Bài tập TOÁN 6 (CT mới) – Bài tập tổng hợp về TÍNH CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN.

Các bài tập sau đây phù hợp với cả ba bộ sách của chương trình Toán lớp 6 mới: CÁNH DIỀU, CHÂN TRỜI SÁNG TẠO, KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG. Mức độ DỄ: BT 1: Bạn Nguyệt có $102$ cây bút và muốn bó thành từng bó $5$ cây. Hỏi Nguyệt có thể […]

Các bài tập sau đây phù hợp với cả ba bộ sách của chương trình Toán lớp 6 mới: CÁNH DIỀU, CHÂN TRỜI SÁNG TẠO, KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG.

Mức độ DỄ:

BT 1: Bạn Nguyệt có $102$ cây bút và muốn bó thành từng bó $5$ cây. Hỏi Nguyệt có thể bó được nhiều nhất bao nhiêu bó bút như vậy?

Ta có: $102 : 5 = 20$ (dư $2).$

Vậy Nguyệt có thể bó được nhiều nhất là $20$ bó bút như vậy (còn thừa $2$ cây).

BT 2: Một nhóm gồm $234$ người có thể xếp thành $9$ hàng đều nhau được không? Nếu được thì mỗi hàng có bao nhiêu người?

Ta có: $2+3+4=9\;\vdots\;9$ nên $234\;\vdots\;9.$

Vậy $234$ người có thể xếp thành $9$ hàng đều nhau được.

Khi đó, số người trong mỗi hàng là: $234 : 9 = 26$ (người).

BT 3: Trong một trò chơi tập thể nọ, cứ $3$ người thì xếp thành một nhóm. Nếu có $146$ người thì sau khi xếp nhóm, có thừa bạn nào không?

Ta có: $1+4+6 = 10\;\vdots\;3$ nên $146\;\vdots\;3.$

Vậy nếu có $146$ người thì sau khi xếp nhóm $3$ người sẽ còn thừa.

Vì $10$ chia $3$ dư $1$ nên $146$ chia $3$ dư $1.$ Do đó, còn thừa $1$ bạn không được ghép nhóm.

BT 4: Xét xem mỗi biểu thức sau có chia hết cho $6$ không?

a) $120 + 30-6;$

b) $2\cdot 3\cdot 5 + 6\cdot 7\cdot 13;$

c) $3^2\cdot 4 – 2^3\cdot 5.$

a) Ta có: $120\;\vdots\;6;$ $30\;\vdots\;6$ và $6\;\vdots\;6$

Suy ra: $120+30-6\;\vdots\;6.$

b) Ta có:

+) $2\cdot 3\cdot 5 = 6\cdot 5 \;\vdots\;6$ (vì tích có chứa thừa số $6).$

+) $6\cdot 7\cdot 13 \;\vdots\;6$ (vì tích có chứa thừa số $6).$

Suy ra: $2\cdot 3\cdot 5 + 6\cdot 7\cdot 13\;\vdots\;6.$

c) Ta có:

+) $3^2\cdot 4 = 9\cdot 4 = 36\;\vdots\;6$

+) $2^3\cdot 5 = 8\cdot 5 = 40\;\not{\vdots}\;6.$

Suy ra: $3^2\cdot 4 – 2^3\cdot 5\;\not{\vdots}\;6.$

BT 5: Xác định xem số nào là số nguyên tố, số nào là hợp số trong các số sau đây: $23;$ $35;$ $69;$ $17;$ $102.$ Nếu là hợp số, hãy phân tích nó ra thừa số nguyên tố.

Các số nguyên tố là: $23;$ $17.$

Các hợp số là: $35;$ $69;$ $102.$

+) $35 = 5\cdot 7;$

+) $69 = 3\cdot 23;$

+) $102 = 2\cdot 3\cdot 17.$

BT 6: Tìm số tự nhiên $a,$ biết rằng:

a) $15\;\vdots\;a$ và $a>3.$

b) $75\;\vdots\;a$ và $40\;\vdots\;a.$

c) $a\;\vdots\;12$ và $36\leq a<60.$

d) $a\;\vdots\;15;$ $a\;\vdots\;27$ và $a<600.$

a) $15\;\vdots\;a$ và $a>3.$

Vì $15\;\vdots\;a$ nên $a$ là ước của $15.$

Vậy $a\in Ư(15) = \{1; 3; 5; 15\}.$

Mà $a>3$ nên $ a=5$ hoặc $a=15.$

b) $75\;\vdots\;a;$ $40\;\vdots\;a.$

Vì $75\;\vdots\;a$ và $40\;\vdots\;a$ nên $a$ là ước chung của $75$ và $40.$

Ta có: $75 = 3\cdot 5^2$ và $40 =2^3\cdot 5.$

Suy ra: $ƯCLN(75, 40) = 5.$

Suy ra: $a\in ƯC(75,40) = Ư(5) = \{1; 5\}.$

Vậy $a=1$ hoặc $a=5.$

c) $a\;\vdots\;12$ và $36\leq a<60.$

Vì $a\;\vdots\;12$ nên $a$ là bội của $12.$

Vậy $a\in B(12) =\{0; 12; 24; 36; 48; 60; 72; …\}.$

Mà $36\leq a<60$ nên $a=36$ hoặc $a=48.$

d) $a\;\vdots\;15;$ $a\;\vdots\;27$ và $a<600.$

Vì $a\;\vdots\;15$ và $a\;\vdots\;27$ nên $a$ là bội chung của $15$ và $27.$

Ta có: $15 = 3\cdot 5$ và $27 = 3^3.$

Suy ra: $BCNN(15, 27) = 3^3\cdot 5 =135.$

Suy ra: $a\in BC(15, 27) = B(135) = \{0; 135; 270; 405; 540; 675; …\}.$

Mà $a<600$ nên $a$ bằng một trong các số $0; 135; 270; 405; 540.$

Mức độ TRUNG BÌNH:

BT 7: Người ta muốn chia đều $210$ bút bi, $270$ bút chì và $420$ cục tẩy thành một số phần thưởng như nhau. Hỏi có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu phần thưởng? Khi đó, mỗi phần thưởng có bao nhiêu bút bi, bút chì và tẩy?

Gọi $x$ là số phần thưởng nhiều nhất chia được.

Chia đều $210$ bút bi, $270$ bút chì và $420$ cục tẩy cho $x$ phần thưởng nên $210\;\vdots\;x;$ $270\;\vdots\;x$ và $420\;\vdots\;x.$

Suy ra $x$ là ước chung của $210;$ $270$ và $420.$ Nhưng vì $x$ lớn nhất nên $x= ƯCLN(210, 270, 420).$

Ta có: $210 =2\cdot 3\cdot 5\cdot 7;$ $270 = 2\cdot 3^3\cdot 5$ và $420 = 2^2\cdot 3\cdot 5\cdot 7.$

Suy ra: $x = ƯCLN(210, 270, 420) = 2\cdot 3\cdot 5 = 30.$

Vậy chia được nhiều nhất là $30$ phần thưởng.

Khi đó, mỗi phần thưởng có:

+) số bút bi là: $210 : 30 = 7$ (bút bi);

+) số bút chì là: $270 : 30 = 9$ (bút chì);

+) số cục tẩy là: $420 : 30 = 14$ (cục).

BT 8: Bạn Lan có một số bông hoa hồng. Nếu Lan bó thành các bó gồm $5$ bông, $6$ bông hay $9$ bông thì đều vừa hết. Hỏi Lan có bao nhiêu bông hoa hồng? Biết rằng bạn Lan có khoảng từ $300$ đến $400$ bông.

Gọi $x$ là số bông hoa hồng.

$x$ bông hồng khi bó thành các bó gồm $5$ bông, $6$ bông hay $9$ bông thì đều vừa hết, nên $x$ chia hết cho $5;$ $6$ và $9.$ Do đó, $x$ là bội chung của $5;$ $6$ và $9.$

Ta có: $5$ là số nguyên tố; $6=2\cdot 3$ và $9=3^2.$

Suy ra: $BCNN(5, 6, 9) = 5\cdot 2\cdot 3^2 = 90.$

Suy ra: $x\in BC(5, 6, 9) = B(90) = \{0; 90; 180; 270; 360; 450; …\}.$

Lan có khoảng từ $300$ đến $400$ bông nên $300 \leq x\leq 400.$

Do đó, $x=360.$

Vậy Lan có $360$ bông hồng.

BT 9: Tìm số tự nhiên có dạng $\overline{93ab}$ sao cho số đó chia hết cho cả $2;$ $3;$ $5$ và chia cho $9$ thì dư $3.$

Số $\overline{93ab}$ chia hết cho cả $2$ và $5$ nên tận cùng là $0,$ tức là $b=0.$

Số $\overline{93ab}$ chia hết cho $3$ nên $9+3+a+b = 9+3+a+0\;\vdots\;3,$ hay $12+a\;\vdots\;3.$

Vì $12\;\vdots\;3$ nên $a\;\vdots\;3.$

Suy ra: $a\in \{0; 3; 6; 9\}.$

Mặt khác, $\overline{93ab}$ chia cho $9$ dư $3,$ nên $9+3+a+b=12+a$ chia cho $9$ dư $3.$

+) Nếu $a=0$ thì $12+a=12$ chia $9$ dư $3.$ (Nhận)

+) Nếu $a=3$ thì $12+a = 15$ chia $9$ dư $6.$ (Loại)

+) Nếu $a=6$ thì $12+a=18$ chia hết cho $9.$ (Loại)

+) Nếu $a=9$ thì $12+a=21$ chia $9$ dư $3.$ (Nhận)

Vậy $a=0$ hoặc $a=9$ và $b=0.$

Có hai số tự nhiên thỏa mãn đề bài là $9300$ và $9390.$

BT 10: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức $2\;023\cdot 45 + 9\cdot 2\;025$ là một hợp số.

Ta có: $2\;023\cdot 45 + 9\cdot 2\;025$ $= 2\;023\cdot 9\cdot 5 + 9\cdot 2\;025$ $= 9\cdot (2\;023\cdot 5 +2\;025) \;\vdots\;9.$

Vậy $2\;023\cdot 45 + 9\cdot 2\;025 $ là hợp số (vì chia hết cho $9).$

BT 11: Số tự nhiên $A$ có hai chữ số thỏa mãn $A$ chia cho $9$ dư $1$ và chia cho $10$ dư $3.$ Khi đó, $A$ chia cho $13$ có số dư là bao nhiêu?

Cách 1:

Gọi $A=\overline{ab}$ là số có hai chữ số.

Vì $A$ chia $10$ dư $3$ nên tận cùng của nó là chữ số $3.$ Tức là $b=3.$

Vì $A$ chia $9$ dư $1$ nên tổng các chữ số của nó cũng chia $9$ dư $1.$ Tức $a+b=a+3$ chia $9$ dư $1.$

Vì $0\leq a\leq 9$ nên $3\leq a+3\leq 12.$ Trong các số từ $3$ đến $12$ chỉ có số $10$ là chia $9$ dư $1.$ Suy ra $a+3=10,$ hay $a=7.$

Vậy $A=73.$

Ta thấy rằng $73$ chia $13$ được thương là $5$ và số dư là $8.$

Vậy $A$ chia cho $13$ có số dư là $8.$

Cách 2:

$A$ chia $9$ dư $1$ nên $A = 9m+1.$ Suy ra $A+17=9m+18 \;\vdots\;9.$

$A$ chia $10$ dư $3$ nên $A=10n+3.$ Suy ra $A+17 = 10n+20 \;\vdots\;10.$

Suy ra $A+17$ là bội chung của $9$ và $10.$

Vì $9$ và $10$ nguyên tố cùng nhau nên $BCNN(9,10) = 9\cdot 10 = 90.$

Suy ra: $A+17 \in BC(9,10) = B(90) = \{0; 90; 180; …\}.$

Vì $A$ có hai chữ số nên $10 \leq A \leq 99.$ Suy ra $27\leq A+17\leq 116.$

Suy ra: $A+17 = 90,$ hay $A = 90-17 = 73.$

Do đó, $A=73$ chia $13$ có số dư là $8.$

BT 12: Học sinh của một trường THCS khi xếp hàng $20;$ $25;$ $30$ em đều thừa $15$ em, nhưng khi xếp thành hàng $41$ em thì vừa đủ hàng. Hỏi trường đó có bao nhiêu học sinh, biết rằng số học sinh trường đó chưa đến $1\;000$ em.

Gọi $x$ là số học sinh của trường đó.

$x$ học sinh khi xếp hàng $20;$ $25$ hoặc $30$ em đều thừa $15$ em nên $x-15$ chia hết cho cả $20; 25; 30.$ Suy ra: $x-15\in BC(20, 25, 30).$

Ta có: $20 = 2^2\cdot 5;$ $25 = 5^2$ và $30 = 2\cdot 3\cdot 5.$

Suy ra: $BCNN(20, 25, 30) = 2^2\cdot 3\cdot 5^2 =300.$

Suy ra: $x-15 \in BC(20, 25, 30) = B(300) =\{0; 300; 600; 900; 1\;200; …\}$

Suy ra: $x\in \{15; 315; 615; 915; 1\;215; …\}$ (1)

Vì số học sinh chưa đến $1\;000$ em nên $x<1\;000$ (2)

Vì khi xếp thành hàng $41$ em thì vừa đủ hàng nên $x\;\vdots\;41$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $x = 615.$

Vậy trường đó có $615$ học sinh.

Mức độ KHÓ:

BT 13: Cho $A=7+7^2+7^3+…+7^{36}.$

a) $A$ là số chẵn hay số lẻ?

b) Chứng minh rằng $A\;\vdots\;3,$ $A\;\vdots\;8$ và $A\;\vdots\;19.$

a) Nhận xét: $7^n\;\not{\vdots}\;2$ (tức là số lẻ) với $n$ là số tự nhiên bất kỳ.

Ta thấy $A$ là tổng của $36$ số hạng, mỗi số hạng đều là số lẻ nên $A$ là số chẵn (vì $36$ là số chẵn).

b)

+) Chứng minh $A\;\vdots\;3.$

Ta có:

$A=7+7^2+7^3+…+7^{36}$ $= 7\cdot (1+7+7^2) + … + 7^{34}\cdot (1+7+7^2)$ $=7\cdot 57 + … + 7^{34}\cdot 57$ $=57\cdot (7+…+7^{34}) \;\vdots\;3$ (vì tích có chứa thừa số $57\;\vdots\;3).$

+) Chứng minh $A\;\vdots\;19.$

Ta đã có: $A = 57\cdot (7+…+7^{34}),$ mà $57\;\vdots\;19$ nên $A\;\vdots\;19.$

+) Chứng minh $A\;\vdots\;8.$

Ta có: $A=7+7^2+7^3+…+7^{36}$ $=7\cdot (1+7) + 7^3\cdot (1+7) +…+ 7^{35}\cdot (1+7)$ $= 7\cdot 8 + 7^3\cdot 8+ … + 7^{35}\cdot 8$ $= 8\cdot (7+7^3+…+7^{35}) \;\vdots\;8$ (vì tích có chứa thừa số $8).$

BT 14: Cho $a,b\in \mathbb{N}^*$ sao cho $a^2+b^2$ chia hết cho tích $ab.$ Hãy tìm thương của phép chia $a^2+b^2$ cho $ab.$

Ta có $a^2+b^2\;\vdots\;ab,$ mà $ab\;\vdots\;a$ nên $a^2+b^2\;\vdots\;a.$ Ta lại có $a^2\;\vdots\;a,$ nên $b^2\;\vdots\;a.$ Do đó, $b\;\vdots\;a.$ Suy ra: $b=xa$ (1)

Chứng minh tương tự, ta cũng có: $a\;\vdots\;b.$ Suy ra: $a=yb$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $b=xa=x(yb) = (xy)b.$

Suy ra: $xy = 1.$

Do đó: $x=y=1.$ Tức là $a=b.$

Khi đó: $(a^2+b^2) : (ab)$ $= (a^2+a^2):(a\cdot a)$ $= (2a^2):(a^2)$ $= 2.$

Vậy thương của phép chia $a^2+b^2$ cho $ab$ là $2.$

BT 15: Một số tự nhiên khi chia cho $11$ dư $4,$ khi chia cho $13$ dư $8.$ Tìm số dư trong phép chia số đó cho $143.$

Gọi số cần tìm là $x.$

$x$ chia cho $11$ dư $4$ nên $x=11m+4.$ Suy ra $x+18 = 11m+22\;\vdots\;11$ (1)

$x$ chia cho $13$ dư $8$ nên $x=13n+8.$ Suy ra $x+18 = 13n+26\;\vdots\;13$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $x+18 \in BC(11, 13).$

Vì $11$ và $13$ nguyên tố cùng nhau nên $BCNN(11, 13) = 11\cdot 13 = 143.$

Suy ra: $x+18\in BC(11, 13)=B(143).$

Vậy $x+18$ chia hết cho $143.$

Suy ra $x$ chia cho $143$ có số dư là $143-18 = 125.$

BT 16: Chứng tỏ rằng $M=75\cdot (4^{2021} + 4^{2020} + … + 4^2 + 4 + 1) +25$ chia hết cho $100.$

Ta có:

$M=75\cdot (4^{2021} + 4^{2020} + … + 4^2 + 4 + 1) +25$

$= 75\cdot (4^{2021} + 4^{2020} + … + 4^2 + 4) + 75 + 25$

$=75\cdot (4^{2021} + 4^{2020} + … + 4^2 + 4) + 100$

$=75\cdot 4\cdot (4^{2020}+4^{2019}+…+4+1) + 100$

$=100\cdot 3\cdot (4^{2020}+4^{2019}+…+4+1)+100$

$= 100\cdot [3\cdot (4^{2020}+4^{2019}+…+4+1)+1] \;\vdots\;100.$

Suy ra $M$ chia hết cho $100.$

Chia sẻ nếu thấy hay:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.