Bài tập TOÁN 6 (CT mới) – Chuyên đề ƯỚC VÀ BỘI.

a) Ước của $18$ là: $3;$ $9$ (vì $18$ chia hết cho các số này).

b) Bội của $5$ là: $5;$ $20;$ $25$ (vì các số này chia hết cho $5).$

c) Các số $3; 5; 7$ chỉ có hai ước là $1$ và chính nó. Đây là các số nguyên tố.

Lần lượt chia $12$ cho các số từ $1$ đến $12$ ta thấy $12$ chỉ chia hết cho: $1; 2; 3; 4; 6; 12.$

Suy ra: $Ư(12) = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}.$

Lấy $9$ nhân lần lượt với các số $0;$ $1;$ $2;$ $3;…$ ta được các bội của $9$ là: $0; 9; 18; 27; …$

Suy ra: $B(9) = \{0; 9; 18; 27; …\}.$

Số tiền Nguyệt có chia hết cho $1\;000.$

Vậy số tiền đó là bội của $1\;000.$

$45$ (học sinh) chia hết cho số hàng dọc.

Vậy số hàng dọc xếp được là ước của $45.$

a) Vì $x\;\vdots\;15$ nên $x$ là bội của $15.$

$B(15) = \{0; 15; 30; 45; 60; 75; 90; 105; 120; 135; 150; …\}$

Vì $45<x<136$ nên $x$ bằng một trong các số: $60; 75; 90; 105; 120; 135.$

b) Vì $18\;\vdots\;x$ nên $x$ là ước của $18.$

$Ư(18) = \{1; 2; 3; 6; 9; 18\}.$

Vì $x>7$ nên $x=9$ hoặc $x=18.$

a) Vì $x\in B(12)$ nên $x$ là bội của $12.$

B(12) = \{0; 12; 24; 36; 48; 60; …\}.$

Vì $20\leq x\leq 50$ nên $x$ bằng một trong các số $24; 36; 48.$

b) Vì $x$ chia hết cho $15$ nên $x$ là bội của $15.$

$B(15) = \{0; 15; 30; 45; …\}.$

Vì $0<x\leq 40$ nên $x=15$ hoặc $x=30.$

c) Vì $x\in Ư(20)$ nên $x$ là ước của $20.$

$Ư(20) = \{1; 2; 4; 5; 10; 20\}.$

Vì $x>8$ nên $x=10$ hoặc $x=20.$

d) Vì $16\;\vdots\;x$ nên $x$ là ước của $16.$

$Ư(16) = \{1; 2; 4; 8; 16\}.$

Vì $x<4$ nên $x=1$ hoặc $x=2.$

a) $B(7) = \{0; 7; 14; 21; 28; 35; …\}.$

Vì $15\leq x\leq 30$ nên $x$ bằng $21$ hoặc $28.$

Vậy $A = \{21; 28\}.$

b) $Ư(30) = \{1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30\}.$

Vì $x>8$ nên $x$ bằng $10,$ hoặc $15,$ hoặc $30.$

Vậy $B=\{10; 15; 30\}.$

$B(7) = \{0; 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; …\}.$

Tập hợp các bội của $7$ nhỏ hơn $50$ là: $\{0; 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49\}.$

a) Vì $12\;\vdots\;(n-1)$ nên $n-1$ là ước của $12.$

$Ư(12) =\{1; 2; 3; 4; 6; 12\}.$

+) Khi $n-1=1$ thì $n=1+1=2.$

+) Khi $n-1=2$ thì $n=2+1= 3.$

+) Khi $n-1=3$ thì $n=3+1=4.$

+) Khi $n-1=4$ thì $n=4+1=5.$

+) Khi $n-1=6$ thì $n=6+1=7.$

+) Khi $n-1=12$ thì $n=12+1=13.$

Vậy tập hợp tất cả các giá trị của $n$ là $\{2; 3;4; 5; 7; 13\}.$

b) Vì $14\;\vdots\; (2n+3)$ nên $2n+3$ là ước của $14.$

$Ư(14) = \{1; 2; 7; 14\}.$

Ta có: $2n+3\geq 3$ nên $2n+3$ bằng $7$ hoặc $14.$

Tuy nhiên, $2n+3$ là số lẻ (vì chia $2$ dư $1)$ nên $2n+3 = 7.$

Suy ra: $2n = 7-3,$ hay $2n = 4.$

Suy ra: $n = 4:2=2.$

Vậy $n=2$ là giá trị cần tìm.

a) Vì $x$ là ước của $a$ nên $(a:x)$ là phép chia hết.

Đặt $b= a:x$ thì $a=bx.$

Suy ra $a$ chia hết cho $b.$

Tức là $a$ chia hết cho $(a:x).$

Do đó, $(a:x)$ cũng là ước của $a.$

b)

Làm nháp:

Để tìm tập hợp các ước của $150$ (mà số $150$ quá lớn), ta tìm từng cặp ước của $150$ theo cách sau:

+) $1$ là ước của $150$ nên $150:1=150$ cũng là ước của $150.$ $\rightarrow$ Ta được cặp số $1; 150$ là các ước của $150.$

+) $2$ là ước của $150$ nên $150:2 = 75$ cũng là ước. $\rightarrow$ Ta được cặp số $2; 75.$

+) $3$ là ước nên $150:3 =50$ cũng là ước. $\rightarrow$ Ta được cặp số $3; 50.$

+) $5$ là ước nên $150:5= 30$ cũng là ước. $\rightarrow$ Được cặp số $5; 30.$

+) $6$ là ước nên $150:6=25$ cũng là ước. $\rightarrow$ Được cặp số $6; 25.$

+) $10$ là ước nên $150:10=15$ cũng là ước. $\rightarrow$ Được cặp số $10; 15.$

+) Giữa $10$ và $15$ không có số nào là ước của $150.$

Vậy $Ư(150) = \{1; 150; 2; 75; 3; 50; 5; 30; 6; 25; 10; 15\}.$

Ta có thể sắp xếp các phần tử theo thứ tự từ nhỏ đến lớn để tiện theo dõi.

Trả lời:

$Ư(150) = \{1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 25; 30; 50; 75; 150\}.$

$Ư(60) = \{1;2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60\}.$

$Ư(120)=\{1;2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 20; 24; 30; 40; 60; 120\}.$

Vì số lượng các ước của $300$ ít hơn số lượng các bội của $25$ nên ta tìm ước của $300$ trước, sau đó kiểm tra xem trong các ước đó, số nào là bội của $25.$

Ta có:

$Ư(300) = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 15; 20; 30; 50; 60; 75; 100; 150; 300\}.$

Trong các ước của $300$ kể trên, chỉ có các số $50;$ $75;$ $100;$ $150;$ $300$ là chia hết cho $25.$ Đó là các bội của $25.$

Vậy các bội của $25$ đồng thời là ước của $300$ là: $50;$ $75;$ $100;$ $150;$ $300.$

a) Ta có: $Ư(250) = \{1; 2; 5; 10; 25; 50; 125; 250\}.$

Do đó, các số có hai chữ số là ước của $250$ là: $10; 25; 50.$

b) Ta có: $B(11) = \{0; 11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99; 110; …\}.$

Do đó, các số có hai chữ số là bội của $11$ là: $11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99.$

Gọi $x$ là số hộp chia được.

Vì $50$ chia đều vào $x$ hộp (số bánh trong các hộp bằng nhau) nên $50\;\vdots\;x.$

Vậy $x$ là ước của $50.$

$Ư(50) = \{1; 2; 5; 10; 25; 50\}.$

Vậy, với $50$ chiếc bánh thì có thể chia được thành $1$ hộp, $2$ hôp, $5$ hộp, $10$ hộp, $25$ hộp, hoặc $50$ hộp.

Cách 1:

Gọi $x$ là số cái hộp.

Vì $24$ cây bút chia đều vào $x$ hộp (số bút mỗi hộp bằng nhau) nên $24\;\vdots\;x.$

Vậy $x$ là ước của $24.$

Vì số bút trong mỗi hộp lớn hơn $2$ nên $24 : x > 2,$ hay $x< 24:2=12.$

Vậy ta cần tìm các ước của $24$ nhỏ hơn $12.$

Ta có: $Ư(24) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\}.$

Các ước nhỏ hơn $12$ là: $1; 2; 3; 4; 6; 8.$

Suy ra: Bình có thể dùng nhiều nhất là $8$ cái hộp và ít nhất là $1$ cái hộp.

Cách 2:

Gọi $y$ là số bút trong mỗi hộp.

Vì số bút trong mỗi hộp bằng nhau nên $24\;\vdots\;y.$

Vậy $y$ là ước của $24.$

Vì số bút trong mỗi hộp lớn hơn $2$ nên $y > 2.$

Vậy ta cần tìm các ước của $24$ lớn $2.$

Ta có: $Ư(24) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\}.$

Các ước lớn hơn $2$ là: $3; 4; 6; 8; 12; 24.$

Vậy mỗi hộp có thể chứa số bút là: $3; 4; 6; 8; 12;24$ (bút).

Tương ứng với số bút đó, số cái hộp có thể chia được là: $8; 6; 4; 3; 2; 1$ (hộp).

Vậy Bình có thể dùng nhiều nhất $8$ cái hộp và ít nhất $1$ cái hộp.

Gọi $x$ là số học sinh lớp Phụng.

Lớp Phụng có khoảng từ $41$ đến $45$ học sinh nên: $41\leq x\leq 45.$

Khi xếp thành $4$ hàng thì vừa hết nên: $x\;\vdots\;4.$ Suy ra $x$ là bội của $4.$

Ta có: $B(4)=\{0; 4; 8; …; 40; 44; 48; …\}.$

Vì $41\leq x\leq 45$ nên ta chọn $x=44.$

Vậy lớp của Phụng có $44$ học sinh.

a) $a=3^4$ chia hết cho các số: $1;$ $3; 3^2; 3^3; 3^4.$

Suy ra các ước của $a$ là: $3;$ $3^2;$ $3^3;$ $3^4.$

b) $b=3^2\cdot 7$ chia hết cho các số: $1;$ $3;$ $3\cdot 7;$ $3^2;$ $3^2\cdot 7;$ $7.$

Suy ra các ước của $b$ là: $1;$ $3;$ $3\cdot 7;$ $3^2;$ $3^2\cdot 7;$ $7.$

Ta có: $161 = 23\cdot 7.$

Suy ra ước của $161$ trong khoảng từ $10$ đến $150$ là $23.$

a) Gọi số chia là $a$ và thương là $b.$ Ta có: $145 = ab + 12.$

Suy ra: $ab=145 – 12 = 133.$

Suy ra $133\;\vdots\; a,$ hay $a$ là ước của $133.$

$Ư(133) = \{1; 7; 19; 133\}.$

Vì số dư luôn nhỏ hơn số chia nên $a>12.$

Do đó: $a=19$ hoặc $a=133.$

+) Nếu $a=19$ thì $b=133:a=7.$

+) Nếu $a=133$ thì $b= 133:a=1$ (loại vì thương phải khác $1).$

Vậy $a=19$ và $b=7.$ Tức số chia là $19$ và thương là $7.$

b) Gọi số chia là $a$ và thương là $b.$ Ta có: $236 = ab +15.$

Suy ra: $ab = 236-15 = 221.$

Suy ra: $221\;\vdots\;a$ hay $a$ là ước của $221.$

$Ư(221) = \{1; 13; 17; 221\}.$

Số chia là số có hai chữ số nên $a\in\{13; 17\}.$

Vì số chia luôn lớn hơn số dư nên $a>15.$

Từ hai điều trên suy ra $a=17.$

Khi đó, $b= 221:17=13.$

Vậy số chia là $17,$ thương là $13.$

Vì $30$ chia cho $a$ dư $r$ nên $30 = pa+r$ (trong đó, $p$ là thương của phép chia).

Vì $17$ chia cho $a$ dư $r$ nên $17 = qa+r$ (trong đó, $q$ là thương của phép chia).

Suy ra: $30-17 = (pa+r)-(qa+r) = pa-qa=a(p-q).$

Suy ra: $13 = a(p-q).$

Suy ra: $13\;\vdots\;a.$

Suy ra: $a$ là ước của $13.$

Ta có: $Ư(13) = \{1; 13\}.$

Theo đề, $a$ khác $1,$ nên suy ra $a=13.$

Ta có: $30$ chia $13$ được thương là $2$ dư $4;$ và $17$ chia $13$ được thương là $1$ dư $4.$

Vậy $r=4.$

Kết luận: $a=13$ và $r=4.$

Gọi $a$ là số học sinh $(a>20).$

Các số $24$ và $900$ rơi vào cùng một học sinh nên khi chia $24$ và $900$ cho $a$ thì có cùng số dư. Do đó, $900 – 24\;\vdots\;a.$

Vậy $a$ là ước của $900 – 24 = 876.$

Phân tích ra thừa số nguyên tố: $876 = 2^2\cdot 3\cdot 73.$

Suy ra ước của $876,$ lớn hơn $20$ mà nhỏ nhất là $73.$

Vậy có ít nhất $73$ học sinh.

Ta có: $\overline{aaa} = 111\cdot a = 3\cdot 37\cdot a.$

Suy ra: $3;$ $37$ và $3\cdot 37$ là ba ước khác $1$ của $\overline{aaa}.$

Vậy để $\overline{aaa}$ có đúng ba ước khác $1$ (như) ở trên thì $a=1.$

Từ $p=(n-2)(n^2+n-5)$ suy ra $n-2$ và $n^2+n-5$ đều là ước của $p.$

Vì $p$ là số nguyên tố nên $n-2=1$ hoặc $n^2+n-5=1.$

+) Nếu $n-2=1$ thì $n=1+2=3.$

Khi đó, $p=1\cdot (3^2+3-5) = 7$ là số nguyên tố (thỏa mãn).

+) Nếu $n^2+n-5=1$ thì $n^2+n= 6,$ hay $n(n+1)=2\cdot 3.$ Suy ra $n=2.$

Khi đó, $p= (2-2)\cdot 1 = 0$ không là số nguyên tố (loại).

Tóm lại, $n=3$ là đáp án.

a) $(2x+1)(y-3)=10;$

Ta có: $10 = 2\cdot 5.$ Vậy $(2x+1)(y-3)=2\cdot 5.$

Mà $2x+1$ là số tự nhiên lẻ (vì chia cho $2$ dư $1),$ nên ta chọn: $2x+1=5$ và $y-3=2.$

+) $2x+1=5$ nên $2x=5-1=4.$ Do đó: $x=4:2=2.$

+) $y-3=2$ nên $y=2+3=5.$

Vậy $x=2$ và $y=5.$

b) $(3x-2)(2y-3)=1;$

Vì $x,y$ là số tự nhiên nên $3x-2=1$ và $2y-3=1.$

+) $3x-2=1$ nên $3x=1+2=3.$ Do đó: $x=3:3=1.$

+) $2y-3=1$ nên $2y=1+3=4.$ Do đó: $y=4:2=2.$

Vậy $x=1$ và $y=2.$

c) $(x+1)(2y-1)=12;$

Ta có: $12=2^2\cdot 3.$ Vậy $(x+1)(2y-1)=2^2\cdot 3.$

Mà $2y-1$ là số tự nhiên lẻ nên ta chọn: $2y-1=3$ và $x+1=2^2.$

+) $2y-1=3$ nên $2y=3+1=4.$ Suy ra: $y=4:2=2.$

+) $x+1=2^2$ nên $x=2^2-1=4-1=3.$

Vậy $x=3$ và $y=2.$

d) $x+6=y(x-1)$

$(x-1)+7 = y(x-1)$

$7=y(x-1) – (x-1)$

$7=(x-1)(y-1)$

Vì $7$ là số nguyên tố nên $x-1 =7$ và $y-1=1;$ hoặc $x-1=1$ và $y-1=7.$

Do đó: $x=8$ và $y=2;$ hoặc $x=2$ và $y=8.$

a) $n+4$ chia hết cho $n+1$

Suy ra: $(n+4)-(n+1)\;\vdots\;(n+1),$ hay $3\;\vdots\;(n+1).$

Suy ra: $n+1$ là ước của $3.$

$Ư(3)=\{1; 3\}.$

+) Khi $n+1=1$ thì $n=0.$

+) Khi $n+1=3$ thì $n=3-1=2.$

Vậy $n=0$ hoặc $n=2.$

b) $5n+28$ chia hết cho $n+2$

Suy ra: $(5n+28) – 5(n+2)\;\vdots\;(n+2)$

Ta có: $(5n+28) – 5(n+2) = (5n+28) – (5n+10) = 18.$

Vậy $18\;\vdots\;(n+2).$

Do đó $n+2$ là ước của $18.$

$Ư(18) = \{1; 2; 3; 6; 9; 18\}$

Mà $n+2\geq 2$ nên ta suy ra $n+2$ bằng $2; 3; 6; 9$ hoặc $18.$

+) Khi $n+2=2$ thì $n=0.$

+) Khi $n+2=3$ thì $n=1.$

+) Khi $n+2=6$ thì $n=4.$

+) Khi $n+2=9$ thì $n=7.$

+) Khi $n+2=18$ thì $n=16.$

Vậy $n$ bằng $0$ hoặc $1$ hoặc $4$ hoặc $7$ hoặc $16.$

c) $n^2+4$ chia hết cho $n+2$

Ta có: $n^2+4 = (n^2 + 2n) – (2n + 4) +8 = n(n+2)-2(n+2) + 8.$

Vậy $n(n+2) – 2(n+2) + 8\;\vdots\; n+2.$

Mà $n(n+2)$ và $2(n+2)$ đều chia hết cho $n+2,$

Suy ra: $8\;\vdots\;n+2.$

Do đó $n+2$ là ước của $8.$

Vậy $n+ 2 \in Ư(8) = \{1; 2; 4; 8\}.$

Mặt khác, $n+2\geq 2$ nên $n+2$ bằng 2, hoặc 4, hoặc 8.

+) Khi $n+2=2$ thì $n=0.$

+) Khi $n+2=4$ thì $n=2.$

+) Khi $n+2=8$ thì $n=6.$

Vậy $n=0$ hoặc $n=2$ hoặc $n=6.$

d) $5n+19$ chia hết cho $2n+1$

Suy ra: $2(5n+19) \;\vdots\;5(2n+1)$ (vì $2$ và $5$ không cùng chia hết cho bất kỳ số tự nhiên khác $1$ nào).

Suy ra: $2(5n+19) – 5(2n+1) \;\vdots\; 5(2n+1)$

Ta có: $2(5n+19) – 5(2n+1) = (10n + 38) – (10n + 5) = 38 – 5 = 33.$

Vậy $33\;\vdots\;5(2n+1).$ Suy ra: $33\;\vdots\; 2n+1.$

Do đó $2n+1$ là ước của $33.$

Vậy $2n+1 \in Ư(33) = \{1; 3; 11; 33\}.$

+) Khi $2n+1=1$ thì $2n=0.$ Suy ra: $n=0.$

+) Khi $2n+1=3$ thì $2n=2.$ Suy ra: $n=1.$

+) Khi $2n+1=11$ thì $2n=10.$ Suy ra: $n=5.$

+) Khi $2n+1=33$ thì $2n=32.$ Suy ra: $n=16.$

Vậy $n$ bằng một trong các số $0; 1; 5; 16.$

Gọi số hộp bút và số quyển vở lần lượt là $a$ và $b$ (với $a,b$ là các số tự nhiên).

Bạn mua bút và vở hết $100$ nghìn đồng nên: $13a + 5b=100.$

Suy ra: $13a = 100 – 5b.$

Vì $100\;\vdots\;5$ và $5b\;\vdots\;5$ nên $100-5b\;\vdots\;5,$ hay $13a\;\vdots\;5.$ Mà $13\;\vdots\;5$ nên $a\;\vdots\;5.$ Vậy $a$ là bội của $5.$

Mặt khác, $13a = 100-5b \leq 100 < 130.$ Suy ra: $a<10.$

Vậy $a$ là bội của $5$ nhỏ hơn $10.$

Suy ra: $a=5.$

Suy ra: $5b = 100 – 13a=35.$ Do đó, $b= 35:5=7.$

Kết luận: bạn Hòa đã mua $5$ hộp bút và $7$ quyển vở.

Gọi $x$ là số chiếc bánh trong mỗi thùng.

Vì $48$ chiếc bánh xếp đều vào các thùng nên $48\;\vdots\;x.$ Do đó $x$ là ước của $48.$

Vì số bánh trong mỗi thùng chia đều vào $4$ túi như nhau nên $x\;\vdots\;4.$ Do đó $x$ là bội của $4.$

Vì mỗi thùng chứa từ $13$ đến $25$ chiếc bánh nên $13\leq x\leq 25.$

Vậy $x$ là ước của $48,$ là bội của $4$ và thỏa mãn $13\leq x\leq 25.$

Bây giờ ta đi tìm $x.$

$x\in Ư(48) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48\}$

Mà $x$ là bội của $4$ nên ta chỉ chọn $x\in\{4; 8; 12; 16; 24; 48\}.$

Thêm nữa, do $13\leq x\leq 25$ nên $x$ bằng $16$ hoặc $24.$

+) Nếu $x=16,$ tức là mỗi thùng chứa $16$ chiếc bánh, thì số thùng xếp được là $48:16 = 3$ (thùng).

+) Nếu $x=24,$ tức là mỗi thùng chứa $24$ chiếc bánh, thì số thùng xếp được là $48:24= 2$ (thùng).

Tóm lại, với $48$ chiếc bánh thì có thể xếp được $3$ thùng hoặc $2$ thùng bánh thỏa mãn yêu cầu đề bài.