$\S\;$ 1.1. ĐƠN VỊ ĐO GÓC: ĐỘ VÀ RADIAN. ĐỘ DÀI CUNG TRÒN.

Đây là bài số 1 trong tống số 9 bài của chuỗi bài viết [Bài học Toán 11 - Cơ bản - 01] HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.Đơn vị đo góc: độ và radian. Ở các lớp dưới, ta thường sử dụng độ làm đơn vị đo góc. Hãy nhớ lại rằng […]

Đây là bài số 1 trong tống số 9 bài của chuỗi bài viết [Bài học Toán 11 - Cơ bản - 01] HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.

Đơn vị đo góc: độ và radian.

Ở các lớp dưới, ta thường sử dụng độ làm đơn vị đo góc. Hãy nhớ lại rằng một góc bẹt thì có số đo là $180^o.$

Đơn vị đo góc: độ và radian.

Ngoài đơn vị độ, người ta còn sử dụng đơn vị radian (đọc là “ra-đi-an”, viết tắt là rad) làm đơn vị đo góc. Công thức quy đổi từ radian sang độ là:

$1$ rad $=\left(\dfrac{180}{\pi}\right)^o.$

Công thức trên tương đương với:

$\pi$ rad $=180^o.$

Vậy góc bẹt có số đo là $\pi$ rad.

Cách đổi độ sang radian.

Ví dụ 1:

a) Đổi $\dfrac{\pi}{3}$ rad sang độ.

b) Đổi $20^o$ sang radian.

Giải:

a) Vì $\pi$ rad $=180^o$ nên

$\dfrac{\pi}{3}$ rad $=\left(\dfrac{180}{3}\right)^o=60^o.$

b) Vì $180^o=\pi$ rad nên $1^o=\dfrac{\pi}{180}$ rad. Do đó:

$20^o=20\cdot\dfrac{\pi}{180}$ rad $=\dfrac{\pi}{9}$ rad.

Mẹo: Để đổi từ độ sang rad (hoặc ngược lại), chỉ cần ghi nhớ:

$\pi$ rad $=180^o.$

Xem rad và độ như hai đại lượng tỷ lệ thuận, ta áp dụng quy tắc “tam suất” để tìm số đo còn lại.

Chú ý: Khi viết số đo của một góc theo đơn vị radian, người ta thường bỏ chữ radian hoặc rad sau số đo. Chẳng hạn, $\dfrac{\pi}{2}$ rad được viết là $\dfrac{\pi}{2};$ $2$ rad được viết là $2.$

Sau đây là bảng chuyển đổi số đo độ và số đo radian của một số góc đặc biệt trong phạm vi từ $0^o$ đến $180^o:$

Bảng chuyển đổi độ sang radian

Độ dài cung tròn.

Xét đường tròn bán kính $R.$

Ta đã biết nửa đường tròn có độ dài là $\pi R$ và có số đo là $\pi$ rad (vì góc ở tâm chắn nửa đường tròn là một góc bẹt).

Độ dài cung tròn.

Do đó, cung có số đo $1$ rad thì có độ dài là $\dfrac{\pi R}{\pi}=R.$

Suy ra, cung có số đo $\alpha$ rad thì có độ dài là $l=\alpha R.$

Công thức tính độ dài cung tròn.

Ví dụ 2: Trên một đường tròn có bán kính $36$ m, một cung tròn có số đo $\dfrac{3\pi}{4}$ thì có độ dài là bao nhiêu?

Giải:

$R=36; \alpha =\dfrac{3\pi}{4}$ $\Rightarrow l=\alpha R=\dfrac{3\pi}{4}\cdot 36=27\pi\approx 84,8.$

Vậy độ dài cung tròn cần tìm là khoảng $84,8$ m.

Lưu ý: Trong công thức $l=\alpha R$ thì $l$ và $R$ có cùng đơn vị đo.

Ví dụ 3: Xét cung tròn có số đo $45^o$ của đường tròn bán kính $52$ cm. Tính độ dài của cung tròn này.

Hướng dẫn:

Trong công thức tính độ dài cung tròn (đã đề cập ở trên), số đo góc $\alpha$ có đơn vị là rad. Vì vậy, nếu gặp số đo góc ở đơn vị độ, ta phải đổi nó sang đơn vị rad (trước khi áp dụng công thức tính độ dài cung tròn).

Giải:

Vì $180^o=\pi$ nên $45^o=\dfrac{45\pi}{180}=\dfrac{\pi}{4}.$

$\alpha=\dfrac{\pi}{4}; R=52$ $\Rightarrow l=\alpha R=\dfrac{\pi}{4}\cdot 52=13\pi\approx 40,8.$

Vậy độ dài cung tròn cần tìm là khoảng $40,8$ cm.

Mở rộng số đo góc đến $360^o.$

Vì nửa đường tròn có số đo là $180^o$ (hay $\pi$ rad) nên một cách tự nhiên, ta nói toàn bộ đường tròn có số đo là $360^o$ (hay $2\pi$ rad). Theo đó, mỗi góc ở tâm bất kỳ sẽ chắn đường tròn thành hai cung có tổng số đo bằng $360^o$ (hay $2\pi$ rad).

Chẳng hạn, trên đường tròn bất kỳ, nếu một góc ở tâm chắn cung nhỏ góc $45^o$ thì cung lớn có số đo là $360^o-45^o=315^o.$

Mở rộng số đo góc đến 360 độ.

Ví dụ 4: Kim giờ và kim phút của một đồng hồ lớn có độ dài lần lượt là $165$ cm và $225$ cm. Hỏi trong $40$ phút đầu tiên, kim giờ và kim phút lần lượt vạch nên cung tròn có số đo là bao nhiêu và có độ dài là bao nhiêu?

Giải:

Kim phút:

Kim phút quay hết một vòng trong $60$ phút. Do đó, trong $60$ phút, kim phút vạch nên cung tròn có số đo là $2\pi.$

Suy ra, trong $40$ phút đầu tiên, kim phút vạch nên cung tròn có số đo là $\alpha_P=\dfrac{40\cdot 2\pi}{60}=\dfrac{4\pi}{3}.$

Độ dài của kim phút là: $R_P=225$ cm.

Vậy trong $40$ phút đầu tiên, kim phút vạch nên cung tròn có độ dài là: $l_P=\alpha_P\cdot R_P$ $=\dfrac{4\pi}{3}\cdot 225$ $=300\pi\approx 942,48$ (cm).

Kim giờ:

Kim giờ quay hết một vòng trong $12\cdot 60=720$ phút. Do đó, trong $720$ phút, kim giờ vạch nên cung tròn có số đo là $2\pi.$

Suy ra, trong $40$ phút đầu tiên, kim giờ vạch nên cung tròn có số đo là $\alpha_G=\dfrac{40\cdot 2\pi}{720}=\dfrac{\pi}{9}.$

Độ dài kim giờ là $R_G=165$ cm.

Vậy trong $40$ phút đầu tiên, kim giờ vạch nên cung tròn có độ dài là: $l_G=\alpha_G\cdot R_G=\dfrac{\pi}{9}\cdot 165\approx 57,60$ (cm).

Bài tập:

1)- Đổi số đo góc $15^o$ sang radian.

2)- Đổi số đo góc $\dfrac{4\pi}{3}$ sang độ.

3)- Một đường tròn có đường kính bằng $20$ cm. Tính độ dài cung (trên đường tròn đó) có số đo $35^o$ (làm tròn đến $2$ chữ số thập phân).

4)- Trên đường tròn có bán kính $20$ cm, một cung có độ dài bằng $\dfrac{40}{3}$ cm thì có số đo bằng bao nhiêu?

Giải:

1)- $15^o=\dfrac{15\pi}{180}=\dfrac{\pi}{12}$

2)- $\dfrac{4\pi}{3}=\left(\dfrac{4\cdot 180}{3}\right)^o=240^o.$

3)- Đường kính bằng $20$ cm nên bán kính bằng $10$ cm.

Đổi sang rad: $35^o=\dfrac{35\pi}{180}=\dfrac{7\pi}{36}.$

$R=10; \alpha=\dfrac{7\pi}{36}$ $\Rightarrow l=\alpha R=\dfrac{7\pi}{36}\cdot 10=\dfrac{35\pi}{18}\approx 6,11$

Vậy độ dài cung tròn cần tìm là khoảng $6,11$ cm.

4)- $R=20; l=\dfrac{40}{3}$ $\Rightarrow \alpha=l\;:\;R=\dfrac{40}{3}\;:\;20=\dfrac{2}{3}.$

Vậy số đo cung tròn cần tìm là $\dfrac{2}{3}$ rad.

Xem tiếp bài trong cùng Series$\S\;$ 1.2. GÓC LƯỢNG GIÁC. >>
Chia sẻ nếu thấy hay:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.