$\S\;$ 1.1. ĐƠN VỊ ĐO GÓC: ĐỘ VÀ RADIAN. ĐỘ DÀI CUNG TRÒN.

Ví dụ 1:

a) Đổi $\dfrac{\pi}{3}$ rad sang độ.

b) Đổi $20^o$ sang radian.

Giải:

a) Vì $\pi$ rad $=180^o$ nên

$\dfrac{\pi}{3}$ rad $=\left(\dfrac{180}{3}\right)^o=60^o.$

b) Vì $180^o=\pi$ rad nên $1^o=\dfrac{\pi}{180}$ rad. Do đó:

$20^o=20\cdot\dfrac{\pi}{180}$ rad $=\dfrac{\pi}{9}$ rad.

Mẹo: Để đổi từ độ sang rad (hoặc ngược lại), chỉ cần ghi nhớ:

$\pi$ rad $=180^o.$

Xem rad và độ như hai đại lượng tỷ lệ thuận, ta áp dụng quy tắc “tam suất” để tìm số đo còn lại.

Ví dụ 2: Trên một đường tròn có bán kính $36$ m, một cung tròn có số đo $\dfrac{3\pi}{4}$ thì có độ dài là bao nhiêu?

Giải:

$R=36; \alpha =\dfrac{3\pi}{4}$ $\Rightarrow l=\alpha R=\dfrac{3\pi}{4}\cdot 36=27\pi\approx 84,8.$

Vậy độ dài cung tròn cần tìm là khoảng $84,8$ m.

Lưu ý: Trong công thức $l=\alpha R$ thì $l$ và $R$ có cùng đơn vị đo.

Ví dụ 3: Xét cung tròn có số đo $45^o$ của đường tròn bán kính $52$ cm. Tính độ dài của cung tròn này.

Hướng dẫn:

Trong công thức tính độ dài cung tròn (đã đề cập ở trên), số đo góc $\alpha$ có đơn vị là rad. Vì vậy, nếu gặp số đo góc ở đơn vị độ, ta phải đổi nó sang đơn vị rad (trước khi áp dụng công thức tính độ dài cung tròn).

Giải:

Vì $180^o=\pi$ nên $45^o=\dfrac{45\pi}{180}=\dfrac{\pi}{4}.$

$\alpha=\dfrac{\pi}{4}; R=52$ $\Rightarrow l=\alpha R=\dfrac{\pi}{4}\cdot 52=13\pi\approx 40,8.$

Vậy độ dài cung tròn cần tìm là khoảng $40,8$ cm.

Ví dụ 4: Kim giờ và kim phút của một đồng hồ lớn có độ dài lần lượt là $165$ cm và $225$ cm. Hỏi trong $40$ phút đầu tiên, kim giờ và kim phút lần lượt vạch nên cung tròn có số đo là bao nhiêu và có độ dài là bao nhiêu?

Giải:

Kim phút:

Kim phút quay hết một vòng trong $60$ phút. Do đó, trong $60$ phút, kim phút vạch nên cung tròn có số đo là $2\pi.$

Suy ra, trong $40$ phút đầu tiên, kim phút vạch nên cung tròn có số đo là $\alpha_P=\dfrac{40\cdot 2\pi}{60}=\dfrac{4\pi}{3}.$

Độ dài của kim phút là: $R_P=225$ cm.

Vậy trong $40$ phút đầu tiên, kim phút vạch nên cung tròn có độ dài là: $l_P=\alpha_P\cdot R_P$ $=\dfrac{4\pi}{3}\cdot 225$ $=300\pi\approx 942,48$ (cm).

Kim giờ:

Kim giờ quay hết một vòng trong $12\cdot 60=720$ phút. Do đó, trong $720$ phút, kim giờ vạch nên cung tròn có số đo là $2\pi.$

Suy ra, trong $40$ phút đầu tiên, kim giờ vạch nên cung tròn có số đo là $\alpha_G=\dfrac{40\cdot 2\pi}{720}=\dfrac{\pi}{9}.$

Độ dài kim giờ là $R_G=165$ cm.

Vậy trong $40$ phút đầu tiên, kim giờ vạch nên cung tròn có độ dài là: $l_G=\alpha_G\cdot R_G=\dfrac{\pi}{9}\cdot 165\approx 57,60$ (cm).