$\S\;$ 1.9. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH.

Áp dụng công thức cộng đã học ở bài trước, ta có thể thiết lập được công thức biến đổi tích thành tổng và công thức biến đổi tổng thành tích như sau đây.

Công thức biến đổi tích thành tổng.

Với $a,b$ là các góc lượng giác, theo công thức cộng đã học, ta có:

(1) $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b;$

(2) $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b;$

(3) $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a;$

(4) $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a.$

Lấy (1) cộng (2) vế theo vế, ta được: $\cos(a+b)+\cos(a-b)=2\cos a\cos b$ $\Leftrightarrow \cos a\cos b=\dfrac{1}{2}[\cos(a+b)+\cos(a-b)].$

Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được: $\cos(a+b)-\cos(a-b)=-2\sin a\sin b$ $\Leftrightarrow \sin a\sin b=-\dfrac{1}{2}[\cos(a+b)-\cos(a-b)].$

Lấy (3) cộng (4) vế theo vế, ta được: $\sin(a+b)+\sin(a-b)=2\sin a\cos b$ $\Leftrightarrow \sin a\cos b=\dfrac{1}{2}[\sin(a+b)+\sin(a-b)].$

Tóm lại, ta đã chứng minh được các công thức sau (được gọi là Công thức biến đổi tích thành tổng):

$\cos a\cos b=\dfrac{1}{2}[\cos(a+b)+\cos(a-b)];$

$\sin a\sin b=-\dfrac{1}{2}[\cos(a+b)-\cos(a-b)];$

$\sin a\cos b=\dfrac{1}{2}[\sin(a+b)+\sin(a-b)].$

Công thức biến đổi tổng thành tích.

Cho $x,y$ là hai góc lượng giác. Áp dụng các công thức biến đổi tích thành tổng cho các góc lượng giác $a=\dfrac{x+y}{2}, b=\dfrac{x-y}{2}$ (tương tự như cách làm trong Ví dụ 2), ta chứng minh được các công thức sau (được gọi là Công thức biến đổi tổng thành tích):

$\cos x+\cos y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2};$

$\cos x-\cos y=-2\sin\dfrac{x+y}{2}\sin\dfrac{x-y}{2};$

$\sin x+\sin y=2\sin\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2};$

$\sin x-\sin y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\sin\dfrac{x-y}{2}.$

Mẹo: Đọc thuộc lòng “đoạn thơ” sau sẽ giúp ta nhớ tất cả các công thức vừa nêu:

“cos cộng cos = hai lần cos cos,

cos trừ cos = trừ hai sin sin,

sin cộng sin = hai lần sin cos,

sin trừ sin = hai lần cos sin”.

Ngoài ra, thuộc công thức biến đổi TỔNG THÀNH TÍCH, ta có thể suy ra được công thức biến đổi TÍCH THÀNH TỔNG (bằng cách đọc ngược lại).

Bài tập:

1)- Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $\sin\dfrac{2\pi}{9}-\sin\dfrac{5\pi}{9}+\sin\dfrac{8\pi}{9}.$

b) $\cos\dfrac{2\pi}{9}+\cos\dfrac{4\pi}{9}+\cos\dfrac{10\pi}{9}.$

2)- Cho góc $\alpha$ thỏa $\sin\alpha=\dfrac{3}{5}.$ Tính $\cos 2\alpha$ và $\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\right)\sin\left(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\right).$

Giải:

1)-

a) $\sin\dfrac{2\pi}{9}-\sin\dfrac{5\pi}{9}+\sin\dfrac{8\pi}{9}$ $=\left(\sin\dfrac{8\pi}{9}+\sin\dfrac{2\pi}{9}\right)-\sin\dfrac{5\pi}{9}$ $=2\sin\dfrac{\dfrac{8\pi}{9}+\dfrac{2\pi}{9}}{2}\cos\dfrac{\dfrac{8\pi}{9}-\dfrac{2\pi}{9}}{2}-\sin\dfrac{5\pi}{9}$ $=2\sin\dfrac{5\pi}{9}\cos\dfrac{\pi}{3}-\sin\dfrac{5\pi}{9}$ $=2\sin\dfrac{5\pi}{9}\cdot\dfrac{1}{2}-\sin\dfrac{5\pi}{9}$ $=\sin\dfrac{5\pi}{9}-\sin\dfrac{5\pi}{9}$ $=0.$

b) $\cos\dfrac{2\pi}{9}+\cos\dfrac{4\pi}{9}+\cos\dfrac{10\pi}{9}$ $=\left(\cos\dfrac{10\pi}{9}+\cos\dfrac{2\pi}{9}\right)+\cos\dfrac{4\pi}{9}$ $=2\cos\dfrac{\dfrac{10\pi}{9}+\dfrac{2\pi}{9}}{2}\cos\dfrac{\dfrac{10\pi}{9}-\dfrac{2\pi}{9}}{2}+\cos\dfrac{4\pi}{9}$ $=2\cos\dfrac{2\pi}{3}\cos\dfrac{4\pi}{9}+\cos\dfrac{4\pi}{9}$ $=2\cdot\dfrac{-1}{2}\cdot\cos\dfrac{4\pi}{9}+\cos\dfrac{4\pi}{9}$ $=-\cos\dfrac{4\pi}{9}+\cos\dfrac{4\pi}{9}$ $=0.$

2)- Cho góc $\alpha$ thỏa $\sin\alpha=\dfrac{3}{5}.$ Tính $\cos 2\alpha$ và $\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\right)\sin\left(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\right).$

+) Theo công thức góc nhân đôi:

$\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha$ $=1-2\left(\dfrac{3}{5}\right)^2$ $=1-2\cdot\dfrac{9}{25}$ $=\dfrac{7}{25}.$

+) Ta có: $\left(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\right)+\left(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\right)=2\alpha$ và $\left(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\right)-\left(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\pi}{3}.$

Do đó, theo công thức biến đổi tích thành tổng, ta có:

$\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\right)\sin\left(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\right)$ $=-\dfrac{1}{2}\left(\cos 2\alpha-\cos\dfrac{\pi}{3}\right)$ $=-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{7}{25}-\dfrac{1}{2}\right)$ $=\dfrac{11}{100}.$