Các bài tập sau đây phù hợp với cả ba bộ sách của chương trình Toán lớp 11 mới: CÁNH DIỀU, CHÂN TRỜI SÁNG TẠO, KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG.
Mức độ DỄ:
BT 1: Đổi số đo các góc sau đây sang rađian: $15^o,$ $30^o,$ $45^o,$ $120^o,$ $180^o,$ $360^o,$ $540^o.$
Vì $1^o=\dfrac{\pi}{180} \;rad$ nên
+) $15^o=15\cdot \dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{12}\;(rad).$
+) $30^o=30\cdot \dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{6}\;(rad).$
+) $45^o=45\cdot \dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{4}\;(rad).$
+) $120^o=120\cdot \dfrac{\pi}{180}=\dfrac{2\pi}{3}\;(rad).$
+) $180^o=\pi\;(rad).$
+) $360^o=2\pi\;(rad).$
+) $540^o=540\cdot \dfrac{\pi}{180}=3\pi\;(rad).$
BT 2: Đổi số đo các góc sau đây sang độ: $\dfrac{\pi}{6},$ $\dfrac{\pi}{4},$ $\dfrac{\pi}{3},$ $\dfrac{\pi}{2},$ $\dfrac{2\pi}{3},$ $\dfrac{3\pi}{4},$ $\pi,$ $2\pi.$
Vì $1\;(rad)=\left(\dfrac{180}{\pi}\right)^o$ nên:
+) $\dfrac{\pi}{6}\;(rad)=\dfrac{\pi}{6}\cdot \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^o=30^o.$
+) $\dfrac{\pi}{4}\;(rad)=\dfrac{\pi}{4}\cdot \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^o=45^o.$
+) $\dfrac{\pi}{3}\;(rad)=\dfrac{\pi}{3}\cdot \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^o=60^o.$
+) $\dfrac{\pi}{2}\;(rad)=\dfrac{\pi}{2}\cdot \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^o=90^o.$
+) $\dfrac{2\pi}{3}\;(rad)=\dfrac{2\pi}{3}\cdot \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^o=120^o.$
+) $\dfrac{3\pi}{4}\;(rad)=\dfrac{3\pi}{4}\cdot \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^o=135^o.$
+) $\pi\;(rad)=\pi\cdot \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^o=180^o.$
+) $2\pi\;(rad)=2\pi\cdot \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^o=360^o.$
BT 3: Một đường tròn có bán kính $36\;m.$ Tính độ dài cung tròn có số đo $\dfrac{3\pi}{4}$ của đường tròn đó.
Độ dài của cung tròn đó là: $l=R\alpha=36\cdot \dfrac{3\pi}{4}=27\pi\approx 84,8\;(m).$
BT 4: Tính số đo cung có độ dài của cung bằng $\dfrac{40}{3}\;cm$ trên đường tròn có bán kính $20\;cm.$
Theo đề: $l=\dfrac{40}{3}\;cm,$ $R=20\;cm.$
Cần tìm $\alpha.$
Ta có: $l=R\alpha$
Suy ra: $\alpha=l\;:\;R=\dfrac{40}{3}:20=\dfrac{2}{3}\;(rad).$
Mức độ TRUNG BÌNH:
BT 5: Cho đường tròn (O) tâm là $O,$ bán kính là $R;$ và một cung tròn $AB$ trên đường tròn đó.
a) Nếu cung tròn $AB$ chắn nửa đường tròn thì nó có số đo là bao nhiêu độ?
b) Biết rằng, nếu một cung có độ dài bằng $R$ thì cung đó có số đo bằng $1\;rad.$ Nếu cung tròn $AB$ chắn nửa đường tròn thì nó có số đo là bao nhiêu $rad?$
c) Một góc $\alpha\;rad$ thì có giá trị là bao nhiêu khi đổi sang độ?
d) Một góc $\beta^o$ thì có giá trị là bao nhiêu khi đổi sang $rad?$

a) Nếu cung tròn $AB$ chắn nửa đường tròn thì nó có số đo $180^o.$
b) Nếu cung tròn $AB$ chắn nửa đường tròn thì nó có độ dài là $\pi R.$
Mà một cung có độ dài là $R$ thì có số đo là $1\;rad.$
Suy ra cung tròn $AB$ chắn nửa đường tròn thì có số đo là $\pi\;rad.$
c) Từ kết quả câu a) và câu b), ta thấy $\pi\;rad$ tương ứng với $180^o.$
Suy ra một góc $\alpha\;rad$ tương ứng với $\left(\alpha\cdot 180 \;:\; \pi\right)^o=\alpha\left(\dfrac{180}{\pi}\right)^o.$
d) Từ kết quả câu a) và câu b), ta thấy $180^o$ tương ứng với $\pi\;rad.$
Suy ra một góc $\beta^o$ tương ứng với $\left(\beta\cdot \pi \;:\; 180\right)\;rad=\beta\left(\dfrac{\pi}{180}\right)\;rad.$
BT 6: Trên đường tâm $O,$ bán kính $R,$
a) Một cung tròn có số đo là $1\;rad$ thì có độ dài là bao nhiêu?
b) Một cung tròn có số đo là $\alpha\;rad$ thì có độ dài là bao nhiêu?
a) Một cung tròn có số đo là $1\;rad$ thì có độ dài là $R.$
b) Một cung tròn có số đo là $\alpha\;rad$ thì có độ dài là $\alpha R.$
BT 7: Một đường tròn có đường kính bằng $20\;cm.$ Tính độ dài cung (trên đường tròn đó) có số đo $35^o$ (làm tròn $2$ chữ số thập phân).
Cung có số đo $35^o$ thì có số đo rađian là $\alpha=\dfrac{35\cdot \pi}{180}=\dfrac{7\pi}{36}.$
Bán kính của đường tròn đó là $R=\dfrac{20}{2}=10\;(cm).$
Độ dài cung tròn cần tính là: $l=R\alpha=10\cdot \dfrac{7\pi}{36}\approx 6,11\;(cm).$
BT 8: Một cung tròn có độ dài bằng với đường kính của đường tròn. Số đo rađian của cung tròn đó là bao nhiêu?
Gọi $l, \alpha$ lần lượt là độ dài và số đo rađian của cung tròn đó. Gọi $R$ là bán kính của đường tròn.
Ta có: $l=\alpha R.$
Suy ra $\alpha = \dfrac{l}{R}.$
Theo đề, độ dài cung tròn bằng với đường kính của đường tròn, nên: $l=2R.$
Vậy $\alpha = \dfrac{l}{R}=\dfrac{2R}{R}=2\;(rad).$
BT 9: Một người đi xe đạp với vận tốc không đổi, biết rằng bánh xe đạp của người đi xe đạp quay được $2$ vòng trong $5$ giây. Tính góc (theo độ và rađian) mà bánh xe quay được trong $2$ giây.
Quay $2$ vòng trong $5$ giây, tức là quay góc $2\cdot 2\pi=4\pi\;(rad)$ trong $5$ giây.
Suy ra, trong $2$ giây, bánh xe quay được góc: $2\cdot 4\pi\;:\;5=\dfrac{8\pi}{5}\;(rad).$ Tương ứng với góc $288^o.$
BT 10: Một bánh xe có $72$ răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển $10$ răng là bao nhiêu độ, bao nhiêu rađian?
Vì $72$ răng tương ứng với $360^o$ nên $10$ răng tương ứng với $\dfrac{10\cdot 360}{72}^o=50^o.$
Vì $72$ răng tương ứng với $2\pi$ rađian nên $10$ răng tương ứng với $\dfrac{10\cdot 2\pi}{72}=\dfrac{5\pi}{18}$ rađian.
BT 11: Cho góc lượng giác $(Ou, Ov)$ có số đo $-\dfrac{\pi}{7}.$ Trong các số $-\dfrac{29\pi}{7},$ $-\dfrac{22\pi}{7},$ $\dfrac{6\pi}{7},$ $\dfrac{41\pi}{7},$ những số nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với góc đã cho?
Hai góc có cùng tia đầu và tia cuối thì sai khác nhau một bội của $2\pi.$
Ta thấy:
+) $\left(-\dfrac{29\pi}{7}\right)-\left(-\dfrac{\pi}{7}\right)=\dfrac{-28\pi}{7}=-4\pi=(-2)\cdot 2\pi$ là một bội của $2\pi.$
+) $\left(-\dfrac{22\pi}{7}\right)-\left(-\dfrac{\pi}{7}\right)=\dfrac{-21\pi}{7}=-3\pi$ không phải là một bội của $2\pi.$
+) $\dfrac{6\pi}{7}-\left(-\dfrac{\pi}{7}\right)=\pi$ không phải là một bội của $2\pi.$
+) $\dfrac{41\pi}{7}-\left(-\dfrac{\pi}{7}\right)=6\pi=3\cdot 2\pi$ là một bội của $2\pi.$
Do đó các góc $-\dfrac{29\pi}{7}$ và $\dfrac{41\pi}{7}$ là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với góc đã cho.
BT 12: Biểu diễn các góc lượng giác có số đo như sau trên đường tròn lượng giác:
a) $765^o.$
b) $-1350^o.$
c) $\dfrac{15\pi}{2}.$
d) $-5\pi.$
a) Khi quay đúng một vòng $(360^o$ hoặc $-360^o)$ thì trở về vị trí ban đầu.
Ta có: $765\;:\;360=2$ (dư $45)$
Suy ra: $765^o=45^o+2\cdot 360^o.$
Do đó, điểm biểu diễn góc lượng giác $765^o$ trùng với điểm biểu diễn góc lượng giác $45^o.$
Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác $765^o$ là điểm $M$ như trong hình sau:

b) Ta có: $-1350^o=90^o-4\cdot 360^o$
Do đó, điểm biểu diễn góc lượng giác $-1350^o$ trùng với điểm biểu diễn góc lượng giác $90^o.$
Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác $-1350^o$ là điểm $N$ như trong hình sau:

c) Khi quay đúng một vòng $(2\pi$ hoặc $-2\pi)$ thì trở về vị trí ban đầu.
Ta có: $\dfrac{15\pi}{2}=\dfrac{3\pi+12\pi}{2}=\dfrac{3\pi}{2}+6\pi=\dfrac{3\pi}{2}+3\cdot 2\pi.$
Do đó, điểm biểu diễn góc lượng giác $\dfrac{15\pi}{2}$ trùng với điểm biểu diễn góc lượng giác $\dfrac{3\pi}{2}.$
Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác $\dfrac{15\pi}{2}$ là điểm $N$ như trong hình vẽ sau:

d) Ta có: $-5\pi=\pi -6\pi=\pi-3\cdot 2\pi$
Do đó, điểm biểu diễn góc lượng giác $-5\pi$ trùng với điểm biểu diễn góc lượng giác $\pi.$
Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác $-5\pi$ là điểm $K$ như trong hình vẽ sau:

BT 13: Trên đường tròn lượng giác, hãy biểu diễn các góc lượng giác có số đo có dạng là:
a) $\dfrac{\pi}{4}+k\pi\;\;(k\in\mathbb{Z}).$
b) $k\dfrac{\pi}{3}\;\;(k\in\mathbb{Z}).$
c) $-\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}\;\;(k\in\mathbb{Z}).$
a) $\dfrac{\pi}{4}+k\pi\;\;(k\in\mathbb{Z}).$
Số nguyên $k$ có một trong hai dạng $k=2m$ (là số chẵn) hoặc $k=2m+1$ (là số lẻ) (với $m\in\mathbb{Z}).$
+) Nếu $k=2m$ thì $\dfrac{\pi}{4}+k\pi=\dfrac{\pi}{4}+m\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc lượng giác $\dfrac{\pi}{4}$ (được biểu diễn bởi điểm $M_1).$
+) Nếu $k=2m+1$ thì $\dfrac{\pi}{4}+(2m+1)\pi=\dfrac{5\pi}{4}+m\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc lượng giác $\dfrac{5\pi}{4}$ (được biểu diễn bởi điểm $M_2).$

b) $k\dfrac{\pi}{3}\;\;(k\in\mathbb{Z}).$
Số nguyên $k$ có một trong sáu dạng $k=6m,$ $k=6m+1,$ $k=6m+2,$ $k=6m+3,$ $k=6m+4,$ $k=6m+5$ (với $m\in\mathbb{Z}).$
+) Nếu $k=6m$ thì $k\dfrac{\pi}{3}=6m\dfrac{\pi}{3}=m\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc lượng giác $0$ (được biểu diễn bởi điểm $M_1).$
+) Nếu $k=6m+1$ thì $k\dfrac{\pi}{3}=(6m+1)\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+m\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc lượng giác $\dfrac{\pi}{3}$ (được biểu diễn bởi điểm $M_2).$
+) Nếu $k=6m+2$ thì $k\dfrac{\pi}{3}=(6m+2)\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}+m\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc lượng giác $\dfrac{2\pi}{3}$ (được biểu diễn bởi điểm $M_3).$
+) Nếu $k=6m+3$ thì $k\dfrac{\pi}{3}=(6m+3)\dfrac{\pi}{3}=\pi+m\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc lượng giác $\pi$ (được biểu diễn bởi điểm $M_4).$
+) Nếu $k=6m+4$ thì $k\dfrac{\pi}{3}=(6m+4)\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}+m\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc lượng giác $\dfrac{4\pi}{3}$ (được biểu diễn bởi điểm $M_5).$
+) Nếu $k=6m+5$ thì $k\dfrac{\pi}{3}=(6m+5)\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{3}+m\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc lượng giác $\dfrac{5\pi}{3}$ (được biểu diễn bởi điểm $M_6).$

c) $-\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}\;\;(k\in\mathbb{Z}).$
Số nguyên $k$ có một trong bốn dạng: $k=4m,$ $k=4m+1,$ $k=4m+2,$ $k=4m+3$ (với $k\in\mathbb{Z}).$
+) Nếu $k=4m$ thì $-\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{4}+4m\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{4}+m\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc lượng giác $-\dfrac{\pi}{4}$ (được biểu diễn bởi điểm $M_1).$
+) Nếu $k=4m+1$ thì $-\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{4}+(4m+1)\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{4}+m\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc lượng giác $\dfrac{\pi}{4}$ (được biểu diễn bởi điểm $M_2).$
+) Nếu $k=4m+2$ thì $-\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{4}+(4m+2)\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{3\pi}{4}+m\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc lượng giác $\dfrac{3\pi}{4}$ (được biểu diễn bởi điểm $M_3).$
+) Nếu $k=4m+3$ thì $-\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{4}+(4m+3)\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{5\pi}{4}+m\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc lượng giác $\dfrac{5\pi}{4}$ (được biểu diễn bởi điểm $M_4).$

Mức độ KHÓ:
BT 14: Một chiếc đồng hồ có kim chỉ giờ $OG$ chỉ số $9$ và kim chỉ phút $OP$ chỉ số $12.$ Tìm số đo của góc lượng giác $(OG, OP).$
Kim $OG$ chỉ số $9$ và kim $OP$ chỉ số $12$ nên $OG\perp OP.$ Quay từ $OG$ đến $OP$ là quay theo chiều kim đồng hồ, tức là theo chiều âm (-).

Vậy $(OG, OP)=-90^o+k360^o\;\;(k\in\mathbb{Z}).$
BT 15: Kim giờ và kim phút của một đồng hồ lớn có độ dài lần lượt là $165\;cm$ và $225\;cm.$ Hỏi trong $40$ phút đầu tiên, kim giờ và kim phút lần lượt vạch nên cung tròn có độ dài bao nhiêu mét?
Kim phút quay hết một vòng trong $60$ phút, tức là quét góc $2\pi$ trong $60$ phút.
Suy ra: trong $40$ phút, kim phút quét một góc $\alpha_p=40\cdot 2\pi\;:\;60=\dfrac{4\pi}{3}.$
Độ dài của kim phút là $R_p=225\;cm.$
Vậy trong $40$ phút đầu tiên, kim phút vạch nên cung tròn có độ dài là: $l_p=\alpha_p\cdot R_p=\dfrac{4\pi}{3}\cdot 225=300\pi\approx 942,48\;(cm).$
Kim giờ quay một vòng hết $12\cdot 60=720$ phút, tức là quét góc $2\pi$ trong $720$ phút.
Suy ra: trong $40$ phút, kim giờ quét một góc $\alpha_g=40\cdot 2\pi\;:\;720=\dfrac{\pi}{9}.$
Độ dài kim giờ là $R_g=165\;cm.$
Vậy trong $40$ phút đầu tiên, kim giờ vạch nên cung tròn có độ dài là: $l_g=\alpha_g\cdot R_g=\dfrac{\pi}{9}\cdot 165\approx 57,60\;(cm).$
BT 16: Cho điểm $O$ và tia $Oa$ cố định. Xét tia $Om$ có thể quay quanh gốc $O.$

Quy ước chiều quay ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương, cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm. Ban đầu, tia $Om$ trùng với tia $Oa.$ Hỏi tia $Om$ đã quét một góc bao nhiêu độ và ở vị trí nào so với tia $Oa,$ nếu:
a) tia $Om$ quay nửa vòng tròn theo chiều kim đồng hồ?
b) tia $Om$ quay $\dfrac{1}{4}$ vòng tròn ngược chiều kim đồng hồ?
c) tia $Om$ quay hai vòng tròn theo chiều kim đồng hồ?
a) Theo chiều kim đồng hồ là theo chiều âm (-).
Khi tia $Om$ quay nửa vòng theo chiều kim đồng hồ thì nó đã quét một góc $-180^o.$ Lúc này, tia $Om$ là tia đối của tia $Oa.$

b) Ngược chiều kim đồng hồ là theo chiều dương (+).
Vì quay hết một vòng tròn sẽ quét góc $360^o$ nên quay $\dfrac{1}{4}$ vòng tròn sẽ quét góc $\dfrac{1}{4}\cdot 360^o=90^o.$
Vậy khi tia $Om$ quay $\dfrac{1}{4}$ vòng tròn ngược chiều kim đồng hồ thì nó đã quét một góc $90^o.$ Lúc này, tia $Om$ vuông góc với tia $Oa.$

c) Theo chiều kim đồng hồ là theo chiều âm (-).
Vì quay hết một vòng sẽ quét góc $360^o$ nên khi quay hết hai vòng sẽ quét góc $2\cdot 360^o=720^o.$
Vậy khi tia $Om$ quay hai vòng tròn theo chiều kim đồng hồ thì nó đã quét một góc $-720^o.$ Lúc này, tia $Om$ trùng với tia $Oa.$
BT 17: Khi biểu diễn các góc lượng giác có dạng $x=\dfrac{\pi}{3}+m\dfrac{\pi}{2}$ và $y=\dfrac{5\pi}{6}+n\pi$ (với $m, n\in\mathbb{Z})$ lên đường tròn lượng giác, số điểm chung nhận được là bao nhiêu?
+) $x=\dfrac{\pi}{3}+m\dfrac{\pi}{2}$
Số nguyên $m$ có một trong bốn dạng: $m=4m’,$ $m=4m’+1,$ $m=4m’+2,$ $m=4m’+3.$
Nếu $m=4m’$ thì $x=\dfrac{\pi}{3}+m’\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc $\dfrac{\pi}{3}.$
Nếu $m=4m’+1$ thì $x=\dfrac{5\pi}{6}+m’\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc $\dfrac{5\pi}{6}.$
Nếu $m=4m’+2$ thì $x=\dfrac{4\pi}{3}+m’\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc $\dfrac{4\pi}{3}.$
Nếu $m=4m’+3$ thì $x=\dfrac{11\pi}{6}+m’\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc $\dfrac{11\pi}{6}.$
+) $y=\dfrac{5\pi}{6}+n\pi$
Số nguyên $n$ có một trong hai dạng: $n=2n’$ hoặc $n=2n’+1.$
Nếu $n=2n’$ thì $y=\dfrac{5\pi}{6}+n’\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc $\dfrac{5\pi}{6}.$
Nếu $n=2n’+1$ thì $y=\dfrac{11\pi}{6}+n’\cdot 2\pi$ có chung điểm biểu diễn với góc $\dfrac{11\pi}{6}.$
$\Rightarrow$ Như vậy, khi biểu diễn các góc lượng giác có dạng $x=\dfrac{\pi}{3}+m\dfrac{\pi}{2}$ và $y=\dfrac{5\pi}{6}+n\pi$ (với $m, n\in\mathbb{Z})$ lên đường tròn lượng giác, số điểm chung nhận được là $2$ điểm (tương ứng với các góc lượng giác $\dfrac{5\pi}{6}$ và $\dfrac{11\pi}{6}).$