Sau đây là các bài tập TOÁN về ÁP DỤNG ƯỚC và BỘI dành cho học sinh lớp 6. Trước khi làm bài tập, nên xem lại lý thuyết trong các bài liên quan:
Các dạng bài tập thường gặp:
Bài tập 1: Số học sinh khối 6 của một trường học là một số có ba chữ số và khi các học sinh này xếp thành 18 hàng, 21 hàng hoặc 24 hàng thì đều vừa hết. Tìm số học sinh khối 6 của trường đó?
Bài tập 2: Các học sinh của một trường học khi xếp thành hàng 3, hàng 4, hàng 7, hàng 9 đều vừa đủ hàng. Tìm số học sinh của trường đó, biết rằng số học sinh này trong khoảng từ 1 600 đến 2 000.
Bài tập 3: Có một số cuốn sách khi xếp thành từng bó 8 cuốn, 12 cuốn hoặc 15 cuốn thì đều vừa đủ bó. Cho biết số sách trong khoảng từ 400 đến 500 cuốn. Tìm số cuốn sách đó?
Bài tập 4: Một lớp học có 45 học sinh. Hỏi có thể xếp được nhiều nhất là bao nhiêu hàng sao cho các hàng có số học sinh như nhau?
Bài tập 5: Một đội y tế có 24 bác sĩ và 108 y tá. Có thể chia đội y tế đó thành nhiều nhất là bao nhiêu tổ sao cho số bác sĩ và số y tá được chia đều vào các tổ?
Bài tập 6: Bạn Lan và Minh thường đến thư viện đọc sách. Lan cứ 8 ngày lại đến thư viện một lần. Minh cứ 10 ngày lại đến thư viện một lần. Vào một ngày nọ, hai bạn gặp nhau tại thư viện. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày nữa thì hai bạn ấy lại gặp nhau tại thư viện?
Bài tập 7: Một đám đất hình chữ nhật dài 52 m, rộng 36 m. Người ta muốn chia đám đất thành những khoảnh đất hình vuông bằng nhau để trồng các loại rau. Hỏi với cách chia nào thì cạnh hình vuông là lớn nhất và bằng bao nhiêu? (Biết rằng cạnh hình vuông là một số tự nhiên có đơn vị là mét)
Bài tập 8: Cô Lan phụ trách đội cần chia số trái cây gồm 80 quả cam, 48 quả quýt và 64 quả mận vào các đĩa sao số quả mỗi loại trong các đĩa đều bằng nhau. Hỏi có thể chia thành nhiều nhất bao nhiêu đĩa? Khi đó, mỗi đĩa có bao nhiêu trái mỗi loại?
Bài tập 9: Có ba chồng sách: Toán, Âm nhạc, Văn. Mỗi chồng chỉ có một loại sách. Mỗi cuốn Toán dày 15 mm, mỗi cuốn Âm nhạc dày 6 mm, mỗi cuốn Văn dày 8 mm. Người ta xếp sao cho ba chồng sách bằng nhau. Tính chiều cao nhỏ nhất của ba chồng sách đó.
Bài tập 10: Một lớp học có 28 nam và 24 nữ. Có bao nhiêu cách chia đều học sinh thành các tổ với số tổ nhiều hơn 1 sao cho số nam trong các tổ bằng nhau và số nữ trong các tổ bằng nhau? Cách chia nào để mỗi tổ có số học sinh ít nhất.
Bài tập 11: Một trường tổ chức cho khoảng từ 600 đến 800 học sinh đi tham quan bằng ô tô. Tính số học sinh đi tham quan, biết rằng nếu xếp 40 người hay 45 người vào một xe thì đều không dư.
Bài tập 12: Một đội văn nghệ có 102 thành viên được chia thành các tổ đều nhau, sao cho trong mỗi tổ, khi chia nhóm để biểu diễn các tiết mục song ca hoặc tam ca thì đều không dư người nào. Hỏi mỗi tổ có bao nhiêu người, biết rằng có ít nhất 2 tổ?
Bài tập 13: Số học sinh khối 6 của trường khi xếp thành 12 hàng, 15 hàng hay 18 hàng đều dư ra 9 học sinh. Hỏi số học sinh khối 6 của trường đó là bao nhiêu? Biết rằng số học sinh đó lớn hơn 300 và nhỏ hơn 400.
Bài tập 14: Một khối học sinh khi xếp thành hàng 4, hàng 5, hàng 6 đều thừa 1 người, nhưng xếp thành hàng 7 thì vừa đủ. Biết số học sinh chưa đến 400 người. Tính số học sinh.
Bài tập 15: Có 100 quyển vở và 90 bút chì được thưởng đều cho một số học sinh, còn lại 4 quyển vở và 18 bút chì không đủ chia đều. Tính số học sinh được thưởng.
Bài tập 16: Nếu xếp một số sách vào từng túi 10 cuốn thì vừa hết, vào từng túi 12 cuốn thì thừa 2 cuốn, vào từng túi 18 cuốn thì thừa 8 cuốn. Biết rằng số sách trong khoảng từ 715 đến 1000, tính số sách đó.
Bài tập 17: Hai lớp 6A, 6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Trong lớp 6A, một bạn thu được 26 kg, còn lại mỗi bạn thu 11 kg. Trong lớp 6B, một bạn thu được 25 kg, còn lại mỗi bạn thu 10 kg. Tính số học sinh mỗi lớp, biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng từ 200 kg đến 300 kg.
Đáp án các bài tập:
Bài tập 1: Gọi số học sinh khối 6 của trường đó là x.
Vì các học sinh khi xếp thành 18 hàng, 21 hàng hoặc 24 hàng thì đều vừa hết nên số học sinh chia hết cho 18; 21 và 24. Tức là: x ⋮ 18; x ⋮ 21 và x ⋮ 24.
Do đó x là BỘI CHUNG của 18; 21 và 24.
Ta có: 18 = 32 . 2; 21 = 3 . 7 và 24 = 23 . 3.
Do đó: BCNN(18, 21, 24) = 23 . 32 . 7 = 504.
Suy ra: BC(18, 21, 24) = B(504) = {0; 504; 1 008; …}.
Nhưng theo đề bài thì số học sinh là số có 3 chữ số nên ta chỉ chọn x = 504.
Vậy số học sinh khối 6 của trường đó là 504.
Bài tập 2: Các học sinh khi xếp thành hàng 3, hàng 4, hàng 7, hàng 9 đều vừa đủ hàng nên số học sinh này chia hết cho 3, cho 4, cho 7 và cho 9.
Do đó, số học sinh đó là BỘI CHUNG của 3; 4; 7 và 9.
Ta có: 3 và 7 là số nguyên tố, 4 = 22 và 9 = 32.
Do đó: BCNN(3, 4, 7, 9) = 22 . 32 . 7 = 252.
Suy ra: BC(3, 4, 7, 9) = B(252) = {0; 252; 504; 756; 1 008; 1 260; 1 512; 1 764; 2 016; …}
Vì số học sinh từ 1 600 đến 2 000 nên ta chọn số 1 764.
Vậy trường đó có 1 764 học sinh.
Bài tập 3: Số cuốn sách khi xếp thành từng bó 8 cuốn, 12 cuốn hoặc 15 cuốn thì đều vừa đủ bó nên số cuốn sách này chia hết cho 8; 12 và 15.
Do đó, số cuốn sách này là BỘI CHUNG của 8; 12 và 15.
Ta có: 8 = 23; 12 = 22 . 3 và 15 = 3 . 5.
Do đó: BCNN(8, 12, 15) = 23 . 3 . 5 = 120.
Suy ra: BC(8, 12, 15) = B(120) = {0; 120; 240; 360; 480; 600; …}
Vì số cuốn sách trong khoảng từ 400 đến 500 nên ta chọn số 480.
Vậy có 480 cuốn sách.
Bài tập 4: Vì các hàng có số học sinh như nhau nên số hàng xếp được là ƯỚC của 45.
Ta có: Ư(45) = {1; 3; 5; 9; 15; 45}
Trong các ƯỚC của 45 thì 45 là số lớn nhất. Vậy có thể xếp được nhiều nhất là 45 hàng.
Bài tập 5: Số tổ nhiều nhất chia được là ước chung lớn nhất của 24 và 108.
Ta có: 24 = 23 . 3 và 108 = 22 . 33.
Do đó: ƯCLN(24, 108) = 22 . 3 = 12.
Vậy có thể chia được nhiều nhất là 12 tổ.
Bài tập 6: Số ngày ít nhất để Lan và Minh gặp nhau tại thư viện lần nữa chính là bội chung nhỏ nhất của 8 và 10.
Ta có: 8 = 23 và 10 = 2 . 5.
Do đó: BCNN(8, 10) = 23 . 5 = 40.
Vậy sau ít nhất 40 ngày nữa thì hai bạn ấy lại gặp nhau tại thư viện.
Bài tập 7: Độ dài cạnh hình vuông là ước chung của 52 và 36.
Do đó, cạnh hình vuông là lớn nhất khi nó bằng ước chung lớn nhất của 52 và 36.
Ta có: 52 = 22 . 13 và 36 = 22 . 33.
Do đó: ƯCLN(52, 36) = 22 = 4.
Vậy độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông là 4 m.
Bài tập 8: Số đĩa nhiều nhất chia được chính là ước chung lớn nhất của 80, 48 và 64.
Ta có: 80 = 24 . 5; 48 = 24 . 3 và 64 = 26.
Do đó: ƯCLN(80, 48, 64) = 24 = 16.
Vậy có thể chia thành nhiều nhất là 16 đĩa.
Khi đó, trong mỗi đĩa có:
- số quả cam là: 80
- số quả quýt là: 48
- số quả mận là: 64
Bài tập 9: Chiều cao nhỏ nhất của ba chồng sách đó là BCNN(15, 6, 8).
Ta có: 15 = 3 . 5; 6 = 2 . 3 và 8 = 23.
Do đó: BCNN(15, 6, 8) = 23 . 3 . 5 = 120.
Vậy chiều cao nhỏ nhất của ba chồng sách đó là 120 mm.
Bài tập 10: Số tổ chia được là ước chung của 28 và 24.
Ta có: 28 = 22 . 7 và 24 = 23 . 3.
Do đó: ƯCLN(28, 24) = 22 = 4.
Suy ra: ƯC(28, 24) = Ư(4) = {1; 2; 4}.
Vì số tổ nhiều hơn 1 nên ta có hai cách chia tổ: chia thành 2 tổ hoặc chia thành 4 tổ.
Khi chia thành càng nhiều tổ thì số học sinh trong mỗi tổ sẽ càng ít. Vậy để mỗi tổ có số học sinh ít nhất thì số tổ phải nhiều nhất, tức là 4 tổ.
Bài tập 11: Số học sinh là bội chung của 40 và 45.
Ta có: 40 = 23 . 5 và 45 = 32 . 5.
Do đó: BCNN(40, 45) = 23 . 32 . 5 = 360.
Suy ra: BC(40, 45) = B(360) = {0; 360; 720; 1 080; …}
Vì số học sinh trong khoảng từ 600 đến 800 nên ta chọn số 720.
Vậy có 720 học sinh đi tham quan.
Bài tập 12: Gọi x là số tổ và y là số người trong mỗi tổ.
Vì có ít nhất 2 tổ nên x ≥ 2.
Đội văn nghệ có 102 thành viên nên x . y = 102. Do đó, y là ước của 102.
Trong mỗi tổ, khi chia nhóm để biểu diễn song ca hoặc tam ca thì đều không dư nên số người trong mỗi tổ chia hết cho cả 2 và 3. Do đó, y là bội chung của 2 và 3.
Vậy y vừa là ước của 102, vừa là bội chung của 2 và 3.
Ta có: Ư(102) = {1; 2; 3; 6; 17; 34; 51; 102}
Trong các ước trên, các số là bội chung của 2 và 3 là: 6 và 102.
Vậy y ∈ {6; 102}.
Nếu y = 6 thì x = 102 : y = 102 : 6 = 17 thỏa mãn điều kiện x ≥ 2.
Nếu y = 102 thì x = 102 : y = 102 : 102 = 1 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 2. → Ta loại bỏ trường hợp này.
Tóm lại, y = 6.
Vậy mỗi tổ có 6 người.
Bài tập 13: Gọi x là số học sinh khối 6 của trường đó.
Vì số học sinh lớn hơn 300 và nhỏ hơn 400 nên 300 < x < 400.
Khi xếp thành 12 hàng thì dư ra 9 học sinh, vậy x chia cho 12 thì dư 9. Suy ra x – 9 chia hết cho 12. Do đó, x – 9 là bội của 12.
Tương tự, vì khi xếp thành 15 hàng hay 18 hàng đều dư ra 9 học sinh nên x – 9 chia hết cho 15 và 18. Do đó, x – 9 là bội của 15 và là bội của 18.
Vậy x – 9 là bội chung của 12, 15 và 18.
Ta có: 12 = 22 . 3; 15 = 3 . 5 và 18 = 2 . 32.
Do đó: BCNN(12, 15, 18) = 22 . 32 . 5 = 180.
Suy ra: (x – 9) ∈ BC(12, 15, 18) = B(180) = {0; 180; 360; 540; …}
Vì 300 < x < 400 nên 291 < x – 9 < 391. Vậy ta chọn x – 9 = 360. Suy ra x = 360 + 9 = 369.
Vậy khối 6 của trường đó có 369 học sinh.
Bài tập 14: Gọi x là số học sinh.
Vì số học sinh chưa đến 400 nên x < 400.
Khi xếp thành hàng 4, hàng 5, hàng 6 đều thừa 1 người nên x – 1 chia hết cho 4; 5 và 6. Do đó, x – 1 là bội chung của 4; 5 và 6.
Ta có: 4 = 22; 5 là số nguyên tố và 6 = 2 . 3.
Do đó: BCNN(4, 5, 6) = 22 . 3 . 5 = 60.
Suy ra: x – 1 ∈ BC(4, 5, 6) = B(60) = {0; 60; 120; 180; 240; 300; 360; 420; …}
Vì x < 400 nên x – 1 < 400 – 1 = 399. Vậy x – 1 ∈ {0; 60; 120; 180; 240; 300; 360}
Ta còn một điều kiện chưa xét đến: “xếp thành hàng 7 thì vừa đủ”. Điều này có nghĩa là x chia hết cho 7. Dựa vào điều này ta sẽ chọn được giá trị x phù hợp.
Nếu x – 1 = 0 thì x = 0 + 1 = 1 không chia hết cho 7. → LOẠI.
Nếu x – 1 = 60 thì x = 60 + 1 = 61 không chia hết cho 7. → LOẠI.
Nếu x – 1 = 120 thì x = 120 + 1 = 121 không chia hết cho 7. → LOẠI.
Nếu x – 1 = 180 thì x = 180 + 1 = 181 không chia hết cho 7. → LOẠI.
Nếu x – 1 = 240 thì x = 240 + 1 = 241 không chia hết cho 7. → LOẠI.
Nếu x – 1 = 300 thì x = 300 + 1 = 301 chia hết cho 7. → NHẬN.
Nếu x – 1 = 360 thì x = 360 + 1 = 361 không chia hết cho 7. → LOẠI.
Do đó: x = 301 thỏa mãn tất cả các yêu cầu của đề bài.
Vậy số học sinh là 301.
Bài tập 15: Gọi x là số học sinh.
Theo đề bài thì khi chia 100 quyển vở cho x học sinh này thì dư 4 quyển vở. Vậy 100 chia cho x thì dư 4. Suy ra 100 – 4 chia hết cho x. Tức là 96 chia hết cho x. Vậy x là ước của 96.
Tương tự, 90 bút chì chia cho x học sinh thì dư 18 bút chì. Do đó, 90 – 18 chia hết cho x. Tức là 72 chia hết cho x. Vậy x là ước của 72.
Từ hai điều trên, ta suy ra x là ước chung của 96 và 72.
Ta có: 96 = 25 . 3 và 72 = 23 . 32.
Do đó: ƯCLN(96, 72) = 23 . 3 = 24.
Suy ra: x ∈ ƯC(96, 72) = Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}.
Tuy nhiên, để ý rằng 4 là số dư của phép chia 100 cho x và 18 là số dư của phép chia 90 cho x, mà số số dư thì không được lớn hơn thương, nên x > 4 và x > 18. Do đó, x > 18.
Vậy x = 24.
Tức là có 24 học sinh được thưởng.
Bài tập 16: Gọi x là số sách đó.
Xếp x cuốn sách vào túi 10 cuốn thì vừa hết, vào túi 12 cuốn thì thừa 2 cuốn, vào túi 18 cuốn thì thừa 8 cuốn nên x chia hết cho 10, chia 12 dư 2 và chia 18 dư 8.
Vì x ⋮ 10 nên (x + 10) ⋮ 10.
Vì x chia 12 dư 2 nên (x + 10) ⋮ 12.
Vì x chia 18 dư 8 nên (x + 10) ⋮ 18.
Từ ba điều trên ta suy ra (x + 10) là bội chung của 10; 12 và 18.
Ta có: 10 = 2 . 5; 12 = 22 . 3 và 18 = 2 . 32.
Do đó: BCNN(10, 12, 18) = 22 . 32 . 5 = 180.
Suy ra: (x + 10) ∈ BC(10, 12, 18) = B(180) = {0; 180; 360; 540; 720; 900; 1 080; …}
Vì số sách trong khoảng từ 715 đến 1000 nên 715 ≤ x ≤ 1 000. Suy ra: 725 ≤ x + 10 ≤ 1 010.
Vậy ta chọn x + 10 = 900. Suy ra: x = 900 – 10 = 890.
Vậy có 890 cuốn sách.
Bài tập 17:
Gọi x là số kg giấy vụn mà mỗi lớp 6A, 6B thu được.
Trong lớp 6A, một bạn thu được 26 kg, còn lại mỗi bạn thu 11 kg, nên (x – 26) ⋮ 11. Do đó (x – 15) ⋮ 11.
Trong lớp 6B, một bạn thu được 25 kg, còn lại mỗi bạn thu 10 kg nên (x – 25) ⋮ 10. Do đó (x – 15) ⋮ 10.
Vậy x – 15 là bội chung của 11 và 10.
Vì 11 và 10 là hai số nguyên tố cùng nhau nên BCNN(11, 10) = 11 . 10 = 110.
Suy ra: (x – 15) ∈ BC(11, 10) = B(110) = {0; 110; 220; 330; 440; …}
Ngoài ra, số giấy mỗi lớp thu được từ 200 đến 300 kg nên 200 ≤ x ≤ 300. Suy ra: 185 ≤ x – 15 ≤ 285.
Do đó ta chọn x – 15 = 220.
Suy ra: x = 220 + 15 = 235.
Vậy số giấy vụn mỗi lớp thu được là 235 kg.
Số học sinh lớp 6A là: 1 + (235 – 26) : 11 = 20 (học sinh).
Số học sinh lớp 6B là: 1 + (235 – 25) : 10 = 22 (học sinh).