$\S\;$ 1.9. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH.

Đây là bài số 9 trong tống số 9 bài của chuỗi bài viết [Bài học Toán 11 - Cơ bản - 01] HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.Áp dụng công thức cộng đã học ở bài trước, ta có thể thiết lập được công thức biến đổi tích thành tổng và công […]

Đây là bài số 9 trong tống số 9 bài của chuỗi bài viết [Bài học Toán 11 - Cơ bản - 01] HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.

Áp dụng công thức cộng đã học ở bài trước, ta có thể thiết lập được công thức biến đổi tích thành tổng và công thức biến đổi tổng thành tích như sau đây.

Công thức biến đổi tích thành tổng.

Với $a,b$ là các góc lượng giác, theo công thức cộng đã học, ta có:

(1) $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b;$

(2) $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b;$

(3) $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a;$

(4) $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a.$

Lấy (1) cộng (2) vế theo vế, ta được: $\cos(a+b)+\cos(a-b)=2\cos a\cos b$ $\Leftrightarrow \cos a\cos b=\dfrac{1}{2}[\cos(a+b)+\cos(a-b)].$

Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được: $\cos(a+b)-\cos(a-b)=-2\sin a\sin b$ $\Leftrightarrow \sin a\sin b=-\dfrac{1}{2}[\cos(a+b)-\cos(a-b)].$

Lấy (3) cộng (4) vế theo vế, ta được: $\sin(a+b)+\sin(a-b)=2\sin a\cos b$ $\Leftrightarrow \sin a\cos b=\dfrac{1}{2}[\sin(a+b)+\sin(a-b)].$

Tóm lại, ta đã chứng minh được các công thức sau (được gọi là Công thức biến đổi tích thành tổng):

$\cos a\cos b=\dfrac{1}{2}[\cos(a+b)+\cos(a-b)];$

$\sin a\sin b=-\dfrac{1}{2}[\cos(a+b)-\cos(a-b)];$

$\sin a\cos b=\dfrac{1}{2}[\sin(a+b)+\sin(a-b)].$

Ví dụ 1: Tính $\sin\dfrac{5\pi}{24}\sin\dfrac{\pi}{24}.$

Giải:

$\sin\dfrac{5\pi}{24}\sin\dfrac{\pi}{24}$ $=-\dfrac{1}{2}\left[\cos\left(\dfrac{5\pi}{24}+\dfrac{\pi}{24}\right)-\cos\left(\dfrac{5\pi}{24}-\dfrac{\pi}{24}\right)\right]$ $=-\dfrac{1}{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}-\cos\dfrac{\pi}{6}\right)$ $=-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ $=\dfrac{1}{4}(\sqrt{3}-\sqrt{2}).$

Ví dụ 2: Cho hai góc lượng giác $x, y.$ Chứng minh rằng: $\cos x+\cos y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}.$

Giải:

Bắt đầu từ vế phải, ta chứng minh nó bằng vế trái.

Ta có:

$VP=2\cos\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}$ $=2\cdot\dfrac{1}{2}\left[\cos\left(\dfrac{x+y}{2}+\dfrac{x-y}{2}\right)+\cos\left(\dfrac{x+y}{2}-\dfrac{x-y}{2}\right)\right]$ $=\cos x+\cos y=VT.$

Công thức biến đổi tổng thành tích.

Cho $x,y$ là hai góc lượng giác. Áp dụng các công thức biến đổi tích thành tổng cho các góc lượng giác $a=\dfrac{x+y}{2}, b=\dfrac{x-y}{2}$ (tương tự như cách làm trong Ví dụ 2), ta chứng minh được các công thức sau (được gọi là Công thức biến đổi tổng thành tích):

$\cos x+\cos y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2};$

$\cos x-\cos y=-2\sin\dfrac{x+y}{2}\sin\dfrac{x-y}{2};$

$\sin x+\sin y=2\sin\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2};$

$\sin x-\sin y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\sin\dfrac{x-y}{2}.$

Mẹo: Đọc thuộc lòng “đoạn thơ” sau sẽ giúp ta nhớ tất cả các công thức vừa nêu:

“cos cộng cos = hai lần cos cos,

cos trừ cos = trừ hai sin sin,

sin cộng sin = hai lần sin cos,

sin trừ sin = hai lần cos sin”.

Ngoài ra, thuộc công thức biến đổi TỔNG THÀNH TÍCH, ta có thể suy ra được công thức biến đổi TÍCH THÀNH TỔNG (bằng cách đọc ngược lại).

Ví dụ 3: Tính:

a) $\sin\dfrac{11\pi}{12}+\sin\dfrac{5\pi}{12}.$

b) $\cos 105^o-\cos 15^o.$

Giải:

a) $\sin\dfrac{11\pi}{12}+\sin\dfrac{5\pi}{12}$ $=2\sin\dfrac{\dfrac{11\pi}{12}+\dfrac{5\pi}{12}}{2}\cos\dfrac{\dfrac{11\pi}{12}-\dfrac{5\pi}{12}}{2}$ $=2\sin\dfrac{2\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4}.$

Vì góc bù của góc $\dfrac{2\pi}{3}$ là góc $\pi-\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}$ nên $\sin\dfrac{2\pi}{3}=\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Ta có: $\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$

Vậy $\sin\dfrac{11\pi}{12}+\sin\dfrac{5\pi}{12}$ $=2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $=\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$

b) $\cos 105^o-\cos 15^o$ $=-2\sin\dfrac{105^o+15^o}{2}\sin\dfrac{105^o-15^o}{2}$ $=-2\sin 60^o\sin 45^o$ $=-2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức:

$\dfrac{\cos a+2\cos 2a+\cos 3a}{\sin a+2\sin 2a+\sin 3a}.$

Giải:

$\dfrac{\cos a+2\cos 2a+\cos 3a}{\sin a+2\sin 2a+\sin 3a}$ $=\dfrac{(\cos 3a+\cos a)+2\cos 2a}{(\sin 3a+\sin a)+2\sin 2a}$ $=\dfrac{2\cos\dfrac{3a+a}{2}\cos\dfrac{3a-a}{2}+2\cos 2a}{2\sin\dfrac{3a+a}{2}\cos\dfrac{3a-a}{2}+2\sin 2a}$ $=\dfrac{2\cos 2a\cos a+2\cos 2a}{2\sin 2a\cos a+2\sin 2a}$ $=\dfrac{2\cos 2a\cdot(\cos a+1)}{2\sin 2a\cdot(\cos a+1)}$ $=\dfrac{\cos 2a}{\sin 2a}$ $=\cot 2a.$

Bài tập:

1)- Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $\sin\dfrac{2\pi}{9}-\sin\dfrac{5\pi}{9}+\sin\dfrac{8\pi}{9}.$

b) $\cos\dfrac{2\pi}{9}+\cos\dfrac{4\pi}{9}+\cos\dfrac{10\pi}{9}.$

2)- Cho góc $\alpha$ thỏa $\sin\alpha=\dfrac{3}{5}.$ Tính $\cos 2\alpha$ và $\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\right)\sin\left(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\right).$

Giải:

1)-

a) $\sin\dfrac{2\pi}{9}-\sin\dfrac{5\pi}{9}+\sin\dfrac{8\pi}{9}$ $=\left(\sin\dfrac{8\pi}{9}+\sin\dfrac{2\pi}{9}\right)-\sin\dfrac{5\pi}{9}$ $=2\sin\dfrac{\dfrac{8\pi}{9}+\dfrac{2\pi}{9}}{2}\cos\dfrac{\dfrac{8\pi}{9}-\dfrac{2\pi}{9}}{2}-\sin\dfrac{5\pi}{9}$ $=2\sin\dfrac{5\pi}{9}\cos\dfrac{\pi}{3}-\sin\dfrac{5\pi}{9}$ $=2\sin\dfrac{5\pi}{9}\cdot\dfrac{1}{2}-\sin\dfrac{5\pi}{9}$ $=\sin\dfrac{5\pi}{9}-\sin\dfrac{5\pi}{9}$ $=0.$

b) $\cos\dfrac{2\pi}{9}+\cos\dfrac{4\pi}{9}+\cos\dfrac{10\pi}{9}$ $=\left(\cos\dfrac{10\pi}{9}+\cos\dfrac{2\pi}{9}\right)+\cos\dfrac{4\pi}{9}$ $=2\cos\dfrac{\dfrac{10\pi}{9}+\dfrac{2\pi}{9}}{2}\cos\dfrac{\dfrac{10\pi}{9}-\dfrac{2\pi}{9}}{2}+\cos\dfrac{4\pi}{9}$ $=2\cos\dfrac{2\pi}{3}\cos\dfrac{4\pi}{9}+\cos\dfrac{4\pi}{9}$ $=2\cdot\dfrac{-1}{2}\cdot\cos\dfrac{4\pi}{9}+\cos\dfrac{4\pi}{9}$ $=-\cos\dfrac{4\pi}{9}+\cos\dfrac{4\pi}{9}$ $=0.$

2)- Cho góc $\alpha$ thỏa $\sin\alpha=\dfrac{3}{5}.$ Tính $\cos 2\alpha$ và $\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\right)\sin\left(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\right).$

+) Theo công thức góc nhân đôi:

$\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha$ $=1-2\left(\dfrac{3}{5}\right)^2$ $=1-2\cdot\dfrac{9}{25}$ $=\dfrac{7}{25}.$

+) Ta có: $\left(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\right)+\left(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\right)=2\alpha$ và $\left(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\right)-\left(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\pi}{3}.$

Do đó, theo công thức biến đổi tích thành tổng, ta có:

$\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\right)\sin\left(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\right)$ $=-\dfrac{1}{2}\left(\cos 2\alpha-\cos\dfrac{\pi}{3}\right)$ $=-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{7}{25}-\dfrac{1}{2}\right)$ $=\dfrac{11}{100}.$

Xem tiếp bài trong cùng Series<< $\S\;$ 1.8. CÔNG THỨC CỘNG. CÔNG THỨC GÓC NHÂN ĐÔI. CÔNG THỨC HẠ BẬC.
Chia sẻ nếu thấy hay:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.