có thể minh họa $A$ là tập con của $B$ như hình sau:
Chú ý: Mối quan hệ giữa các tập hợp số quen thuộc: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.$
Hai tập hợp bằng nhau
Hai tập hợp $A$ và $B$ được gọi là bằng nhau nếu mỗi phần tử của tập hợp $A$ đều thuộc $B$ và ngược lại, mỗi phần tử của tập hợp $B$ đều thuộc $A.$ Theo đó, để $A$ và $B$ bằng nhau thì $A\subset B$ và $B\subset A.$
🤔 Khi $A\subset B$ và $B\subset A$ thì ta nói hai tập hợp $A$ và $B$ bằng nhau, ký hiệu là $A=B.$
Ví dụ 2: Gọi $A$ là tập hợp các tam giác đều và $B$ là tập hợp các tam giác có ba cạnh bằng nhau. Khi đó, $A=B.$
Ví dụ 3: Nếu ba tập hợp $A, B, C$ thỏa mãn $A=B$ và $B=C$ thì $A=C.$
Thật vậy, vì $A=B$ nên mọi phần tử của $A$ đều thuộc $B$; vì $B=C$ nên mọi phần tử của $B$ đều thuộc $C.$ Do đó, mọi phần tử của $A$ đều thuộc $C.$ Bằng lập luận tương tự, ta cũng sẽ có: mọi phần tử của $C$ đều thuộc $A.$ Vậy $A=C.$
Câu hỏi 4: Xét hai tập hợp: $M = \left\{x\in\mathbb{N} \;|\; 0<x<3\right\}$ và $N=\left\{x\in\mathbb{N} \;|\; 2 \;\vdots\; x\right\}.$ Hai tập hợp này có bằng nhau không?
Giải
Ta có:
$M = \left\{x\in\mathbb{N} \;|\; 0<x<3\right\} = \left\{1; 2\right\};$
$N=\left\{x\in\mathbb{N} \;|\; 2\;\vdots\; x\right\} = \left\{1; 2\right\}.$
Vậy $M=N.$
Một số tập con của tập hợp số thực
Cho $a$ và $b$ là hai số thực, với $a<b.$
Trong các ký hiệu trên, ký hiệu $-\infty$ đọc là “âm vô cực” (hoặc “âm vô cùng”); ký hiệu $+\infty$ đọc là “dương vô cực” (hoặc “dương vô cùng”).
Chú ý: Khi dùng dấu ngoặc vuông thì tại đó xảy ra dấu bằng (=), khi dùng dấu ngoặc tròn thì tại đó không xảy ra dấu bằng (=). Thí dụ: $(3; 7]$ có nghĩa là tập hợp các số thực $x$ mà $3<x\leq 7.$
Câu hỏi 5: Dùng các ký hiệu đoạn, khoảng, nửa khoảng để viết các tập hợp sau:
$$\mathbf{a)}\; \left\{x\in\mathbb{R} \;|\; -2<x<3\right\};$$
$$\mathbf{b)}\; \left\{x\in\mathbb{R} \;|\; 1\leq x\leq 10\right\};$$
$$\mathbf{c)}\; \left\{x\in\mathbb{R} \;|\; -5< x\leq \sqrt{3}\right\};$$
$$\mathbf{d)}\; \left\{x\in\mathbb{R} \;|\; \pi \leq x<4\right\};$$
$$\mathbf{e)}\; \left\{x\in\mathbb{R} \;|\; x<\frac{1}{4}\right\};$$
$$\mathbf{g)}\; \left\{x\in\mathbb{R} \;|\; x\geq \frac{\pi}{2}\right\}.$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; \left\{x\in\mathbb{R} \;|\; -2<x<3\right\} = (-2; 3).$$
$$\mathbf{b)}\; \left\{x\in\mathbb{R} \;|\; 1\leq x\leq 10\right\} = [1; 10].$$
$$\mathbf{c)}\; \left\{x\in\mathbb{R} \;|\; -5< x\leq \sqrt{3}\right\} = (-5; \sqrt{3}].$$
$$\mathbf{d)}\; \left\{x\in\mathbb{R} \;|\; \pi \leq x<4\right\} = [\pi; 4).$$
$$\mathbf{e)}\; \left\{x\in\mathbb{R} \;|\; x<\frac{1}{4}\right\} = \left(-\infty; \frac{1}{4}\right).$$
$$\mathbf{g)}\; \left\{x\in\mathbb{R} \;|\; x\geq \frac{\pi}{2}\right\} = \left[ \frac{\pi}{2}; +\infty\right).$$