$\S\;$ 1.8. CÔNG THỨC CỘNG. CÔNG THỨC GÓC NHÂN ĐÔI. CÔNG THỨC HẠ BẬC.

Trong bài này, ta tìm cách biểu diễn các giá trị lượng giác của góc $a+b$ (hoặc $a-b)$ sang các giá trị lượng giác của góc $a$ và góc $b.$ Dựa vào đó, ta cũng thiết lập được các công thức góc nhân đôi $(2\alpha),$ và công thức hạ bậc. Lưu ý rằng, ta giả thiết các giá trị lượng giác được đề cập sau đây đều xác định.

Công thức cộng.

Cho trước các góc lượng giác $a,b.$ Người ta chứng minh được các công thức biểu diễn $\cos(a\pm b),$ $\sin(a\pm b),$ $\tan(a\pm b)$ qua các giá trị lượng giác của các góc $a$ và $b$ (được gọi là công thức cộng) như sau:

• $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b;$
• $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b;$
• $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b;$
• $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b;$
• $\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b};$
• $\tan(a-b)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}.$

Công thức góc nhân đôi.

Từ các công thức cộng đã đề cập phía trên, ta có thể suy ra các giá trị lượng giác của góc $2\alpha$ (góc nhân đôi).

Chẳng hạn: $\sin2\alpha = \sin(\alpha+\alpha)$ $= \sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha$ $= 2\sin\alpha\cos\alpha.$

Bằng cách thức tương tự, ta có thể chứng minh được các công thức sau (được gọi là công thức góc nhân đôi):

• $\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha;$
• $\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$ $=2\cos^2\alpha-1$ $=1-2\sin^2\alpha;$
• $\tan 2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}.$

Nhận xét: Áp dụng công thức góc nhân đôi, ta tính được các giá trị lượng giác của góc $2\alpha$ thông qua các giá trị lượng giác của góc $\alpha.$

Công thức hạ bậc.

Dựa vào các công thức góc nhân đôi, ta suy ra các công thức hạ bậc.

+) Từ $\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1,$ ta suy ra $\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos 2\alpha}{2}.$

+) Từ $\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha,$ ta suy ra $\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos 2\alpha}{2}.$

Nhận xét: Áp dụng công thức hạ bậc, nếu biết được các giá trị lượng giác của góc $2\alpha,$ ta tính được các giá trị lượng giác của góc $\alpha.$

Bài tập:

1)- Tính cô-sin của góc $75^o$ và của góc $795^o.$

2)- Tính sin của góc $\dfrac{73\pi}{12}.$

3)- Biết $\cos\alpha=\dfrac{1}{3}$ và $\dfrac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi.$ Hãy tính $\cot 2\alpha.$

Giải:

1)- Tính cô-sin của góc $75^o$ và của góc $795^o.$

Cách 1: (ÁP DỤNG CÔNG THỨC HẠ BẬC)

Để ý: $2\cdot 75^o=150^o.$

Ta có: $\cos 150^o=\cos(2\cdot 75^o)=2\cos^2 75^o-1.$

Suy ra: $\cos^2 75^o=\dfrac{1+\cos 150^o}{2}$

Mặt khác, vì góc bù của góc $150^o$ là góc $180^o-150^o=30^o$ nên $\cos 150^o=-\cos 30^o=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Do đó: $\cos^2 75^o=\dfrac{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}.$

Vì điểm biểu diễn góc $75^o$ thuộc góc phần tư thứ $I$ nên $\cos 75^o > 0.$

Suy ra $\cos 75^o=\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}.$

Để ý: $795^o=75^o+2\cdot 360^o.$

Suy ra: $\cos 795^o=\cos(75^o+2\cdot 360^o)=\cos 75^o$ $=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}.$

Cách 2: (ÁP DỤNG CÔNG THỨC CỘNG)

Để ý: $75^o=30^o+45^o.$

Ta có: $\cos 75^o=\cos(30^o+45^o)$ $=\cos 30^o\cos 45^o-\sin 30^o\sin 45^o$ $=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.$

$\cos 795^o=\cos75^o=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.$

Lưu ý: Bằng cách rút gọn các biểu thức chứa căn (đã học ở cấp II), ta có thể chứng minh được các kết quả ở Cách 1 và Cách 2 là bằng nhau.

2)- Ta có: $\sin\dfrac{73\pi}{12}=\sin\left(\dfrac{\pi}{12}+6\pi\right)=\sin\dfrac{\pi}{12}.$

Áp dụng công thức hạ bậc: $\sin^2\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{1-\cos\dfrac{\pi}{6}}{2}$ $=\dfrac{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}$ $=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}.$

Vì $0 < \dfrac{\pi}{12} < \dfrac{\pi}{2}$ nên $\sin\dfrac{\pi}{12} > 0.$

Do đó: $\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}.$

Suy ra: $\sin\dfrac{73\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}.$

Lưu ý: Ta cũng có thể áp dụng công thức cộng (tương tự bài tập 1) để làm bài này. Để ý: $\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}.$

3)- Vì $(1+\tan^2\alpha)\cos^2\alpha=1$ nên $\tan^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}-1=8.$

Vì $\dfrac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ nên $\tan\alpha < 0.$

Suy ra $\tan\alpha=-\sqrt{8}.$

Áp dụng công thức góc nhân đôi: $\tan 2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$ $=\dfrac{2(-\sqrt{8})}{1-(-\sqrt{8})^2}$ $=\dfrac{4\sqrt{2}}{7}.$

Suy ra: $\cot 2\alpha=\dfrac{1}{\tan 2\alpha}=\dfrac{7}{4\sqrt{2}}.$