Sau đây là các bài tập TOÁN về ƯỚC CHUNG và BỘI CHUNG dành cho học sinh lớp 6. Trước khi làm bài tập, nên xem lại lý thuyết trong các bài liên quan:
Các dạng bài tập thường gặp:
Dạng 1: Tìm Ước chung và ước chung lớn nhất
✨ Nếu a và b đều chia hết cho x thì x là ước chung của a và b.
a[nbsp]⋮[nbsp]x và b[nbsp]⋮[nbsp]x thì x[nbsp]∈[nbsp]ƯC(a,[nbsp]b).
✨ Số lớn nhất trong tập hợp ƯC(a,[nbsp]b) được gọi là ước chung lớn nhất của a và b, ký hiệu là ƯCLN(a,[nbsp]b).
Bài tập 1.1: Số nào là ước chung của 12 và 48 trong các số sau đây: 2; 5; 8; 12?
Bài tập 1.2: Điền ký hiệu ∈ hoặc ∉ vào ô vuông ☐ cho đúng:
a) 4 ☐ ƯC(12,[nbsp]18);
b) 6 ☐ ƯC(12,[nbsp]18);
c) 2 ☐ ƯC(4,[nbsp]6,[nbsp]8);
d) 4 ☐ ƯC(4,[nbsp]6,[nbsp]8).
Bài tập 1.3: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? Vì sao?
a) “7 là một ước chung của 14 và 28”;
b) “8 ∈ ƯC(16,[nbsp]26)”;
c) “1 là ước chung của mọi số tự nhiên”.
d) “6 ∈ ƯCLN(12,[nbsp]30)”.
Bài tập 1.4:
a) Viết tập hợp các ước của 6 và tập hợp các ước của 9.
b) Viết tập hợp các ước chung của 6 và 9.
Bài tập 1.5: Viết các tập hợp sau:
a) ƯC(7, 8);
b) ƯC(4, 6, 8).
Bài tập 1.6:
a) Viết các tập hợp sau: Ư(9), Ư(12), ƯC(9,[nbsp]12).
b) Tìm ƯCLN(9,[nbsp]12).
Bài tập 1.7: Tìm ước chung lớn nhất của:
a) 56 và 140;
b) 24; 84 và 180;
c) 18; 30 và 77.
Bài tập 1.8:
a) Tìm ước chung lớn nhất của 180 và 234;
b) Viết tập hợp các ước chung của 180 và 234.
Bài tập 1.9: Viết các tập hợp sau:
a) ƯC(16, 24);
b) ƯC(16, 80, 176);
c) ƯC(60, 90, 135).
Bài tập 1.10: Tìm các số tự nhiên x thỏa mãn:
a) 45 ⋮ x;
b) 30 ⋮ x và 5[nbsp]<[nbsp]x[nbsp]≤[nbsp]12;
c) 36 ⋮ x; 24[nbsp]⋮[nbsp]x và x[nbsp]>[nbsp]3 ;
d) 150 ⋮ x; 84 ⋮ x; 30[nbsp]⋮[nbsp]x và x[nbsp]>[nbsp]2;
e) x ∈ ƯC(70,[nbsp]84) và x[nbsp]>[nbsp]8.
Bài tập 1.11: Tìm các số tự nhiên x thỏa mãn:
a) 6 ⋮ (x[nbsp]–[nbsp]1);
b) (x + 11) ⋮ (x[nbsp]+[nbsp]1).
Dạng 2: Tìm Bội chung và Bội chung nhỏ nhất
✨ Nếu x chia hết cho cả a và b thì x là bội chung của a và b.
x ⋮ a và x ⋮ b thì x ∈ BC(a, b).
✨ Số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp BC(a, b) được gọi là bội chung nhỏ nhất của a và b, ký hiệu BCNN(a, b).
Bài tập 2.1: Điền ký hiệu ∈ hoặc ∉ vào ô vuông ☐ cho đúng:
a) 80 ☐ BC(20,[nbsp]30);
b) 60 ☐ BC(20,[nbsp]30);
c) 12 ☐ BC(4,[nbsp]6,[nbsp]8);
d) 24 ☐ BC(4,[nbsp]6,[nbsp]8).
Bài tập 2.2: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? Vì sao?
a) “150 là bội chung của 5 và 15”;
b) “0 là bội chung của mọi số tự nhiên”;
c) “180 ∈ BC(6;[nbsp]8)”
Bài tập 2.3: Viết các tập hợp: B(4), B(6) và BC(4,[nbsp]6).
Bài tập 2.4: Tìm bội chung nhỏ nhất của:
a) 24 và 10;
b) 10; 12 và 15;
c) 8; 9 và 11;
d) 18 và 180.
Bài tập 2.5: Viết các tập hợp BC(9,[nbsp]24); BC(14,[nbsp]21,[nbsp]56) và BC(150,[nbsp]225).
Bài tập 2.6: Tìm các bội chung nhỏ hơn 100 của 10 và 15.
Bài tập 2.7: Tìm số tự nhiên x sao cho:
a) x ⋮ 4; x[nbsp]⋮[nbsp]6 và 0[nbsp]<[nbsp]x[nbsp]<[nbsp]50;
b) x ⋮ 12; x[nbsp]⋮[nbsp]18 và x[nbsp]≤[nbsp]144;
Đáp án các bài tập:
Dạng 1:
Bài tập 1.1: Các số 2 và 12 đều là ước chung của 12 và 48. Vì 12 và 48 đều chia hết cho các số này.
Bài tập 1.2:
a) 4 ∉ ƯC(12,[nbsp]18); (Vì 18 không chia hết cho 4)
b) 6 ∈ ƯC(12,[nbsp]18); (Vì 12 và 18 đều chia hết cho 4)
c) 2 ∈ ƯC(4,[nbsp]6,[nbsp]8); (Vì 4; 6 và 8 đều chia hết cho 2)
d) 4 ∉ ƯC(4,[nbsp]6,[nbsp]8). (Vì 6 không chia hết cho 4)
Bài tập 1.3:
a) “7 là một ước chung của 14 và 28”; ĐÚNG vì 14 và 28 đều chia hết cho 7.
b) “8 ∈ ƯC(16,[nbsp]26)”; SAI vì 26 không chia hết cho 8.
c) “1 là ước chung của mọi số tự nhiên” ĐÚNG vì mọi số tự nhiên đều chia hết cho 1.
d) “6 ∈ ƯCLN(12,[nbsp]30)” SAI vì ƯCLN(12,[nbsp]30) là một con số chứ không phải một tập hợp.
Bài tập 1.4:
a) Ư(6) = {1; 2; 3; 6}
Ư(9) = { 1; 3; 9}
b) Từ câu a), ta tìm được các ước chung của 6 và 9:
ƯC(6, 9) = {1; 3}
(Là các phần tử vừa thuộc Ư(6) vừa thuộc Ư(9))
Bài tập 1.5:
a) Ta có: Ư(7) = {1; 7} và Ư(8) = {1; 2; 4; 8}.
Do đó: ƯC(7,[nbsp]8) = {1}
b) Ta có:
Ư(4) = {1; 2; 4};
Ư(6) = {1; 2; 3; 6};
Ư(8) = {1; 2; 4; 8}.
Do đó, ƯC(4,[nbsp]6,[nbsp]8) = {1; 2}
Bài tập 1.6:
a) Ư(9) = {1; 3; 9}
Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
ƯC(9,[nbsp]12) = {1; 3}
b) Ước chung lớn nhất của 9 và 12 là số lớn nhất trong tập hợp ƯC(9,[nbsp]12).
Do đó, ƯCLN(9,[nbsp]12) = 3.
Bài tập 1.7:
a) Phân tích ra thừa số nguyên tố: 56[nbsp]= 23[nbsp].[nbsp]7 và 140[nbsp]= 22[nbsp].[nbsp]5[nbsp].[nbsp]7.
Các thừa số chung là 2 và 7. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2. Số mũ nhỏ nhất của 7 là 1.
Vậy ƯCLN(56,[nbsp]140) = 22[nbsp].[nbsp]71 = 4[nbsp].[nbsp]7 = 28.
b) Phân tích ra thừa số nguyên tố: 24[nbsp]=[nbsp]23[nbsp].[nbsp]3; 84[nbsp]=[nbsp]22[nbsp].[nbsp]3[nbsp].[nbsp]7 và 180[nbsp]=[nbsp]22[nbsp].[nbsp]32[nbsp].[nbsp]5.
Các thừa số chung là 2 và 3. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2. Số mũ nhỏ nhất của 3 là 1.
Vậy ƯCLN(24,[nbsp]84,[nbsp]180) = 22[nbsp].[nbsp]3 = 12.
c) Phân tích ra thừa số nguyên tố: 18[nbsp]=[nbsp]2[nbsp].[nbsp]32; 30[nbsp]=[nbsp]2[nbsp].[nbsp]3[nbsp].[nbsp]5 và 77[nbsp]=[nbsp]7[nbsp].[nbsp]11.
Không có thừa số chung.
Do đó, ƯCLN(18,[nbsp]30,[nbsp]77)[nbsp]=[nbsp]1.
Bài tập 1.8:
a) Ta có: 180[nbsp]=[nbsp]22[nbsp].[nbsp]32[nbsp].[nbsp]5 và 234[nbsp]=[nbsp]2[nbsp].[nbsp]32[nbsp].[nbsp]13.
Các thừa số chung là 2 và 3. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1. Số mũ nhỏ nhất của 3 là 2.
Vậy ƯCLN(180,[nbsp]234) = 2[nbsp].[nbsp]32 = 18.
b) Ước chung của 180 và 234 là ước của ƯCLN(180,[nbsp]234) = 18.
Do đó:
ƯC(180,[nbsp]234) = Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}
Bài tập 1.9:
a) ƯC(16,[nbsp]24)
Ta có: 16[nbsp]=[nbsp]24 và 24[nbsp]=[nbsp]23[nbsp].[nbsp]3.
Do đó: ƯCLN(16,[nbsp]24) = 23 = 8.
Suy ra: ƯC(16,[nbsp]24) = Ư(8) = {1; 2; 4; 8}
b) ƯC(16,[nbsp]80,[nbsp]176)
Ta có: 16[nbsp]=[nbsp]24; 80[nbsp]=[nbsp]24[nbsp].[nbsp]5 và 176[nbsp]=[nbsp]24[nbsp].[nbsp]11.
Do đó: ƯCLN(16,[nbsp]80,[nbsp]176) = 24 = 16.
Suy ra: ƯC(16,[nbsp]80,[nbsp]176) = Ư(16) = {1; 2; 4; 8; 16}
c) ƯC(60,[nbsp]90,[nbsp]135)
Ta có: 60[nbsp]=[nbsp]22[nbsp].[nbsp]3[nbsp].[nbsp]5; 90[nbsp]=[nbsp]2[nbsp].[nbsp]32[nbsp].[nbsp]5 và 135[nbsp]=[nbsp]33[nbsp].[nbsp]5.
Do đó: ƯCLN(60,[nbsp]90,[nbsp]135) = 3[nbsp].[nbsp]5 = 15.
Suy ra: ƯC(60,[nbsp]90,[nbsp]135) = Ư(15) = {1; 3; 5; 15}
Bài tập 1.10:
a) Vì 45[nbsp]⋮[nbsp]x nên x là ước của 45.
Ư(45) = {1; 3; 5; 9; 15; 45}
Vậy x là một trong các số 1; 3; 5; 9; 15; 45.
b) Vì 30[nbsp]⋮[nbsp]x nên x là ước của 30.
Do đó x[nbsp]∈[nbsp]Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
Vì 5[nbsp]<[nbsp]x[nbsp]≤[nbsp]12 nên ta x[nbsp]=[nbsp]6 hoặc x[nbsp]=[nbsp]10.
c) Vì 36 ⋮ x; 24[nbsp]⋮[nbsp]x nên x là ước chung của 36 và 24.
Ta có: 36[nbsp]=[nbsp]22[nbsp].[nbsp]32 và 24[nbsp]=[nbsp]23[nbsp].[nbsp]3.
Do đó: ƯCLN(36,[nbsp]24) = 22[nbsp].[nbsp]3 = 12.
Suy ra: ƯC(36,[nbsp]24) = Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
Vì x[nbsp]>[nbsp]3 nên ta chỉ chọn các số 4; 6; 12.
Vậy x là một trong các số 4; 6; 12.
d) Vì 150 ⋮ x; 84[nbsp]⋮[nbsp]x; 30[nbsp]⋮[nbsp]x nên x là ước chung của 150; 84 và 30.
Ta có: 150[nbsp]=[nbsp]2[nbsp].[nbsp]3[nbsp].[nbsp]52; 84[nbsp]=[nbsp]22[nbsp].[nbsp]3[nbsp].[nbsp]7 và 30[nbsp]=[nbsp]2[nbsp].[nbsp]3[nbsp].[nbsp]5.
Do đó: ƯCLN(150,[nbsp]84,[nbsp]30) = 2[nbsp].[nbsp]3 = 6.
Suy ra: ƯC(150,[nbsp]84,[nbsp]30) = Ư(6) = {1; 2; 3; 6}.
Vì x[nbsp]>[nbsp]2 nên x[nbsp]=[nbsp]3 hoặc x[nbsp]=[nbsp]6.
e) Ta có: 70[nbsp]=[nbsp]2[nbsp].[nbsp]5[nbsp].[nbsp]7 và 84[nbsp]=[nbsp]22[nbsp].[nbsp]3[nbsp].[nbsp]7.
Do đó: ƯCLN(70,[nbsp]84) = 2[nbsp].[nbsp]7 = 14.
Suy ra: ƯC(70,[nbsp]84) = Ư(14) = {1; 2; 7; 14}.
Vì x[nbsp]∈[nbsp]ƯC(70,[nbsp]84) và x[nbsp]>[nbsp]8 nên x[nbsp]=[nbsp]14.
Bài tập 1.11:
a) Vì 6[nbsp]⋮[nbsp](x[nbsp]–[nbsp]1) nên (x[nbsp]–[nbsp]1) là ước của 6.
Ư(6) = {1; 2; 3; 6}
Nếu x[nbsp]–[nbsp]1[nbsp]=[nbsp]1 thì x = 1[nbsp]+[nbsp]1 = 2.
Nếu x[nbsp]–[nbsp]1 = 2 thì x = 1[nbsp]+[nbsp]2 = 3.
Nếu x[nbsp]–[nbsp]1 = 3 thì x = 1[nbsp]+[nbsp]3 = 4.
Nếu x[nbsp]–[nbsp]1 = 6 thì x = 1[nbsp]+[nbsp]6 = 7.
Vậy x là một trong các số 2; 3; 4; 7.
b) Vì (x[nbsp]+[nbsp]11)[nbsp]⋮[nbsp](x[nbsp]+[nbsp]1) nên [(x[nbsp]+[nbsp]11)[nbsp]–[nbsp](x[nbsp]+[nbsp]1)] ⋮ (x[nbsp]+[nbsp]1). Tức là 10[nbsp]⋮[nbsp](x[nbsp]+[nbsp]1).
Do đó: (x[nbsp]+[nbsp]1) là ước của 10.
Ư(10) = {1; 2; 5; 10}
Nếu x[nbsp]+[nbsp]1 = 1 thì x = 1[nbsp]–[nbsp]1 = 0.
Nếu x[nbsp]+[nbsp]1 = 2 thì x = 2[nbsp]–[nbsp]1 = 1.
Nếu x[nbsp]+[nbsp]1 = 5 thì x = 5[nbsp]–[nbsp]1 = 4.
Nếu x[nbsp]+[nbsp]1 = 10 thì x = 10[nbsp]–[nbsp]1 = 9.
Vậy x là một trong các số 0; 1; 4; 9.
Dạng 2:
Bài tập 2.1:
a) 80 ∉ BC(20,[nbsp]30); Vì 80 không chia hết cho 30.
b) 60 ∈ BC(20,[nbsp]30); Vì 60 chia hết cho cả 20 và 30.
c) 12 ∉ BC(4,[nbsp]6,[nbsp]8); Vì 12 không chia hết cho 8.
d) 24 ∈ BC(4,[nbsp]6,[nbsp]8). Vì 24 chia hết cho cả ba số 4; 6 và 8.
Bài tập 2.2:
a) “150 là bội chung của 5 và 15” ĐÚNG, vì 150 chia hết cho cả 5 và 15.
b) “0 là bội chung của mọi số tự nhiên” ĐÚNG, vì 0 chia hết cho mọi số tự nhiên.
c) “180 ∈ BC(6;[nbsp]8)” SAI, vì 180 không chia hết cho 8.
Bài tập 2.3:
B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; …}
B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; …}
Suy ra BC(4,[nbsp]6) = {0; 12; 24; …}
Bài tập 2.4:
a) 24 và 10;
Phân tích ra thừa số nguyên tố: 24[nbsp]=[nbsp]23[nbsp].[nbsp]3 và 10[nbsp]=[nbsp]2[nbsp].[nbsp]5.
Các thừa số chung và riêng là: 2; 3 và 5. Số mũ lớn nhất của 2 là 3. Số mũ lớn nhất của 3 là 1. Số mũ lớn nhất của 5 là 1.
Vậy: BCNN(24,[nbsp]10) = 23[nbsp].[nbsp]3[nbsp].[nbsp]5 = 120.
b) 10; 12 và 15;
Phân tích ra thừa số nguyên tố: 10[nbsp]=[nbsp]2[nbsp].[nbsp]5; 12[nbsp]=[nbsp]22[nbsp].[nbsp]3 và 15[nbsp]=[nbsp]3[nbsp].[nbsp]5.
Các thừa số chung và riêng là: 2; 3 và 5. Số mũ lớn nhất của 2 là 2. Số mũ lớn nhất của 3 và 5 đều là 1.
Vậy BCNN(10,[nbsp]12,[nbsp]15) = 22[nbsp].[nbsp]3[nbsp].[nbsp]5 = 60.
c) 8; 9 và 11;
Cách 1: Ta có: 8[nbsp]=[nbsp]23; 9[nbsp]=[nbsp]32 và 11 là một số nguyên tố.
Các thừa số chung và riêng là: 2; 3 và 11. Số mũ lớn nhất của 2; 3 và 11 lần lượt là 3; 2 và 1.
Do đó: ƯCLN(8,[nbsp]9,[nbsp]11) = 23[nbsp].[nbsp]32[nbsp].[nbsp]11 = 792.
Cách 2: Ta có:
ƯCLN(8,[nbsp]9) = ƯCLN(9,[nbsp]11) = ƯCLN(11,[nbsp]8) = 1.
Nên: 8; 9 và 11 đôi một nguyên tố cùng nhau.
Do đó:
BCNN(8,[nbsp]9,[nbsp]11) = 8[nbsp].[nbsp]9[nbsp].[nbsp]11 = 792.
d) 18 và 180.
Cách 1: Phân tích ra thừa số nguyên tố. >>> Bạn đọc tự làm.
Cách 2: Vì 180 chia hết cho 18 nên:
BCNN(18,[nbsp]180) = 180.
Bài tập 2.5:
BC(9, 24)
Ta có: 9[nbsp]=[nbsp]32 và 24[nbsp]=[nbsp]23[nbsp].[nbsp]3.
Do đó: BCNN(9,[nbsp]24) = 23[nbsp].[nbsp]32 = 72.
Suy ra: BC(9,[nbsp]24) = B(72) = {0; 72; 144; 216; …}
BC(14, 21, 56)
Ta có: 14[nbsp]=[nbsp]2[nbsp].[nbsp]7; 21[nbsp]=[nbsp]3[nbsp].[nbsp]7 và 56[nbsp]=[nbsp]23[nbsp].[nbsp]7.
Do đó: BCNN(14,[nbsp]21,[nbsp]56) = 23[nbsp].[nbsp]3[nbsp].[nbsp]7 = 168.
Suy ra: BC(14,[nbsp]21,[nbsp]56) = B(168) = {0; 168; 336; 504; …}
BC(150, 225)
Ta có: 150[nbsp]=[nbsp]2[nbsp].[nbsp]3[nbsp].[nbsp]52 và 225[nbsp]=[nbsp]32[nbsp].[nbsp]52.
Do đó: BCNN(150,[nbsp]225) = 2[nbsp].[nbsp]32[nbsp].[nbsp]52 = 450.
Suy ra: BC(150,[nbsp]225) = B(450) = {0; 450; 900; 1 350; …}
Bài tập 2.6: Tìm các bội chung nhỏ hơn 100 của 10 và 15.
Ta có: 10[nbsp]=[nbsp]2[nbsp].[nbsp]5 và 15[nbsp]=[nbsp]3[nbsp].[nbsp]5.
Do đó: BCNN(10,[nbsp]15) = 2[nbsp].[nbsp]3[nbsp].[nbsp]5 = 30.
Suy ra: BC(10,[nbsp]15) = B(30) = {0; 30; 60; 90; 120; …}
Ta cần tìm các bội chung nhỏ hơn 100 nên ta chỉ chọn các số: 0; 30; 60; 90.
Bài tập 2.7:
a) x ⋮ 4; x[nbsp]⋮[nbsp]6 và 0[nbsp]<[nbsp]x[nbsp]<[nbsp]50;
Vì x ⋮ 4 và x[nbsp]⋮[nbsp]6 nên x là bội chung của 4 và 6.
Ta có 4[nbsp]=[nbsp]22 và 6[nbsp]=[nbsp]2[nbsp].[nbsp]3
Nên BCNN(4,[nbsp]6) = 22[nbsp].[nbsp]3 = 12.
Do đó: BC(4,[nbsp]6) = B(12) = {0; 12; 24; 36; 48; 60; …}
Vậy x ∈ {0; 12; 24; 36; 48; 60; …}
Vì 0 < x < 5 nên ta chỉ chọn các số 12; 24; 36; 48.
Vậy x là một trong các số 12; 24; 36 và 48.
b) x ⋮ 12; x[nbsp]⋮[nbsp]18 và x[nbsp]≤[nbsp]144;
Vì x ⋮ 12 và x[nbsp]⋮[nbsp]18 nên x là bội chung của 12 và 18.
Ta có: 12[nbsp]=[nbsp]22[nbsp].[nbsp]3 và 18[nbsp]=[nbsp]2[nbsp].[nbsp]32.
Do đó: BCNN(12,[nbsp]18) = 22[nbsp].[nbsp]32 = 36.
Suy ra: BC(12,[nbsp]18) = B(36) = {0; 36; 72; 108; 144; 180; …}
Vì x ≤ 144 nên ta chỉ chọn các số 0; 36; 72; 108; 144.
Vậy x là một trong các số 0; 36; 72; 108; 144.