$\S\;$ 1.7. CÔNG THỨC LIÊN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC.

Cho trước một góc lượng giác $\alpha.$ Ta đi tìm mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của góc $\alpha.$ Dựa vào đó, nếu cho trước một giá trị lượng giác của góc $\alpha,$ ta có thể tính được các giá trị lượng giác còn lại (nếu biết được dấu của chúng).

Trên đường tròn lượng giác, gọi $M(x_M;y_M)$ là điểm biểu diễn góc lượng giác $\alpha.$

(1) Ta có: $(x_M)^2+(y_M)^2=OM^2=1.$ Suy ra: $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1.$

(2) Khi $\tan\alpha$ và $\cot\alpha$ đều xác định, ta có: $\tan\alpha\cdot\cot\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=1.$

(3) $(1+\tan^2\alpha)\cdot\cos^2\alpha$ $=\left(1+\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\right)\cdot\cos^2\alpha$ $=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha$ $=1.$

Tương tự, ta cũng có: $(1+\cot^2\alpha)\cdot\sin^2\alpha=1.$

Tóm lại, giả sử các giá trị lượng giác của $\alpha$ đều xác định, ta có các công thức liên hệ giữa các giá trị lượng giác (còn gọi là công thức lượng giác cơ bản) như sau:

(1) $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1.$

(2) $\tan\alpha\cdot\cot\alpha=1.$

(3) $(1+\tan^2\alpha)\cdot\cos^2\alpha=1$ và $(1+\cot^2\alpha)\cdot\sin^2\alpha=1.$

Sử dụng các nửa đường tròn lượng giác, ta có thể biết được dấu của một số giá trị lượng giác:

• Nếu điểm biểu diễn góc $\alpha$ thuộc nửa đường tròn phía trên trục $Ox$ thì $\sin\alpha > 0;$ nếu thuộc nửa đường tròn phía dưới trục $Ox$ thì $\sin\alpha < 0.$
• Nếu điểm biểu diễn góc $\alpha$ thuộc nửa đường tròn phía bên phải trục $Oy$ thì $\cos\alpha > 0;$ nếu thuộc nửa đường tròn phía bên trái trục $Oy$ thì $\cos\alpha < 0.$

Bài tập:

1)- Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\cos\alpha=\dfrac{1}{4},$ $\sin\alpha < 0.$

b) $\sin\alpha=-\dfrac{1}{3},$ $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \dfrac{3\pi}{2}.$

c) $\cos\alpha=\dfrac{3}{4},$ $-\dfrac{\pi}{2} < \alpha < 0.$

d) $\tan\alpha=\dfrac{1}{2},$ $-\pi < \alpha < 0.$

2)- Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\sin\alpha=\dfrac{1}{3},$ $90^o < \alpha < 180^o.$

b) $\tan\alpha=-2\sqrt{2},$ $0 < \alpha < 180^o.$

3)- Cho góc $\alpha$ sao cho $\cos\alpha\neq 0.$ Chứng minh rằng: $\dfrac{2\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+1}{\cos^2\alpha}=3\tan^2\alpha+2.$

Giải:

1)-

a) $\cos\alpha=\dfrac{1}{4},$ $\sin\alpha < 0.$

Vì $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$ nên $\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=\dfrac{15}{16}.$ Mà $\sin\alpha < 0$ nên $\sin\alpha=-\sqrt{\dfrac{15}{16}}=-\dfrac{\sqrt{15}}{4}.$

$\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\sqrt{15}.$

$\cot\alpha=\dfrac{1}{\tan\alpha}=-\dfrac{1}{\sqrt{15}}.$

b) $\sin\alpha=-\dfrac{1}{3},$ $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \dfrac{3\pi}{2}.$

$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=\dfrac{8}{9}.$

Vì $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \dfrac{3\pi}{2}$ nên điểm biểu diễn góc $\alpha$ thuộc nửa đường tròn phía bên trái trục $Oy.$ Do đó, $\cos\alpha < 0.$

Suy ra $\cos\alpha=-\sqrt{\dfrac{8}{9}}=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.$

$\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.$

$\cot\alpha=\dfrac{1}{\tan\alpha}=2\sqrt{2}.$

c) $\cos\alpha=\dfrac{3}{4},$ $-\dfrac{\pi}{2} < \alpha < 0.$

$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=\dfrac{7}{16}.$

Vì $-\dfrac{\pi}{2} < \alpha < 0$ nên điểm biểu diễn góc $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ $IV.$ Do đó, $\sin\alpha < 0.$

Suy ra $\sin\alpha=-\sqrt{\dfrac{7}{16}}=-\dfrac{\sqrt{7}}{4}.$

$\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\dfrac{\sqrt{7}}{3}.$

$\cot\alpha=\dfrac{1}{\tan\alpha}=-\dfrac{3}{\sqrt{7}}.$

d) $\tan\alpha=\dfrac{1}{2},$ $-\pi < \alpha < 0.$

$\cot\alpha=\dfrac{1}{\tan\alpha}=2.$

Vì $(1+\cot^2\alpha)\cdot\sin^2\alpha=1$ nên $\sin^2\alpha=\dfrac{1}{1+\cot^2\alpha}=\dfrac{1}{5}.$

Vì $-\pi < \alpha < 0$ nên điểm biểu diễn góc $\alpha$ thuộc nửa đường tròn phía dưới trục $Ox.$ Do đó, $\sin\alpha < 0.$

Suy ra $\sin\alpha = -\sqrt{\dfrac{1}{5}}=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}.$

$\cos\alpha=\cot\alpha\cdot\sin\alpha=-\dfrac{2}{\sqrt{5}}.$

2)-

a) $\sin\alpha=\dfrac{1}{3},$ $90^o < \alpha < 180^o.$

Ta có: $\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=\dfrac{8}{9}.$

Vì $90^o < \alpha < 180^o$ nên điểm biểu diễn góc $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ $II.$ Do đó, $\cos\alpha < 0.$

Suy ra $\cos\alpha = -\sqrt{\dfrac{8}{9}}=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.$

$\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.$

$\cot\alpha=\dfrac{1}{\tan\alpha}=-2\sqrt{2}.$

b) $\tan\alpha=-2\sqrt{2},$ $0 < \alpha < 180^o.$

$\cot\alpha=\dfrac{1}{\tan\alpha}=-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.$

Ta có: $\sin^2\alpha$ $=\dfrac{1}{1+\cot^2\alpha}$ $=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{8}}$ $=\dfrac{8}{9}.$

Vì $0 < \alpha < 180^o$ nên điểm biểu diễn góc $\alpha$ thuộc nửa đường tròn phía trên trục $Ox.$ Do đó, $\sin\alpha > 0.$

Vì $\sin^2\alpha=\dfrac{8}{9}$ và $\sin\alpha > 0$ nên $\sin\alpha=\sqrt{\dfrac{8}{9}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.$

Vì $\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ nên $\cos\alpha = \cot\alpha\cdot\sin\alpha=\left(-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\right)\cdot\dfrac{2\sqrt{2}}{3}=\dfrac{-1}{3}.$

3)-

Ta có: $2\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+1$ $=2\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)$ $=3\sin^2\alpha+2\cos^2\alpha.$

Suy ra: $\dfrac{2\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+1}{\cos^2\alpha}=\dfrac{3\sin^2\alpha+2\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=3\tan^2\alpha+2.$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

(Lưu ý rằng điều kiện $\cos\alpha\neq 0$ là để các biểu thức trong đề bài xác định.)

Xem tiếp bài trong cùng Series

<< $\S\;$ 1.6. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT.$\S\;$ 1.8. CÔNG THỨC CỘNG. CÔNG THỨC GÓC NHÂN ĐÔI. CÔNG THỨC HẠ BẬC. >>