Bài tập TOÁN 6 (CT mới) – Bài tập tổng hợp về TÍNH CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN.

Ta có: $102 : 5 = 20$ (dư $2).$

Vậy Nguyệt có thể bó được nhiều nhất là $20$ bó bút như vậy (còn thừa $2$ cây).

Ta có: $2+3+4=9\;\vdots\;9$ nên $234\;\vdots\;9.$

Vậy $234$ người có thể xếp thành $9$ hàng đều nhau được.

Khi đó, số người trong mỗi hàng là: $234 : 9 = 26$ (người).

Ta có: $1+4+6 = 10\;\vdots\;3$ nên $146\;\vdots\;3.$

Vậy nếu có $146$ người thì sau khi xếp nhóm $3$ người sẽ còn thừa.

Vì $10$ chia $3$ dư $1$ nên $146$ chia $3$ dư $1.$ Do đó, còn thừa $1$ bạn không được ghép nhóm.

a) Ta có: $120\;\vdots\;6;$ $30\;\vdots\;6$ và $6\;\vdots\;6$

Suy ra: $120+30-6\;\vdots\;6.$

b) Ta có:

+) $2\cdot 3\cdot 5 = 6\cdot 5 \;\vdots\;6$ (vì tích có chứa thừa số $6).$

+) $6\cdot 7\cdot 13 \;\vdots\;6$ (vì tích có chứa thừa số $6).$

Suy ra: $2\cdot 3\cdot 5 + 6\cdot 7\cdot 13\;\vdots\;6.$

c) Ta có:

+) $3^2\cdot 4 = 9\cdot 4 = 36\;\vdots\;6$

+) $2^3\cdot 5 = 8\cdot 5 = 40\;\not{\vdots}\;6.$

Suy ra: $3^2\cdot 4 – 2^3\cdot 5\;\not{\vdots}\;6.$

Các số nguyên tố là: $23;$ $17.$

Các hợp số là: $35;$ $69;$ $102.$

+) $35 = 5\cdot 7;$

+) $69 = 3\cdot 23;$

+) $102 = 2\cdot 3\cdot 17.$

a) $15\;\vdots\;a$ và $a>3.$

Vì $15\;\vdots\;a$ nên $a$ là ước của $15.$

Vậy $a\in Ư(15) = \{1; 3; 5; 15\}.$

Mà $a>3$ nên $ a=5$ hoặc $a=15.$

b) $75\;\vdots\;a;$ $40\;\vdots\;a.$

Vì $75\;\vdots\;a$ và $40\;\vdots\;a$ nên $a$ là ước chung của $75$ và $40.$

Ta có: $75 = 3\cdot 5^2$ và $40 =2^3\cdot 5.$

Suy ra: $ƯCLN(75, 40) = 5.$

Suy ra: $a\in ƯC(75,40) = Ư(5) = \{1; 5\}.$

Vậy $a=1$ hoặc $a=5.$

c) $a\;\vdots\;12$ và $36\leq a<60.$

Vì $a\;\vdots\;12$ nên $a$ là bội của $12.$

Vậy $a\in B(12) =\{0; 12; 24; 36; 48; 60; 72; …\}.$

Mà $36\leq a<60$ nên $a=36$ hoặc $a=48.$

d) $a\;\vdots\;15;$ $a\;\vdots\;27$ và $a<600.$

Vì $a\;\vdots\;15$ và $a\;\vdots\;27$ nên $a$ là bội chung của $15$ và $27.$

Ta có: $15 = 3\cdot 5$ và $27 = 3^3.$

Suy ra: $BCNN(15, 27) = 3^3\cdot 5 =135.$

Suy ra: $a\in BC(15, 27) = B(135) = \{0; 135; 270; 405; 540; 675; …\}.$

Mà $a<600$ nên $a$ bằng một trong các số $0; 135; 270; 405; 540.$

Gọi $x$ là số phần thưởng nhiều nhất chia được.

Chia đều $210$ bút bi, $270$ bút chì và $420$ cục tẩy cho $x$ phần thưởng nên $210\;\vdots\;x;$ $270\;\vdots\;x$ và $420\;\vdots\;x.$

Suy ra $x$ là ước chung của $210;$ $270$ và $420.$ Nhưng vì $x$ lớn nhất nên $x= ƯCLN(210, 270, 420).$

Ta có: $210 =2\cdot 3\cdot 5\cdot 7;$ $270 = 2\cdot 3^3\cdot 5$ và $420 = 2^2\cdot 3\cdot 5\cdot 7.$

Suy ra: $x = ƯCLN(210, 270, 420) = 2\cdot 3\cdot 5 = 30.$

Vậy chia được nhiều nhất là $30$ phần thưởng.

Khi đó, mỗi phần thưởng có:

+) số bút bi là: $210 : 30 = 7$ (bút bi);

+) số bút chì là: $270 : 30 = 9$ (bút chì);

+) số cục tẩy là: $420 : 30 = 14$ (cục).

Gọi $x$ là số bông hoa hồng.

$x$ bông hồng khi bó thành các bó gồm $5$ bông, $6$ bông hay $9$ bông thì đều vừa hết, nên $x$ chia hết cho $5;$ $6$ và $9.$ Do đó, $x$ là bội chung của $5;$ $6$ và $9.$

Ta có: $5$ là số nguyên tố; $6=2\cdot 3$ và $9=3^2.$

Suy ra: $BCNN(5, 6, 9) = 5\cdot 2\cdot 3^2 = 90.$

Suy ra: $x\in BC(5, 6, 9) = B(90) = \{0; 90; 180; 270; 360; 450; …\}.$

Lan có khoảng từ $300$ đến $400$ bông nên $300 \leq x\leq 400.$

Do đó, $x=360.$

Vậy Lan có $360$ bông hồng.

Số $\overline{93ab}$ chia hết cho cả $2$ và $5$ nên tận cùng là $0,$ tức là $b=0.$

Số $\overline{93ab}$ chia hết cho $3$ nên $9+3+a+b = 9+3+a+0\;\vdots\;3,$ hay $12+a\;\vdots\;3.$

Vì $12\;\vdots\;3$ nên $a\;\vdots\;3.$

Suy ra: $a\in \{0; 3; 6; 9\}.$

Mặt khác, $\overline{93ab}$ chia cho $9$ dư $3,$ nên $9+3+a+b=12+a$ chia cho $9$ dư $3.$

+) Nếu $a=0$ thì $12+a=12$ chia $9$ dư $3.$ (Nhận)

+) Nếu $a=3$ thì $12+a = 15$ chia $9$ dư $6.$ (Loại)

+) Nếu $a=6$ thì $12+a=18$ chia hết cho $9.$ (Loại)

+) Nếu $a=9$ thì $12+a=21$ chia $9$ dư $3.$ (Nhận)

Vậy $a=0$ hoặc $a=9$ và $b=0.$

Có hai số tự nhiên thỏa mãn đề bài là $9300$ và $9390.$

Ta có: $2\;023\cdot 45 + 9\cdot 2\;025$ $= 2\;023\cdot 9\cdot 5 + 9\cdot 2\;025$ $= 9\cdot (2\;023\cdot 5 +2\;025) \;\vdots\;9.$

Vậy $2\;023\cdot 45 + 9\cdot 2\;025 $ là hợp số (vì chia hết cho $9).$

Cách 1:

Gọi $A=\overline{ab}$ là số có hai chữ số.

Vì $A$ chia $10$ dư $3$ nên tận cùng của nó là chữ số $3.$ Tức là $b=3.$

Vì $A$ chia $9$ dư $1$ nên tổng các chữ số của nó cũng chia $9$ dư $1.$ Tức $a+b=a+3$ chia $9$ dư $1.$

Vì $0\leq a\leq 9$ nên $3\leq a+3\leq 12.$ Trong các số từ $3$ đến $12$ chỉ có số $10$ là chia $9$ dư $1.$ Suy ra $a+3=10,$ hay $a=7.$

Vậy $A=73.$

Ta thấy rằng $73$ chia $13$ được thương là $5$ và số dư là $8.$

Vậy $A$ chia cho $13$ có số dư là $8.$

Cách 2:

$A$ chia $9$ dư $1$ nên $A = 9m+1.$ Suy ra $A+17=9m+18 \;\vdots\;9.$

$A$ chia $10$ dư $3$ nên $A=10n+3.$ Suy ra $A+17 = 10n+20 \;\vdots\;10.$

Suy ra $A+17$ là bội chung của $9$ và $10.$

Vì $9$ và $10$ nguyên tố cùng nhau nên $BCNN(9,10) = 9\cdot 10 = 90.$

Suy ra: $A+17 \in BC(9,10) = B(90) = \{0; 90; 180; …\}.$

Vì $A$ có hai chữ số nên $10 \leq A \leq 99.$ Suy ra $27\leq A+17\leq 116.$

Suy ra: $A+17 = 90,$ hay $A = 90-17 = 73.$

Do đó, $A=73$ chia $13$ có số dư là $8.$

Gọi $x$ là số học sinh của trường đó.

$x$ học sinh khi xếp hàng $20;$ $25$ hoặc $30$ em đều thừa $15$ em nên $x-15$ chia hết cho cả $20; 25; 30.$ Suy ra: $x-15\in BC(20, 25, 30).$

Ta có: $20 = 2^2\cdot 5;$ $25 = 5^2$ và $30 = 2\cdot 3\cdot 5.$

Suy ra: $BCNN(20, 25, 30) = 2^2\cdot 3\cdot 5^2 =300.$

Suy ra: $x-15 \in BC(20, 25, 30) = B(300) =\{0; 300; 600; 900; 1\;200; …\}$

Suy ra: $x\in \{15; 315; 615; 915; 1\;215; …\}$ (1)

Vì số học sinh chưa đến $1\;000$ em nên $x<1\;000$ (2)

Vì khi xếp thành hàng $41$ em thì vừa đủ hàng nên $x\;\vdots\;41$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $x = 615.$

Vậy trường đó có $615$ học sinh.

a) Nhận xét: $7^n\;\not{\vdots}\;2$ (tức là số lẻ) với $n$ là số tự nhiên bất kỳ.

Ta thấy $A$ là tổng của $36$ số hạng, mỗi số hạng đều là số lẻ nên $A$ là số chẵn (vì $36$ là số chẵn).

b)

+) Chứng minh $A\;\vdots\;3.$

Ta có:

$A=7+7^2+7^3+…+7^{36}$ $= 7\cdot (1+7+7^2) + … + 7^{34}\cdot (1+7+7^2)$ $=7\cdot 57 + … + 7^{34}\cdot 57$ $=57\cdot (7+…+7^{34}) \;\vdots\;3$ (vì tích có chứa thừa số $57\;\vdots\;3).$

+) Chứng minh $A\;\vdots\;19.$

Ta đã có: $A = 57\cdot (7+…+7^{34}),$ mà $57\;\vdots\;19$ nên $A\;\vdots\;19.$

+) Chứng minh $A\;\vdots\;8.$

Ta có: $A=7+7^2+7^3+…+7^{36}$ $=7\cdot (1+7) + 7^3\cdot (1+7) +…+ 7^{35}\cdot (1+7)$ $= 7\cdot 8 + 7^3\cdot 8+ … + 7^{35}\cdot 8$ $= 8\cdot (7+7^3+…+7^{35}) \;\vdots\;8$ (vì tích có chứa thừa số $8).$

Ta có $a^2+b^2\;\vdots\;ab,$ mà $ab\;\vdots\;a$ nên $a^2+b^2\;\vdots\;a.$ Ta lại có $a^2\;\vdots\;a,$ nên $b^2\;\vdots\;a.$ Do đó, $b\;\vdots\;a.$ Suy ra: $b=xa$ (1)

Chứng minh tương tự, ta cũng có: $a\;\vdots\;b.$ Suy ra: $a=yb$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $b=xa=x(yb) = (xy)b.$

Suy ra: $xy = 1.$

Do đó: $x=y=1.$ Tức là $a=b.$

Khi đó: $(a^2+b^2) : (ab)$ $= (a^2+a^2):(a\cdot a)$ $= (2a^2):(a^2)$ $= 2.$

Vậy thương của phép chia $a^2+b^2$ cho $ab$ là $2.$

Gọi số cần tìm là $x.$

$x$ chia cho $11$ dư $4$ nên $x=11m+4.$ Suy ra $x+18 = 11m+22\;\vdots\;11$ (1)

$x$ chia cho $13$ dư $8$ nên $x=13n+8.$ Suy ra $x+18 = 13n+26\;\vdots\;13$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $x+18 \in BC(11, 13).$

Vì $11$ và $13$ nguyên tố cùng nhau nên $BCNN(11, 13) = 11\cdot 13 = 143.$

Suy ra: $x+18\in BC(11, 13)=B(143).$

Vậy $x+18$ chia hết cho $143.$

Suy ra $x$ chia cho $143$ có số dư là $143-18 = 125.$

Ta có:

$M=75\cdot (4^{2021} + 4^{2020} + … + 4^2 + 4 + 1) +25$

$= 75\cdot (4^{2021} + 4^{2020} + … + 4^2 + 4) + 75 + 25$

$=75\cdot (4^{2021} + 4^{2020} + … + 4^2 + 4) + 100$

$=75\cdot 4\cdot (4^{2020}+4^{2019}+…+4+1) + 100$

$=100\cdot 3\cdot (4^{2020}+4^{2019}+…+4+1)+100$

$= 100\cdot [3\cdot (4^{2020}+4^{2019}+…+4+1)+1] \;\vdots\;100.$

Suy ra $M$ chia hết cho $100.$