Bài tập TOÁN 11 (CT mới) – Chuyên đề GÓC LƯỢNG GIÁC.

Vì $1^o=\dfrac{\pi}{180} \;rad$ nên

+) $15^o=15\cdot \dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{12}\;(rad).$

+) $30^o=30\cdot \dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{6}\;(rad).$

+) $45^o=45\cdot \dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{4}\;(rad).$

+) $120^o=120\cdot \dfrac{\pi}{180}=\dfrac{2\pi}{3}\;(rad).$

+) $180^o=\pi\;(rad).$

+) $360^o=2\pi\;(rad).$

+) $540^o=540\cdot \dfrac{\pi}{180}=3\pi\;(rad).$

Vì $1\;(rad)=\left(\dfrac{180}{\pi}\right)^o$ nên:

+) $\dfrac{\pi}{6}\;(rad)=\dfrac{\pi}{6}\cdot \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^o=30^o.$

+) $\dfrac{\pi}{4}\;(rad)=\dfrac{\pi}{4}\cdot \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^o=45^o.$

+) $\dfrac{\pi}{3}\;(rad)=\dfrac{\pi}{3}\cdot \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^o=60^o.$

+) $\dfrac{\pi}{2}\;(rad)=\dfrac{\pi}{2}\cdot \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^o=90^o.$

+) $\dfrac{2\pi}{3}\;(rad)=\dfrac{2\pi}{3}\cdot \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^o=120^o.$

+) $\dfrac{3\pi}{4}\;(rad)=\dfrac{3\pi}{4}\cdot \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^o=135^o.$

+) $\pi\;(rad)=\pi\cdot \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^o=180^o.$

+) $2\pi\;(rad)=2\pi\cdot \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^o=360^o.$

Độ dài của cung tròn đó là: $l=R\alpha=36\cdot \dfrac{3\pi}{4}=27\pi\approx 84,8\;(m).$

Theo đề: $l=\dfrac{40}{3}\;cm,$ $R=20\;cm.$

Cần tìm $\alpha.$

Ta có: $l=R\alpha$

Suy ra: $\alpha=l\;:\;R=\dfrac{40}{3}:20=\dfrac{2}{3}\;(rad).$

a) Nếu cung tròn $AB$ chắn nửa đường tròn thì nó có số đo $180^o.$

b) Nếu cung tròn $AB$ chắn nửa đường tròn thì nó có độ dài là $\pi R.$

Mà một cung có độ dài là $R$ thì có số đo là $1\;rad.$

Suy ra cung tròn $AB$ chắn nửa đường tròn thì có số đo là $\pi\;rad.$

c) Từ kết quả câu a) và câu b), ta thấy $\pi\;rad$ tương ứng với $180^o.$

Suy ra một góc $\alpha\;rad$ tương ứng với $\left(\alpha\cdot 180 \;:\; \pi\right)^o=\alpha\left(\dfrac{180}{\pi}\right)^o.$

d) Từ kết quả câu a) và câu b), ta thấy $180^o$ tương ứng với $\pi\;rad.$

Suy ra một góc $\beta^o$ tương ứng với $\left(\beta\cdot \pi \;:\; 180\right)\;rad=\beta\left(\dfrac{\pi}{180}\right)\;rad.$

a) Một cung tròn có số đo là $1\;rad$ thì có độ dài là $R.$

b) Một cung tròn có số đo là $\alpha\;rad$ thì có độ dài là $\alpha R.$

Cung có số đo $35^o$ thì có số đo rađian là $\alpha=\dfrac{35\cdot \pi}{180}=\dfrac{7\pi}{36}.$

Bán kính của đường tròn đó là $R=\dfrac{20}{2}=10\;(cm).$

Độ dài cung tròn cần tính là: $l=R\alpha=10\cdot \dfrac{7\pi}{36}\approx 6,11\;(cm).$

Gọi $l, \alpha$ lần lượt là độ dài và số đo rađian của cung tròn đó. Gọi $R$ là bán kính của đường tròn.

Ta có: $l=\alpha R.$

Suy ra $\alpha = \dfrac{l}{R}.$

Theo đề, độ dài cung tròn bằng với đường kính của đường tròn, nên: $l=2R.$

Vậy $\alpha = \dfrac{l}{R}=\dfrac{2R}{R}=2\;(rad).$

Quay $2$ vòng trong $5$ giây, tức là quay góc $2\cdot 2\pi=4\pi\;(rad)$ trong $5$ giây.

Suy ra, trong $2$ giây, bánh xe quay được góc: $2\cdot 4\pi\;:\;5=\dfrac{8\pi}{5}\;(rad).$ Tương ứng với góc $288^o.$

Vì $72$ răng tương ứng với $360^o$ nên $10$ răng tương ứng với $\dfrac{10\cdot 360}{72}^o=50^o.$

Vì $72$ răng tương ứng với $2\pi$ rađian nên $10$ răng tương ứng với $\dfrac{10\cdot 2\pi}{72}=\dfrac{5\pi}{18}$ rađian.

Hai góc có cùng tia đầu và tia cuối thì sai khác nhau một bội của $2\pi.$

Ta thấy:

+) $\left(-\dfrac{29\pi}{7}\right)-\left(-\dfrac{\pi}{7}\right)=\dfrac{-28\pi}{7}=-4\pi=(-2)\cdot 2\pi$ là một bội của $2\pi.$

+) $\left(-\dfrac{22\pi}{7}\right)-\left(-\dfrac{\pi}{7}\right)=\dfrac{-21\pi}{7}=-3\pi$ không phải là một bội của $2\pi.$

+) $\dfrac{6\pi}{7}-\left(-\dfrac{\pi}{7}\right)=\pi$ không phải là một bội của $2\pi.$

+) $\dfrac{41\pi}{7}-\left(-\dfrac{\pi}{7}\right)=6\pi=3\cdot 2\pi$ là một bội của $2\pi.$

Do đó các góc $-\dfrac{29\pi}{7}$ và $\dfrac{41\pi}{7}$ là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với góc đã cho.

a) Khi quay đúng một vòng $(360^o$ hoặc $-360^o)$ thì trở về vị trí ban đầu.

Ta có: $765\;:\;360=2$ (dư $45)$

Suy ra: $765^o=45^o+2\cdot 360^o.$

Do đó, điểm biểu diễn góc lượng giác $765^o$ trùng với điểm biểu diễn góc lượng giác $45^o.$

Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác $765^o$ là điểm $M$ như trong hình sau:

b) Ta có: $-1350^o=90^o-4\cdot 360^o$

Do đó, điểm biểu diễn góc lượng giác $-1350^o$ trùng với điểm biểu diễn góc lượng giác $90^o.$

Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác $-1350^o$ là điểm $N$ như trong hình sau:

c) Khi quay đúng một vòng $(2\pi$ hoặc $-2\pi)$ thì trở về vị trí ban đầu.

Ta có: $\dfrac{15\pi}{2}=\dfrac{3\pi+12\pi}{2}=\dfrac{3\pi}{2}+6\pi=\dfrac{3\pi}{2}+3\cdot 2\pi.$

Do đó, điểm biểu diễn góc lượng giác $\dfrac{15\pi}{2}$ trùng với điểm biểu diễn góc lượng giác $\dfrac{3\pi}{2}.$

Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác $\dfrac{15\pi}{2}$ là điểm $N$ như trong hình vẽ sau:

d) Ta có: $-5\pi=\pi -6\pi=\pi-3\cdot 2\pi$

Do đó, điểm biểu diễn góc lượng giác $-5\pi$ trùng với điểm biểu diễn góc lượng giác $\pi.$

Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác $-5\pi$ là điểm $K$ như trong hình vẽ sau:

a) $\dfrac{\pi}{4}+k\pi\;\;(k\in\mathbb{Z}).$

Số nguyên $k$ có một trong hai dạng $k=2m$ (là số chẵn) hoặc $k=2m+1$ (là số lẻ) (với $m\in\mathbb{Z}).$

+) Nếu $k=2m$ thì $\dfrac{\pi}{4}+k\pi=\dfrac{\pi}{4}+m\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc lượng giác $\dfrac{\pi}{4}$ (được biểu diễn bởi điểm $M_1).$

+) Nếu $k=2m+1$ thì $\dfrac{\pi}{4}+(2m+1)\pi=\dfrac{5\pi}{4}+m\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc lượng giác $\dfrac{5\pi}{4}$ (được biểu diễn bởi điểm $M_2).$

b) $k\dfrac{\pi}{3}\;\;(k\in\mathbb{Z}).$

Số nguyên $k$ có một trong sáu dạng $k=6m,$ $k=6m+1,$ $k=6m+2,$ $k=6m+3,$ $k=6m+4,$ $k=6m+5$ (với $m\in\mathbb{Z}).$

+) Nếu $k=6m$ thì $k\dfrac{\pi}{3}=6m\dfrac{\pi}{3}=m\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc lượng giác $0$ (được biểu diễn bởi điểm $M_1).$

+) Nếu $k=6m+1$ thì $k\dfrac{\pi}{3}=(6m+1)\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+m\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc lượng giác $\dfrac{\pi}{3}$ (được biểu diễn bởi điểm $M_2).$

+) Nếu $k=6m+2$ thì $k\dfrac{\pi}{3}=(6m+2)\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}+m\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc lượng giác $\dfrac{2\pi}{3}$ (được biểu diễn bởi điểm $M_3).$

+) Nếu $k=6m+3$ thì $k\dfrac{\pi}{3}=(6m+3)\dfrac{\pi}{3}=\pi+m\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc lượng giác $\pi$ (được biểu diễn bởi điểm $M_4).$

+) Nếu $k=6m+4$ thì $k\dfrac{\pi}{3}=(6m+4)\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}+m\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc lượng giác $\dfrac{4\pi}{3}$ (được biểu diễn bởi điểm $M_5).$

+) Nếu $k=6m+5$ thì $k\dfrac{\pi}{3}=(6m+5)\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{3}+m\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc lượng giác $\dfrac{5\pi}{3}$ (được biểu diễn bởi điểm $M_6).$

c) $-\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}\;\;(k\in\mathbb{Z}).$

Số nguyên $k$ có một trong bốn dạng: $k=4m,$ $k=4m+1,$ $k=4m+2,$ $k=4m+3$ (với $k\in\mathbb{Z}).$

+) Nếu $k=4m$ thì $-\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{4}+4m\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{4}+m\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc lượng giác $-\dfrac{\pi}{4}$ (được biểu diễn bởi điểm $M_1).$

+) Nếu $k=4m+1$ thì $-\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{4}+(4m+1)\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{4}+m\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc lượng giác $\dfrac{\pi}{4}$ (được biểu diễn bởi điểm $M_2).$

+) Nếu $k=4m+2$ thì $-\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{4}+(4m+2)\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{3\pi}{4}+m\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc lượng giác $\dfrac{3\pi}{4}$ (được biểu diễn bởi điểm $M_3).$

+) Nếu $k=4m+3$ thì $-\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{4}+(4m+3)\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{5\pi}{4}+m\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc lượng giác $\dfrac{5\pi}{4}$ (được biểu diễn bởi điểm $M_4).$

Kim $OG$ chỉ số $9$ và kim $OP$ chỉ số $12$ nên $OG\perp OP.$ Quay từ $OG$ đến $OP$ là quay theo chiều kim đồng hồ, tức là theo chiều âm (-).

Vậy $(OG, OP)=-90^o+k360^o\;\;(k\in\mathbb{Z}).$

Kim phút quay hết một vòng trong $60$ phút, tức là quét góc $2\pi$ trong $60$ phút.

Suy ra: trong $40$ phút, kim phút quét một góc $\alpha_p=40\cdot 2\pi\;:\;60=\dfrac{4\pi}{3}.$

Độ dài của kim phút là $R_p=225\;cm.$

Vậy trong $40$ phút đầu tiên, kim phút vạch nên cung tròn có độ dài là: $l_p=\alpha_p\cdot R_p=\dfrac{4\pi}{3}\cdot 225=300\pi\approx 942,48\;(cm).$

Kim giờ quay một vòng hết $12\cdot 60=720$ phút, tức là quét góc $2\pi$ trong $720$ phút.

Suy ra: trong $40$ phút, kim giờ quét một góc $\alpha_g=40\cdot 2\pi\;:\;720=\dfrac{\pi}{9}.$

Độ dài kim giờ là $R_g=165\;cm.$

Vậy trong $40$ phút đầu tiên, kim giờ vạch nên cung tròn có độ dài là: $l_g=\alpha_g\cdot R_g=\dfrac{\pi}{9}\cdot 165\approx 57,60\;(cm).$

a) Theo chiều kim đồng hồ là theo chiều âm (-).

Khi tia $Om$ quay nửa vòng theo chiều kim đồng hồ thì nó đã quét một góc $-180^o.$ Lúc này, tia $Om$ là tia đối của tia $Oa.$

b) Ngược chiều kim đồng hồ là theo chiều dương (+).

Vì quay hết một vòng tròn sẽ quét góc $360^o$ nên quay $\dfrac{1}{4}$ vòng tròn sẽ quét góc $\dfrac{1}{4}\cdot 360^o=90^o.$

Vậy khi tia $Om$ quay $\dfrac{1}{4}$ vòng tròn ngược chiều kim đồng hồ thì nó đã quét một góc $90^o.$ Lúc này, tia $Om$ vuông góc với tia $Oa.$

c) Theo chiều kim đồng hồ là theo chiều âm (-).

Vì quay hết một vòng sẽ quét góc $360^o$ nên khi quay hết hai vòng sẽ quét góc $2\cdot 360^o=720^o.$

Vậy khi tia $Om$ quay hai vòng tròn theo chiều kim đồng hồ thì nó đã quét một góc $-720^o.$ Lúc này, tia $Om$ trùng với tia $Oa.$

+) $x=\dfrac{\pi}{3}+m\dfrac{\pi}{2}$

Số nguyên $m$ có một trong bốn dạng: $m=4m’,$ $m=4m’+1,$ $m=4m’+2,$ $m=4m’+3.$

Nếu $m=4m’$ thì $x=\dfrac{\pi}{3}+m’\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc $\dfrac{\pi}{3}.$

Nếu $m=4m’+1$ thì $x=\dfrac{5\pi}{6}+m’\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc $\dfrac{5\pi}{6}.$

Nếu $m=4m’+2$ thì $x=\dfrac{4\pi}{3}+m’\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc $\dfrac{4\pi}{3}.$

Nếu $m=4m’+3$ thì $x=\dfrac{11\pi}{6}+m’\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc $\dfrac{11\pi}{6}.$

+) $y=\dfrac{5\pi}{6}+n\pi$

Số nguyên $n$ có một trong hai dạng: $n=2n’$ hoặc $n=2n’+1.$

Nếu $n=2n’$ thì $y=\dfrac{5\pi}{6}+n’\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc $\dfrac{5\pi}{6}.$

Nếu $n=2n’+1$ thì $y=\dfrac{11\pi}{6}+n’\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc $\dfrac{11\pi}{6}.$

$\Rightarrow$ Như vậy, khi biểu diễn các góc lượng giác có dạng $x=\dfrac{\pi}{3}+m\dfrac{\pi}{2}$ và $y=\dfrac{5\pi}{6}+n\pi$ (với $m, n\in\mathbb{Z})$ lên đường tròn lượng giác, số điểm chung nhận được là $2$ điểm (tương ứng với các góc lượng giác $\dfrac{5\pi}{6}$ và $\dfrac{11\pi}{6}).$