$\S\;$ 1.2. GÓC LƯỢNG GIÁC.

Đây là bài số 2 trong tống số 9 bài của chuỗi bài viết [Bài học Toán 11 - Cơ bản - 01] HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.Góc quay của một tia. Trong mặt phẳng, khi tia $Om$ quay quanh gốc $O$ của nó, người ta quy ước chiều quay ngược chiều […]

Đây là bài số 2 trong tống số 9 bài của chuỗi bài viết [Bài học Toán 11 - Cơ bản - 01] HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.

Góc quay của một tia.

Trong mặt phẳng, khi tia $Om$ quay quanh gốc $O$ của nó, người ta quy ước chiều quay ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương, cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm.

Góc quay - Góc lượng giác.

Nếu tia $Om$ quay đúng một vòng theo chiều dương thì ta nói $Om$ quay một góc $360^o$ (hay $2\pi$ rad); quay đúng một vòng theo chiều âm thì ta nói $Om$ quay một góc $-360^o$ (hay $-2\pi$ rad).

Ví dụ 1:

a) Khi tia $Om$ quay nửa vòng theo chiều dương thì nó đã quay góc bao nhiêu độ? bao nhiêu radian?

b) Khi tia $Om$ quay $\dfrac{6}{5}$ vòng theo chiều âm thì nó đã quay góc bao nhiêu độ? bao nhiêu radian?

Giải:

a) Khi tia $Om$ quay nửa vòng theo chiều dương thì nó đã quay góc: $\dfrac{1}{2}\cdot 360^o=180^o$ (hay $\dfrac{1}{2}\cdot 2\pi=\pi$ rad).

b) Khi tia $Om$ quay $\dfrac{6}{5}$ vòng theo chiều âm thì nó đã quay góc: $\dfrac{6}{5}\cdot (-360^o)=-432^o$ (hay $\dfrac{6}{5}\cdot (-2\pi)=\dfrac{-12\pi}{5}$ rad).

Ví dụ 2: Một bánh xe có $72$ răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển $10$ răng là bao nhiêu độ? bao nhiêu radian?

Giải:

Ta có: $72$ răng tương ứng với $360^o$ (hay $2\pi).$

Do đó, số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển $10$ răng là: $\dfrac{10\cdot 360^o}{72}=50^o$ (hay $\dfrac{10\cdot 2\pi}{72}=\dfrac{5\pi}{18}).$

Góc lượng giác.

Cho trước hai tia $Oa, Ob.$

Nếu tia $Om$ quay quanh gốc $O$ của nó chỉ theo một chiều nhất định, bắt đầu từ vị trí tia $Oa$ và dừng lại ở vị trí tia $Ob$ thì tia nói tia $Om$ quét một góc lượng giác với tia đầu $Oa$ và tia cuối $Ob.$

Góc lượng giác.

Khi quay quanh $O,$ tia $Om$ có thể gặp tia $Ob$ nhiều lần, mỗi lần như vậy đều cho ta một góc lượng giác có tia đầu $Oa$ và tia cuối $Ob.$ Do đó, với hai tia $Oa,Ob$ cho trước, có vô số góc lượng giác với tia đầu $Oa$ và tia cuối $Ob.$ Mỗi góc lượng giác như thế đều được ký hiệu là $(Oa,Ob).$

Khi tia $Om$ quay một góc $\alpha$ (chỉ theo một chiều) thì ta nói góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo là $\alpha$ (đơn vị là độ hoặc rad). Vì vậy, mỗi góc lượng giác đều có một số đo. Nếu góc lượng giác $(Oa,Ob)$ có số đo là $\alpha$ thì ta viết $sđ(Oa,Ob)=\alpha.$

Chẳng hạn, hình sau đây thể hiện góc lượng giác $(Oa,Ob):$

Góc lượng giác có số đo dương.

Trong đó, tia $Om$ quay một góc $90^o$ và quay thêm một vòng nữa theo chiều dương nên $sđ(Oa,Ob)=90^o+360^o=450^o.$

Ví dụ 3: Tìm số đo của góc lượng giác $(Oa,Ob)$ thể hiện trong hình sau đây, biết góc hình học $\widehat{aOb}=\dfrac{\pi}{6}.$

Góc lượng giác có số đo âm.

Giải:

Ta thấy tia $Om$ quay một góc $-\dfrac{\pi}{6}$ và quay thêm hai vòng nữa theo chiều âm nên $sđ(Oa,Ob)=-\dfrac{\pi}{6}-2\cdot 2\pi=-\dfrac{25\pi}{6}.$

Số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối thì sai khác nhau một bội nguyên của $360^o$ (hay $2\pi).$ Do đó, nếu một góc lượng giác có số đo $a^o$ (hay $\alpha$ rad) thì các góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với nó đều có dạng: $a^o+k360^o$ (hay $\alpha+k2\pi),$ với $k$ là số nguyên.

Chú ý rằng không được viết $\alpha +k360^o$ hoặc $a^o+k2\pi,$ vì không cùng đơn vị đo.

Chẳng hạn, xét góc hình học $\widehat{sOt}=45^o$ như trong hình sau:

Khi đó:

+) Số đo của các góc lượng giác có tia đầu $Os,$ tia cuối $Ot$ đều có dạng: $45^o+k360^o$ với $k\in\mathbb{Z}.$

+) Số đo của các góc lượng giác có tia đầu $Ot,$ tia cuối $Os$ đều có dạng: $-45^o+m360^o$ với $m\in\mathbb{Z}.$

Ví dụ 4: Chứng minh rằng: với hai góc lượng giác có số đo lần lượt là $\dfrac{10\pi}{3}$ và $\dfrac{22\pi}{3},$ nếu chúng có cùng tia đầu thì có cùng tia cuối.

Giải:

Ta có: $\dfrac{22\pi}{3}-\dfrac{10\pi}{3}=4\pi=2\cdot 2\pi.$

Nghĩa là $\dfrac{10\pi}{3}$ và $\dfrac{22\pi}{3}$ sai khác nhau một bội nguyên của $2\pi.$

Do đó, với hai góc lượng giác có số đo lần lượt là $\dfrac{10\pi}{3}$ và $\dfrac{22\pi}{3},$ nếu chúng có cùng tia đầu thì có cùng tia cuối.

Bài tập:

1)- Cho góc lượng giác $(Ou,Ov)$ có số đo $-\dfrac{\pi}{7}.$ Trong các số $-\dfrac{29\pi}{7};$ $-\dfrac{22\pi}{7};$ $\dfrac{6\pi}{7};$ $\dfrac{41\pi}{7},$ những số nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với góc đã cho?

2)- Bánh xe của người đi xe đạp quay được $12$ vòng trong $5$ giây. Tính góc (theo độ và theo radian) mà bánh xe quay được trong $1$ giây.

Giải:

1)- Các số $-\dfrac{29\pi}{7}$ và $\dfrac{41\pi}{7}$ sai khác $-\dfrac{\pi}{7}$ một bội nguyên của $2\pi$ nên là số đo của góc lượng giác có cùng tia đầu $Ou$ và tia cuối $Ov.$

2)- Số vòng quay được trong $1$ giây là $\dfrac{12}{5}$ vòng, tương ứng với góc $\dfrac{12}{5}\cdot 360^o=864^o$ hay $\dfrac{12}{5}\cdot 2\pi=\dfrac{24\pi}{5}.$

Vậy bánh xe quay được góc $864^o$ hay $\dfrac{24\pi}{5}$ trong $1$ giây.

Xem tiếp bài trong cùng Series<< $\S\;$ 1.1. ĐƠN VỊ ĐO GÓC: ĐỘ VÀ RADIAN. ĐỘ DÀI CUNG TRÒN.$\S\;$ 1.3. HỆ THỨC CHALES (SA-LƠ). >>
Chia sẻ nếu thấy hay:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.