$\S\;$ 1.6. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT.

Đây là bài số 6 trong tống số 9 bài của chuỗi bài viết [Bài học Toán 11 - Cơ bản - 01] HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.Trong bài này, ta đi tìm mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc có liên quan đặc biệt (đối nhau, […]

Đây là bài số 6 trong tống số 9 bài của chuỗi bài viết [Bài học Toán 11 - Cơ bản - 01] HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.

Trong bài này, ta đi tìm mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc có liên quan đặc biệt (đối nhau, bù nhau, phụ nhau và hơn kém $\pi), với giả thiết rằng các giá trị lượng giác kể ra trong những phần sau đây đều xác định.

Hai góc đối nhau $(\alpha$ và $-\alpha).$

Hai góc có tổng bằng $0$ được gọi là hai góc đối nhau. Góc đối của góc $\alpha$ được ký hiệu là $-\alpha.$

Nếu điểm $M(x_M; y_M)$ biểu diễn góc $\alpha$ và điểm $N(x_N; y_N)$ biểu diễn góc $-\alpha$ thì ta thấy $x_N=x_M$ và $y_N=-y_M$ (các điểm $M, N$ đối xứng với nhau qua trục $Ox).$

Giá trị lượng giác của hai góc đối nhau.

Do đó: $\cos(-\alpha)=\cos\alpha;$ $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha;$ $\tan(-\alpha)=\dfrac{y_N}{x_N}=\dfrac{-y_M}{x_M}=-\dfrac{y_M}{x_M}=-\tan\alpha;$ $\cot(-\alpha)=\dfrac{x_N}{y_N}=\dfrac{x_M}{-y_M}=-\dfrac{x_M}{y_M}=-\cot\alpha.$

Tóm lại:

$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha;$

$\cos(-\alpha)=\cos\alpha;$

$\tan(-\alpha)=-\tan\alpha;$

$\cot(-\alpha)=-\cot\alpha.$

Nhận xét: $\cos$ của hai góc đối nhau thì bằng nhau (dòng màu đỏ).

Ví dụ 1: Tính các giá trị lượng giác của góc $-\dfrac{\pi}{4}$ dựa vào các giá trị lượng giác của góc $\dfrac{\pi}{4}.$

Giải:

$\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\sin\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$

$\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$

$\tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\tan\dfrac{\pi}{4}=-1.$

$\cot\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\cot\dfrac{\pi}{4}=-1.$

Hai góc bù nhau $(\alpha$ và $\pi-\alpha).$

Hai góc có tổng bằng $\pi$ được gọi là hai góc bù nhau. Như vậy, góc bù với góc $\alpha$ là góc $\pi-\alpha.$

Nếu điểm $M(x_M;y_M)$ biểu diễn góc $\alpha$ và điểm $N(x_N;y_N)$ biểu diễn góc $\pi-\alpha$ thì $y_N=y_M$ và $x_N=-x_M$ (các điểm $M,N$ đối xứng với nhau qua trục $Oy).$

Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau.

Do đó:

$\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha;$

$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha;$

$\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha;$

$\cot(\pi-\alpha)=-\cot\alpha.$

Nhận xét: $\sin$ của hai góc bù nhau thì bằng nhau (dòng màu đỏ).

Ví dụ 2: Tìm góc bù với góc $\dfrac{2\pi}{3}.$ Dựa vào đó để tính các giá trị lượng giác của góc $\dfrac{2\pi}{3}.$

Giải:

Góc bù với góc $\dfrac{2\pi}{3}$ là góc $\pi-\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}.$

Vì $\dfrac{2\pi}{3}$ và $\dfrac{\pi}{3}$ là hai góc bù nhau nên:

$\sin\dfrac{2\pi}{3}=\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2};$

$\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\cos\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}.$

$\tan\dfrac{2\pi}{3}=-\tan\dfrac{\pi}{3}=-\sqrt{3}.$

$\cot\dfrac{2\pi}{3}=-\cot\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$

Hai góc hơn kém $\pi$ $(\alpha$ và $\alpha+\pi).$

Hai góc có hiệu bằng $\pi$ hoặc $-\pi$ được gọi là hai góc hơn kém $\pi.$ Vậy hai góc $\alpha$ và $\alpha+\pi$ là hai góc hơn kém $\pi.$

Nếu điểm $M(x_M;y_M)$ biểu diễn góc $\alpha$ và điểm $N(x_N;y_N)$ biểu diễn góc $\alpha+\pi$ thì $y_N=-y_M$ và $x_N=-x_M$ (các điểm $M,N$ đối xứng với nhau qua gốc tọa độ $O).$

Giá trị lượng giác của hai góc hơn kém pi.

Do đó:

$\cos(\alpha+\pi)=-\cos\alpha;$

$\sin(\alpha+\pi)=-\sin\alpha;$

$\tan(\alpha+\pi)=\tan\alpha;$

$\cot(\alpha+\pi)=\cot\alpha.$

Nhận xét: $\tan$ và $\cot$ của hai góc hơn kém $\pi$ thì bằng nhau (dòng màu đỏ).

Ví dụ 3: Tính các giá trị lượng giác của góc $\dfrac{7\pi}{6}.$

Giải:

Để ý rằng $\dfrac{7\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}+\pi,$ ta có:

$\sin\dfrac{7\pi}{6}=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}+\pi\right)=-\sin\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{1}{2}.$

$\cos\dfrac{7\pi}{6}=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}+\pi\right)=-\cos\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

$\tan\dfrac{7\pi}{6}=\tan\left(\dfrac{\pi}{6}+\pi\right)=\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$

$\cot\dfrac{7\pi}{6}=\cot\left(\dfrac{\pi}{6}+\pi\right)=\cot\dfrac{\pi}{6}=\sqrt{3}.$

Hai góc phụ nhau $(\alpha$ và $\dfrac{\pi}{2}-\alpha).$

Hai góc có tổng bằng $\dfrac{\pi}{2}$ được gọi là hai góc phụ nhau. Như vậy, góc phụ với góc $\alpha$ là góc $\dfrac{\pi}{2}-\alpha.$

Nếu điểm $M(x_M;y_M)$ biểu diễn góc $\alpha$ và điểm $N(x_N;y_N)$ biểu diễn góc $\dfrac{\pi}{2}-\alpha$ thì $y_N=x_M$ và $x_N=y_M$ (các điểm $M,N$ đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc $xOy).$

Giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau.

Do đó:

$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha;$

$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha;$

$\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cot\alpha;$

$\cot\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\tan\alpha.$

Nhận xét: Với hai góc phụ nhau, $\sin$ biến thành $\cos$ (và ngược lại); $\tan$ biến thành $\cot$ (và ngược lại). Ta có thể gọi đây là “chéo giá trị”.

Ví dụ 4: Tìm góc phụ với góc $\dfrac{3\pi}{10}.$ Dựa vào đó để tính giá trị biểu thức sau: $\dfrac{\sin\dfrac{\pi}{5}}{\sin\dfrac{3\pi}{10}}\cdot\cot\dfrac{\pi}{5}.$

Giải:

Góc phụ với $\dfrac{3\pi}{10}$ là góc $\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{3\pi}{10}=\dfrac{\pi}{5}.$

Vì $\dfrac{3\pi}{10}$ và $\dfrac{\pi}{5}$ là hai góc phụ nhau nên $\sin\dfrac{3\pi}{10}=\cos\dfrac{\pi}{5}.$

Do đó: $\dfrac{\sin\dfrac{\pi}{5}}{\sin\dfrac{3\pi}{10}}\cdot\cot\dfrac{\pi}{5}$ $=\dfrac{\sin\dfrac{\pi}{5}}{\cos\dfrac{\pi}{5}}\cdot\dfrac{\cos\dfrac{\pi}{5}}{\sin\dfrac{\pi}{5}}$ $=1.$

Cách tính giá trị lượng giác của góc nằm ngoài khoảng $0$ đến $\dfrac{\pi}{2}.$

Nhờ các công thức đã nêu phía trên, ta có thể đưa việc tính giá trị lượng giác của một góc bất kỳ về việc tính giá trị lượng giác của góc $\alpha,$ với $0\leq\alpha\leq\dfrac{\pi}{2}.$

Một mẹo để nhớ tất cả các công thức vừa nêu là ghi nhớ câu:

cos đối – sin bù – phụ chéo – hơn kém $\pi$ tan, cot“.

Trong đó, “cos đối” nghĩa là cos hai góc đối nhau thì bằng nhau – “sin bù” nghĩa là sin hai góc đối nhau thì bằng nhau – “phụ chéo” nghĩa là chéo giá trị với hai góc phụ nhau (sin thành cos và cos thành sin) – “hơn kém $\pi$ tan, cot” nghĩa là tan và cot của hai góc hơn kém $\pi$ thì bằng nhau.

Ví dụ 5: Tính $\cos\left(-\dfrac{31\pi}{6}\right)$ và $\tan\left(-\dfrac{31\pi}{6}\right).$

Giải:

+) $\cos\left(-\dfrac{31\pi}{6}\right)$ $=\cos\dfrac{31\pi}{6}$ $=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}+5\pi\right)$ $=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}+\pi\right)$ $=-\cos\dfrac{\pi}{6}$ $=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

+) $\tan\left(-\dfrac{31\pi}{6}\right)$ $=-\tan\dfrac{31\pi}{6}$ $=-\tan\left(\dfrac{\pi}{6}+5\pi\right)$ $=-\tan\left(\dfrac{\pi}{6}+\pi\right)$ $=-\tan\dfrac{\pi}{6}$ $=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$

Ví dụ 6: Tính $M=\sin\dfrac{15\pi}{4}$ và $N=\tan\dfrac{15\pi}{4}.$

Giải:

+) $M=\sin\dfrac{15\pi}{4}$ $=\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}+3\pi\right)$ $=\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}+\pi\right)$ $=-\sin\dfrac{3\pi}{4}$

Góc bù với góc $\dfrac{3\pi}{4}$ là góc $\pi-\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}.$ Do đó: $\sin\dfrac{3\pi}{4}=\sin\dfrac{\pi}{4}.$

Vậy $M=-\sin\dfrac{\pi}{4}$ $=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$

+) $N=\tan\dfrac{15\pi}{4}$ $=\tan\left(\dfrac{3\pi}{4}+3\pi\right)$ $=\tan\left(\dfrac{3\pi}{4}+\pi\right)$ $=\tan\dfrac{3\pi}{4}$ $=-\tan\dfrac{\pi}{4}$ $=-1.$

Lưu ý: Trong các công thức đã nêu phía trên, khi thay góc $\alpha$ bởi $a^o$ thì phải thay $\pi$ bởi $180^o.$

Ví dụ 7: Tính $\sin(-570^o).$

Giải:

$\sin(-570^o)$ $=-\sin 570^o$ $=-\sin(30^o+3\cdot 180^o)$ $=-\sin(30^o+180^o)$ $=\sin 30^o$ $=\dfrac{1}{2}.$

Bài tập:

1)- Tính: $\sin\dfrac{31\pi}{6};$ $\cos\dfrac{26\pi}{3};$ $\tan\left(-\dfrac{25\pi}{4}\right);$ $\cot\left(-\dfrac{21\pi}{4}\right).$

2)- Biểu diễn các giá trị lượng giác sau qua các giá trị lượng giác của góc có số đo từ $0^o$ đến $45^o:$ $\tan 368^o;$ $\sin 2550^o;$ $\cos(-188^o);$ $\cos 638^o;$ $\cos 98^o.$

Giải:

1)-

$\sin\dfrac{31\pi}{6}=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}+5\pi\right)$ $=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}+\pi\right)$ $=-\sin\dfrac{\pi}{6}$ $=-\dfrac{1}{2};$

$\cos\dfrac{26\pi}{3}=\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}+8\pi\right)$ $=\cos\dfrac{2\pi}{3}$ $=-\cos\left(\pi-\dfrac{2\pi}{3}\right)$ $=-\cos\dfrac{\pi}{3}$ $=-\dfrac{1}{2};$

$\tan\left(-\dfrac{25\pi}{4}\right)=-\tan\dfrac{25\pi}{4}$ $=-\tan\left(\dfrac{\pi}{4}+6\pi\right)$ $=-\tan\dfrac{\pi}{4}=-1;$

$\cot\left(-\dfrac{21\pi}{4}\right)=-\cot\dfrac{21\pi}{4}$ $=-\cot\left(\dfrac{\pi}{4}+5\pi\right)$ $=-\cot\left(\dfrac{\pi}{4}+\pi\right)$ $=-\cot\dfrac{\pi}{4}=-1.$

2)-

$\tan 368^o=\tan(8^o+360^o)=\tan 8^o;$

$\sin 2550^o=\sin(30^o+7\cdot 360^o)=\sin 30^o;$

$\cos(-188^o)=\cos 188^o$ $=\cos(8^o+180^o)$ $=-\cos 8^o;$

$\cos 638^o=\cos(98^o+3\cdot 180^o)$ $=\cos(98^o+180^o)$ $=-\cos 98^o$ $=\cos(180^o-98^o)$ $=\cos 82^o$ $=\sin(90^o-82^o)$ $=\sin 8^o;$

$\cos 98^o=-\cos(180^o-98^o)$ $=-\cos 82^o$ $=-\sin(90^o-82^o)$ $=-\sin 8^o.$

Xem tiếp bài trong cùng Series<< $\S\;$ 1.5. XÉT DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC.$\S\;$ 1.7. CÔNG THỨC LIÊN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC. >>
Chia sẻ nếu thấy hay:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.