$\S\;$ 1.4. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC.

Đường tròn lượng giác.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ đường tròn tâm $O$ bán kính bằng $1$ được gọi là đường tròn lượng giác nếu nó nhận điểm $A(1;0)$ làm điểm gốc và được định hướng: chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ, chiều âm là chiều cùng chiều kim đồng hồ.

Cho $\alpha$ là số đo của một góc lượng giác. Nếu điểm $M$ trên đường tròn lượng giác thỏa mãn $sđ(OA,OM)=\alpha$ thì ta nói $M$ là điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo $\alpha.$

Chẳng hạn, xét điểm $M$ được thể hiện trong hình sau đây:

Ta thấy $sđ(OA,OM)=\dfrac{\pi}{2}+2\pi=\dfrac{5\pi}{2}$ nên điểm $M$ biểu diễn góc lượng giác có số đo $\dfrac{5\pi}{2}.$

Ví dụ 1: Xác định các điểm $M$ và $N$ trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn các góc lượng giác có số đo bằng $-\pi$ và $120^o.$

Giải:

Chú ý: Với $k\in\mathbb{Z},$ các góc lượng giác có số đo hơn kém nhau $k2\pi$ (hay $k360^o)$ thì có chung điểm biểu diễn. Điều này đồng nghĩa với: góc lượng giác có số đo $\alpha +k2\pi$ (hay $a^o+k360^o)$ thì có chung điểm biểu diễn với góc lượng giác có số đo $\alpha$ (hay $a^o).$

Chẳng hạn:

+) Ta thấy: $\dfrac{25\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}=6\pi=3\cdot 2\pi,$ nên các góc lượng giác có số đo là $\dfrac{25\pi}{4}$ và $\dfrac{\pi}{4}$ thì có chung điểm biểu diễn.

+) Ta thấy: $(-120^o)-(-1560^o)=1440^o=4\cdot 360^o,$ nên các góc lượng giác có số đo là $-120^o$ và $-1560^o$ thì có chung điểm biểu diễn.

Ví dụ 2: Trên đường tròn lượng giác, tìm điểm biểu diễn của các góc lượng giác có số đo sau:

a) $\dfrac{19\pi}{3}.$

b) $-405^o.$

Giải:

a) Ta có: $\dfrac{19\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+6\pi=\dfrac{\pi}{3}+3\cdot 2\pi.$

Do đó, điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo $\dfrac{19\pi}{3}$ trùng với điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo $\dfrac{\pi}{3}$ (là điểm $M$ trong hình sau).

b) Ta có: $-405^o =-(45^o+360^o)=-45^o-360^o.$

Do đó, điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo $-405^o$ trùng với điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo $-45^o$ (là điểm $N$ trong hình sau).

Giá trị lượng giác của góc lượng giác.

Trên đường tròn lượng giác, gọi $M(x_M;y_M)$ là điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo $\alpha.$ Ta định nghĩa:

• $\cos \alpha=x_M$ và gọi $\cos \alpha$ là cô-sin của $\alpha.$
• $\sin \alpha=y_M$ và gọi $\sin \alpha$ là sin của $\alpha.$
• $\tan \alpha=\dfrac{y_M}{x_M}=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ (khi $x_M\neq 0)$ và gọi $\tan\alpha$ là tang của $\alpha.$
• $\cot\alpha=\dfrac{x_M}{y_M}=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ (khi $y_M\neq 0)$ và gọi $\cot\alpha$ là cô-tang của $\alpha.$

Lưu ý: Góc lượng giác có số đo $\alpha$ thường được gọi tắt là góc lượng giác $\alpha$ và các giá trị $\cos\alpha, \sin\alpha, \tan\alpha, \cot\alpha$ được gọi là các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\alpha$ (hay đơn giản là các giá trị lượng giác của góc $\alpha).$

Ví dụ 3:

a) Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm $M$ biểu diễn góc lượng giác $30^o$ và điểm $N$ biểu diễn góc lượng giác $210^o.$

b) Tính các giá trị lượng giác của góc $30^o$ và các giá trị lượng giác của góc $210^o.$

Giải:

a)

b)

Các giá trị lượng giác của góc $30^o:$

$\cos 30^o=x_M=\dfrac{\sqrt{3}}{2};$ $\sin 30^o=y_M=\dfrac{1}{2};$ $\tan 30^o=\dfrac{\sin 30^o}{\cos 30^o}=\dfrac{1}{\sqrt{3}};$ $\cot 30^o=\dfrac{\cos 30^o}{\sin 30^o}=\sqrt{3}.$

Các giá trị lượng giác của góc $210^o:$

$\cos 210^o=x_N=-\dfrac{\sqrt{3}}{2};$ $\sin 210^o=y_N=-\dfrac{1}{2};$ $\tan 210^o=\dfrac{\sin 210^o}{\cos 210^o}=\dfrac{1}{\sqrt{3}};$ $\cot 210^o=\dfrac{\cos 210^o}{\sin 210^o}=\sqrt{3}.$

Mẹo: Với điểm $M$ biểu diễn góc lượng giác $\alpha$ thì:

+) $\cos\alpha$ là hoành độ của điểm $M$ (thể hiện trên trục $Ox$ nằm ngang).

+) $\sin\alpha$ là tung độ của điểm $M$ (thể hiện trên trục $Oy$ thẳng đứng).

+) $\tan\alpha$ và $\cot\alpha$ được tính thông qua $\cos\alpha$ và $\sin\alpha,$ dựa theo các công thức: $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha};$ $\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}.$

Nhận xét:

+) $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$ xác định với mọi $\alpha\in\mathbb{R};$ $\tan\alpha$ xác định khi $\cos\alpha\neq 0;$ $\cot\alpha$ xác định khi $\sin\alpha\neq 0.$

+) Vì các điểm trên đường tròn lượng giác có tung độ và hoành độ nằm trong khoảng từ $-1$ đến $1$ nên với mọi $\alpha\in\mathbb{R},$ ta có: $-1\leq\sin\alpha\leq 1$ và $-1\leq\cos\alpha\leq 1.$

Bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.

Sau đây là bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt trong phạm vi từ $0$ đến $\dfrac{\pi}{2}$ (hay $0^o$ đến $90^o):$

Bài tập:

1)- Trên đường tròn lượng giác, hãy xác định điểm $M$ biểu diễn góc $-45^o.$ Dựa vào đó để tính các giá trị lượng giác của góc $-45^o.$

2)- Trên đường tròn lượng giác, hãy xác định điểm $N$ biểu diễn góc $\dfrac{5\pi}{6}.$ Dựa vào đó để tính các giá trị lượng giác của góc $\dfrac{5\pi}{6}.$

Giải:

1)-

$\cos(-45^o)=x_M=\dfrac{\sqrt{2}}{2};$ $\sin(-45^o)=y_M=-\dfrac{\sqrt{2}}{2};$ $\tan(-45^o)=\dfrac{\sin(-45^o)}{\cos(-45^o)}=-1;$ $\cot(-45^o)=\dfrac{\cos(-45^o)}{\sin(-45^o)}=-1.$

2)-

$\cos\dfrac{5\pi}{6}=x_N=-\dfrac{\sqrt{3}}{2};$ $\sin\dfrac{5\pi}{6}=y_N=\dfrac{1}{2};$ $\tan\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{\sin\dfrac{5\pi}{6}}{\cos\dfrac{5\pi}{6}}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}};$ $\cot\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{\cos\dfrac{5\pi}{6}}{\sin\dfrac{5\pi}{6}}=-\sqrt{3}.$