$\S\;$ 1.5. XÉT DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC.

Đây là bài số 5 trong tống số 9 bài của chuỗi bài viết [Bài học Toán 11 - Cơ bản - 01] HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.Trên đường tròn lượng giác, gọi $M(x_M;y_M)$ là điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo $\alpha.$ Ta nhận thấy: +) Nếu $M$ […]

Đây là bài số 5 trong tống số 9 bài của chuỗi bài viết [Bài học Toán 11 - Cơ bản - 01] HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.

Trên đường tròn lượng giác, gọi $M(x_M;y_M)$ là điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo $\alpha.$

Xét dấu của các giá trị lượng giác.

Ta nhận thấy:

+) Nếu $M$ thuộc góc phần tư thứ nhất $(I)$ thì $x_M > 0$ và $y_M > 0,$ nên $\cos\alpha > 0$ và $\sin\alpha > 0.$ Suy ra, $\tan\alpha > 0$ và $\cot\alpha > 0.$

+) Nếu $M$ thuộc góc phần tư thứ hai $(II)$ thì $x_M < 0$ và $y_M > 0,$ nên $\cos\alpha < 0$ và $\sin\alpha > 0.$ Suy ra, $\tan\alpha < 0$ và $\cot\alpha < 0.$

+) Nếu $M$ thuộc góc phần tư thứ ba $(III)$ thì $x_M < 0$ và $y_M < 0,$ nên $\cos\alpha < 0$ và $\sin\alpha < 0.$ Suy ra, $\tan\alpha > 0$ và $\cot\alpha > 0.$

+) Nếu $M$ thuộc góc phần tư thứ tư $(IV)$ thì $x_M > 0$ và $y_M < 0,$ nên $\cos\alpha > 0$ và $\sin\alpha < 0.$ Suy ra, $\tan\alpha < 0$ và $\cot\alpha < 0.$

Tóm gọn các điều vừa nêu, ta có bảng xét dấu các giá trị lượng giác như sau:

Bảng xét dấu các giá trị lượng giác.

Chú ý: Trong phạm vi từ $0$ đến $2\pi$ (hay từ $0^o$ đến $360^o),$ nếu điểm $M$ biểu diễn góc lượng giác $\alpha$ (hay $a^o):$

  • trong khoảng từ $0$ đến $\dfrac{\pi}{2}$ (hay từ $0^o$ đến $90^o)$ thì $M$ thuộc góc phần tư thứ nhất $(I);$
  • trong khoảng từ $\dfrac{\pi}{2}$ đến $\pi$ (hay từ $90^o$ đến $180^o)$ thì $M$ thuộc góc phần tư thứ hai $(II);$
  • trong khoảng từ $\pi$ đến $\dfrac{3\pi}{2}$ (hay từ $180^o$ đến $270^o)$ thì $M$ thuộc góc phần tư thứ ba $(III);$
  • trong khoảng từ $\dfrac{3\pi}{2}$ đến $2\pi$ (hay từ $270^o$ đến $360^o)$ thì $M$ thuộc góc phần tư thứ tư $(IV);$

Ví dụ 1: Điểm biểu diễn góc lượng giác $\dfrac{3\pi}{4}$ thuộc góc phần tư thứ mấy? Dựa vào đó xét dấu các giá trị lượng giác của góc $\dfrac{3\pi}{4}.$

Giải:

Ta có $\dfrac{\pi}{2} < \dfrac{3\pi}{4} < \pi$ nên điểm biểu diễn góc lượng giác $\dfrac{3\pi}{4}$ thuộc góc phần tư thứ hai $(II).$

Do đó: $\cos\dfrac{3\pi}{4} < 0;$ $\sin\dfrac{3\pi}{4} > 0;$ $\tan\dfrac{3\pi}{4} < 0;$ $\cot\dfrac{3\pi}{4} < 0.$

Ví dụ 2: Xét dấu các giá trị lượng giác của góc $191^o.$

Giải:

Ta có $180^o<191^o<270^o$ nên điểm biểu diễn góc lượng giác $191^o$ thuộc góc phần tư thứ ba $(III).$

Do đó: $\cos 191^o < 0;$ $\sin 191^o < 0;$ $\tan 191^o > 0;$ $\cot 191^o > 0.$

Ví dụ 3: Chứng minh rằng góc lượng giác $-405^o$ có chung điểm biểu diễn với góc lượng giác $315^o.$ Dựa vào đó, hãy xét dấu các giá trị lượng giác của góc $-405^o.$

Giải:

Ta có $-405^o+2\cdot 360^o=315^o.$

Do đó, góc lượng giác $-405^o$ có chung điểm biểu diễn với góc lượng giác $315^o.$

Mặt khác, vì $270^o < 315^o < 360^o$ nên điểm biểu diễn góc $315^o$ thuộc góc phần tư thứ tư $(IV).$

Suy ra điểm biểu diễn góc $-405^o$ cũng thuộc góc phần tư thứ tư $(IV).$

Do đó: $\cos(-405^o) > 0;$ $\sin(-405^o) < 0;$ $\tan(-405^o) < 0;$ $\cot(-405^o) < 0.$

Ví dụ 4: Xét dấu các giá trị lượng giác của góc $\dfrac{14\pi}{3}.$

Giải:

Ta có: $\dfrac{14\pi}{3}-2\cdot 2\pi=\dfrac{2\pi}{3}.$

Do đó, góc $\dfrac{14\pi}{3}$ có chung điểm biểu diễn với góc $\dfrac{2\pi}{3}.$

Mặt khác, vì $\dfrac{\pi}{2} < \dfrac{2\pi}{3} < \pi$ nên điểm biểu diễn góc $\dfrac{2\pi}{3}$ thuộc góc phần tư thứ hai $(II).$

Suy ra điểm biểu diễn góc $\dfrac{14\pi}{3}$ cũng thuộc góc phần tư thứ hai $(II).$

Vậy $\cos\dfrac{14\pi}{3} < 0;$ $\sin\dfrac{14\pi}{3} > 0;$ $\tan\dfrac{14\pi}{3} < 0;$ $\cot\dfrac{14\pi}{3} < 0.$

Nhận xét: Bằng cách thêm hoặc bớt một bội nguyên của $2\pi$ (hoặc $360^o),$ ta có thể đưa việc xét dấu các giá trị lượng giác của một góc bất kỳ về việc xét dấu các giá trị lượng giác của góc $\alpha$ trong khoảng $0$ đến $2\pi.$

Bài tập:

1)- Xét dấu của các giá trị lượng giác sau: $\sin 65^o;$ $\cos 98^o;$ $\tan 289^o;$ $\cot 254^o.$

2)- Xét dấu của các giá trị lượng giác sau: $\tan\dfrac{5\pi}{6};$ $\sin\dfrac{7\pi}{4};$ $\cos\dfrac{11\pi}{8};$ $\cot\dfrac{3\pi}{8}.$

3)- Xét dấu của các giá trị lượng giác sau: $\cos 465^o;$ $\tan(-200^o);$ $\sin\left(-\dfrac{17\pi}{3}\right);$ $\cot\dfrac{19\pi}{4}.$

4)- Cho $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi.$ Xác định dấu của các biểu thức sau:

a) $\tan\left(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\right).$

b) $\sin\dfrac{14\pi}{9}\cdot \cot(\pi+\alpha).$

Giải:

1)- Điểm biểu diễn góc $65^o$ thuộc góc phần tư thứ $I$ nên $\sin 65^o > 0.$

Điểm biểu diễn góc $98^o$ thuộc góc phần tư thứ $II$ nên $\cos 98^o < 0.$

Điểm biểu diễn góc $289^o$ thuộc góc phần tư thứ $IV$ nên $\tan 289^o < 0.$

Điểm biểu diễn góc $254^o$ thuộc góc phần tư thứ $III$ nên $\cot 254^o > 0.$

2)- Điểm biểu diễn góc $\dfrac{5\pi}{6}$ thuộc góc phần tư thứ $II$ nên $\tan\dfrac{5\pi}{6} < 0.$

Điểm biểu diễn góc $\dfrac{7\pi}{4}$ thuộc góc phần tư thứ $IV$ nên $\sin\dfrac{7\pi}{4} < 0.$

Điểm biểu diễn góc $\dfrac{11\pi}{8}$ thuộc góc phần tư thứ $III$ nên $\cos\dfrac{11\pi}{8} < 0.$

Điểm biểu diễn góc $\dfrac{3\pi}{8}$ thuộc góc phần tư thứ $I$ nên $\cot\dfrac{3\pi}{8} > 0.$

3)- Ta có $465^o-360^o=105^o$ nên góc $465^o$ có chung điểm biểu diễn với góc $105^o$ (thuộc góc phần tư thứ $II).$ Do đó, $\cos 465^o = \cos 105^o < 0.$

Ta có $-200^o +360^o=160^o$ nên góc $-200^o$ có chung điểm biểu diễn với góc $160^o$ (thuộc góc phần tư thứ $II).$ Do đó, $\tan(-200^o)=\tan 160^o < 0.$

Ta có $-\dfrac{17\pi}{3}+3\cdot 2\pi=\dfrac{\pi}{3}$ nên góc $-\dfrac{17\pi}{3}$ có chung điểm biểu diễn với góc $\dfrac{\pi}{3}$ (thuộc góc phần tư thứ $I).$ Do đó, $\sin\left(-\dfrac{17\pi}{3}\right)=\sin\dfrac{\pi}{3} > 0.$

Ta có $\dfrac{19\pi}{4}-2\cdot 2\pi=\dfrac{3\pi}{4}$ nên góc $\dfrac{19\pi}{4}$ có chung điểm biểu diễn với góc $\dfrac{3\pi}{4}$ (thuộc góc phần tư thứ $II).$ Do đó, $\cot\dfrac{19\pi}{4}=\cot\dfrac{3\pi}{4} < 0.$

4)-

a)

Theo đề: $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ $\Leftrightarrow -\dfrac{pi}{2} > -\alpha > -\pi$ $\Leftrightarrow \dfrac{3\pi}{2}-\dfrac{pi}{2} > \dfrac{3\pi}{2}-\alpha > \dfrac{3\pi}{2}-\pi$ $\Leftrightarrow \pi > \dfrac{3\pi}{2}-\alpha > \dfrac{pi}{2}.$

Vậy góc $\dfrac{3\pi}{2}-\alpha$ có điểm biểu diễn thuộc góc phần tư thứ $II.$

Suy ra $\tan\left(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\right) < 0.$

b)

Theo đề: $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ $\Leftrightarrow \pi+\dfrac{\pi}{2} < \pi+\alpha < \pi+\pi$ $\Leftrightarrow \dfrac{3\pi}{2} < \pi+\alpha < 2\pi.$

Vậy góc $\pi+\alpha$ có điểm biểu diễn thuộc góc phần tư thứ $IV.$

Suy ra $\cot(\pi+\alpha) < 0.$

Mặt khác, vì góc $\dfrac{14\pi}{9}$ có điểm biểu diễn thuộc góc phần tư thứ $IV$ nên $\sin\dfrac{14\pi}{9} < 0.$

Từ đó ta suy ra: $\sin\dfrac{14\pi}{9}\cdot \cot(\pi+\alpha) > 0.$

Xem tiếp bài trong cùng Series<< $\S\;$ 1.4. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC.$\S\;$ 1.6. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT. >>
Chia sẻ nếu thấy hay:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.