Bài tập TOÁN 6 (CT mới) – Chuyên đề BỘI CHUNG VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT.

a) $80\notin BC(20, 30).$

b) $60\in BC(20, 30).$

c) $12\notin BC(4, 6, 8).$

d) $24\in BC(4, 6, 8).$

a)

$B(4) = \{0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; …\};$

$B(6) = \{0; 6; 12; 18; 24; 30; …\};$

$BC(4, 6) = \{0; 12; 24; …\}.$

b) $BCNN(4, 6) = 12.$

a) $24$ và $10$

Ta có: $24 = 2^3\cdot 3$ và $10 = 2\cdot 5.$

Suy ra: $BCNN(24, 10) = 2^3\cdot 3\cdot 5 =120.$

b) $10;$ $12$ và $15.$

Ta có: $10 = 2\cdot 5;$ $12 = 2^2\cdot 3$ và $15=3\cdot 5.$

Suy ra: $BCNN(10, 12, 15) = 2^2\cdot 3\cdot 5 = 60.$

c) $8;$ $9$ và $11.$

Ta có: $8=2^3;$ $9=3^2$ và $11$ là số nguyên tố.

Suy ra: $BCNN(8, 9, 11) = 2^3\cdot 3^2\cdot 11 =792.$

d) $18$ và $180.$

Cách 1:

Ta có: $18 = 2\cdot 3^2$ và $180 = 2^2\cdot 3^2\cdot 5.$

Suy ra: $BCNN(18, 180) = 2^2\cdot 3^2\cdot 5 = 180.$

Cách 2:

Vì $18$ là ước của $180$ nên $BCNN(18, 180) = 180.$

+) $BC(9, 24) = ?$

Ta có: $9 = 3^2$ và $24=2^3\cdot 3.$

Suy ra: $BCNN(9, 24) = 2^3\cdot 3^2 = 72.$

Suy ra: $BC(9, 24) = B(72) = \{0 ; 72; 144; 216; …\}.$

+) $BC(14, 21, 56) = ?$

Ta có: $14 = 2\cdot 7;$ $21 = 3\cdot 7$ và $56 =2^3\cdot 7.$

Suy ra: $BCNN(14, 21, 56) = 2^3\cdot 3\cdot 7 = 168.$

Suy ra: $BC(14, 21, 56) = B(168) = \{0; 168; 336; 504; …\}.$

+) $BC(150, 225) = ?$

Ta có: $150 =2\cdot 3\cdot 5^2$ và $225 = 3^2\cdot 5^2.$

Suy ra: $BCNN(150, 225) = 2\cdot 3^2\cdot 5^2 = 450.$

Suy ra: $BC(150, 225) = B(450) = \{0; 450; 900; 1\;350; …\}.$

Ta có: $10 = 2\cdot 5$ và $15=3\cdot 5.$

Suy ra: $BCNN(10, 15) = 2\cdot 3\cdot 5 = 30.$

Suy ra: $BC(10, 15) = B(30) = \{0; 30; 60; 90; 120; …\}.$

Do đó, các bội chung nhỏ hơn $100$ của $10$ và $15$ là $0;$ $30;$ $60;$ $90.$

a) $x\;\vdots\;4;$ $x\;\vdots\;6$ và $0 < x< 50.$

Vì $x\;\vdots\;4;$ $x\;\vdots\;6$ nên $x\in BC(4, 6).$

Ta có: $4=2^2$ và $6=2\cdot 3.$

Suy ra: $BCNN(4, 6) = 2^2\cdot 3 = 12.$

Suy ra: $x\in BC(4, 6) = B(12) =\{0; 12; 24; 36; 48; 60; …\}.$

Vì $0 < x < 50$ nên $x$ bằng $12$ hoặc $24$ hoặc $36$ hoặc $48.$

b) $x\;\vdots\;12;$ $x\;\vdots\;18$ và $ x< 144.$

Vì $x\;\vdots\;12;$ $x\;\vdots\;18$ nên $x\in BC(12, 18).$

Ta có: $12 = 2^2\cdot 3$ và $18 = 2\cdot 3^2.$

Suy ra: $BCNN(12, 18) = 2^2\cdot 3^2 = 36.$

Suy ra: $x\in BC(12, 18) = B(36) = \{0 ; 36; 72; 108; 144; …\}.$

Vì $x<144$ nên $x$ bằng $0$ hoặc $36$ hoặc $72$ hoặc $108.$

c) $x\;\vdots\;14;$ $x\;\vdots\;15;$ $x\;\vdots\;20$ và $400 < x \leq 1\;200.$

Vì $x\;\vdots\;14;$ $x\;\vdots\;15;$ $x\;\vdots\;20$ nên $x\in BC(14, 15, 20).$

Ta có: $14 = 2\cdot 7;$ $15=3\cdot 5$ và $20 = 2^2\cdot 5.$

Suy ra: $BCNN(14, 15, 20) = 2^2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 =420.$

Suy ra: $x\in BC(14, 15, 20) = B(420) = \{0; 420; 840; 1\;260; …\}.$

Vì $400 < x\leq 1\;200$ nên $x$ bằng $420$ hoặc $840.$

Có. Vì $0$ chia hết cho mọi số tự nhiên khác $0.$

Gọi $x$ là số học sinh khối 6 của trường đó.

Khi các học sinh này xếp thành $18$ hàng, $21$ hàng hoặc $24$ hàng thì đều vừa hết nên $x\;\vdots\;18;$ $x\;\vdots\;21$ và $x\;\vdots\;24.$ Do đó, $x\in BC(18, 21, 24).$

Ta có: $18 = 2\cdot 3^2;$ $21 = 3\cdot 7$ và $24 = 2^3\cdot 3.$

Suy ra: $BCNN(18, 21, 24) = 2^3\cdot 3^2\cdot 7 = 504.$

Suy ra: $x\in BC(18, 21, 24) = B(504) = \{0; 504; 1\;008; …\}.$

Vì số học sinh là một số có $3$ chữ số, tức là $x$ có $3$ chữ số, nên $x=504.$

Vậy khối 6 của trường đó có $504$ học sinh.

Gọi $x$ là số cuốn sách.

Khi xếp thành từng bó $8$ cuốn, $12$ cuốn hoặc $15$ cuốn thì đều vừa đủ bó nên $x\;\vdots\;8;$ $x\;\vdots\;12$ và $x\;\vdots\;15.$ Do đó, $x\in BC(8, 12, 15).$

Ta có: $8 = 2^3;$ $12 = 2^2\cdot 3$ và $15 = 3\cdot 5.$

Suy ra: $BCNN(8, 12, 15) = 2^3\cdot 3\cdot 5 = 120.$

Suy ra: $x\in BC(8, 12, 15) = B(120) = \{0; 120; 240; 360; 480; 600; 720; …\}.$

Vì số sách trong khoảng từ $400$ đến $500$ cuốn nên $400\leq x\leq 500.$ Do đó, $x= 480.$

Vậy có $480$ cuốn sách.

Gọi $x$ là chiều cao nhỏ nhất của ba chồng sách đó.

Suy ra, $x\;\vdots\;15;$ $x\;\vdots\; 6$ và $x\;\vdots\;8$ nên $x$ là bội chung của $15;6;8.$ Nhưng vì $x$ là chiều cao nhỏ nhất nên $x=BCNN(15, 6, 8).$

Ta có: $15 = 3\cdot 5;$ $6 = 2\cdot 3$ và $8=2^3.$

Suy ra: $x=BCNN(15, 6, 8) = 2^3\cdot 3\cdot 5 = 120.$

Vậy chiều cao nhỏ nhất của ba chồng sách đó là $120\;mm.$

Gọi $x$ là số học sinh đi tham quan.

Có khoảng từ $600$ đến $800$ học sinh tham quan nên $600\leq x\leq 800.$

Nếu xếp $40$ người hay $45$ người vào một xe thì đều không dư nên $x\;\vdots \;40$ và $x\;\vdots\;45.$ Suy ra $x\in BC(40, 45).$

Ta có: $40 = 2^3\cdot 5$ và $45 = 3^2\cdot 5.$

Suy ra: $BCNN(40, 45) = 2^3\cdot 3^2\cdot 5 =360.$

Suy ra: $x\in BC(40, 45) = B(360) = \{0; 360; 720; 1\;080; …\}.$

Vì $600\leq x\leq 800$ nên $x= 720.$

Vậy có $720$ học sinh đi tham quan.

Gọi $x$ là số ngày ít nhất hai bạn ấy lại gặp nhau tại thư viện.

Lan cứ $8$ ngày lại đến thư viện một lần, Minh cứ $10$ ngày lại đến thư viện một lần, nên $x\;\vdots\;8$ và $x\;\vdots\;10.$ Do đó, $x$ là bội chung của $8$ và $10.$ Nhưng vì $x$ là số ngày ít nhất nên $x=BCNN(8, 10).$

Ta có: $8 = 2^3$ và $10 = 2\cdot 5.$

Suy ra: $x = BCNN(8, 10) = 2^3\cdot 5 = 40.$

Vậy sau ít nhất $40$ ngày nữa thì hai bạn ấy lại gặp nhau tại thư viện.

Gọi $x$ là số ngày giữa hai lần liên tiếp cả đội cùng trực.

Cứ sau $7$ ngày, An lại trực một lần, sau $4$ ngày Bình lại trực một lần và sau $6$ ngày Mai lại trực một lần nên $x\;\vdots\;7;$ $x\;\vdots\;4$ và $x\;\vdots\;6.$

Do đó, $x$ là bội chung của $7; 4; 6.$ Vì $x$ là số ngày giữa hai lần liên tiếp nên $x$ nhỏ nhất, tức là $x=BCNN(7, 4, 6).$

Ta có: $7$ là số nguyên tố; $4=2^2$ và $6 = 2\cdot 3.$

Suy ra: $x=BCNN(7, 4, 6) = 7\cdot 2^2\cdot 3 = 84.$

Vậy sau $84$ ngày, ba bạn đó lại cùng trực vào một ngày ở lần tiếp theo.

Khi đó:

+) Số ngày bạn An đã trực là: $84 : 7 = 12$ (ngày).

+) Số ngày bạn Bình đã trực là: $84 : 4 = 21$ (ngày).

+) Số ngày bạn Mai đã trực là: $84 : 6 = 14$ (ngày).

Khoảng cách gần nhất giữa hai cột không phải trồng lại phải chia hết cho $60,$ và chia hết cho $45$ nên khoảng cách này là $BCNN(60, 45) = 180\;(m).$

Vậy cột gần cột đầu tiên nhất mà không phải trồng lại là cột thứ: $180:60+1 = 4.$

Gọi $x$ là số tổ và $y$ là số người trong mỗi tổ.

Vì có ít nhất $2$ tổ nên $x\geq 2.$

Đội văn nghệ có $102$ thành viên nên $x\cdot y = 102.$ Do đó, $y$ là ước của $102.$

Trong mỗi tổ, khi chia nhóm để biểu diễn song ca hoặc tam ca thì đều không dư nên số người trong mỗi tổ chia hết cho cả $2$ và $3.$ Do đó, $y$ là bội chung của $2$ và $3.$

Vậy $y$ vừa là ước của $102,$ vừa là bội chung của $2$ và $3.$

Ta có: $Ư(102) = \{1; 2; 3; 6; 17; 34; 51; 102\}.$

Trong các ước trên, các số là bội chung của $2$ và $3$ là: $6$ và $102.$

Vậy $y=6$ hoặc $y=102.$

+) Nếu $y=6$ thì $x=102:y = 17$ thỏa mãn điều kiện $x\geq 2.$

+) Nếu $y=102$ thì $x=102:y=1$ không thỏa mãn điều kiện $x\geq 2.$ Do đó, ta loại bỏ trường hợp này.

Tóm lại, $y=6.$

Vậy mỗi tổ có $6$ người.

Gọi $x$ là số học sinh khối 6 của trường đó.

Vì số học sinh lớn hơn $300$ và nhỏ hơn $400$ nên $300<x<400.$

Khi xếp thành $12$ hàng thì dư ra $9$ học sinh, vậy $x$ chia cho $12$ thì dư $9.$ Suy ra $x-9$ chia hết cho $12.$ Do đó, $x-9$ là bội của $12.$

Tương tự, vì khi xếp thành $15$ hàng hay $18$ hàng đều dư ra $9$ học sinh nên $x-9$ chia hết cho $15$ và $18.$ Do đó, $x-9$ là bội của $15$ và là bội của $18.$

Vậy $x-9$ là bội chung của $12;$ $15$ và $18.$

Ta có: $12=2^2\cdot 3;$ $15 = 3\cdot 5$ và $18=2\cdot 3^2.$

Do đó: $BCNN(12, 15, 18) = 2^2\cdot 3^2\cdot 5 = 180.$

Suy ra: $x-9 \in BC(12, 15, 18) = B(180) = \{0; 180; 360; 540; …\}.$

Vì $300<x<400$ nên $291<x-9<391.$ Vậy ta chọn $x-9=360.$ Suy ra $x=360+9=369.$

Vậy khối 6 của trường đó có $369$ học sinh.

Gọi $x$ là số học sinh.

Vì số học sinh chưa đến $400$ nên $x<400.$

Khi xếp thành hàng $4,$ hàng $5,$ hàng $6$ đều thừa $1$ người nên $x-1$ chia hết cho $4; 5$ và $6.$ Do đó, $x-1$ là bội chung của $4; 5$ và $6.$

Ta có: $4=2^2;$ $5$ là số nguyên tố và $6=2\cdot 3.$

Do đó: $BCNN(4, 5, 6) = 2^2\cdot 3\cdot 5 = 60.$

Suy ra: $x-1 \in BC(4, 5, 6) = B(60) = \{0; 60; 120; 180; 240; 300; 360; 420; …\}.$

Vì $x<400$ nên $x-1<400-1=399.$ Vậy $x-1\in \{0; 60; 120; 180; 240; 300; 360\}.$

Vì “xếp thành hàng $7$ thì vừa đủ” nên $x$ chia hết cho $7.$ Do đó:

+) Nếu $x-1=0$ thì $x=0+1=1$ không chia hết cho $7.$ → LOẠI.

+) Nếu $x-1=60$ thì $x=60+1=61$ không chia hết cho $7.$ → LOẠI.

+) Nếu $x-1=120$ thì $x=120+1=121$ không chia hết cho $7.$ → LOẠI.

+) Nếu $x-1=180$ thì $x=180+1=181$ không chia hết cho $7.$ → LOẠI.

+) Nếu $x-1=240$ thì $x=240+1=241$ không chia hết cho $7.$ → LOẠI.

+) Nếu $x-1=300$ thì $x=300+1=301$ chia hết cho $7.$ → NHẬN.

+) Nếu $x-1=360$ thì $x=360+1=361$ không chia hết cho $7.$ → LOẠI.

Do đó: $x=301$ thỏa mãn tất cả các yêu cầu của đề bài.

Vậy số học sinh là $301.$

Gọi $x$ là số sách đó.

Xếp $x$ cuốn sách vào túi $10$ cuốn thì vừa hết, vào túi $12$ cuốn thì thừa $2$ cuốn, vào túi $18$ cuốn thì thừa $8$ cuốn nên $x$ chia hết cho $10,$ chia $12$ dư $2$ và chia $18$ dư $8.$

Vì $x\;vdots\;10$ nên $x+10 \;\vdots\;10.$

Vì $x$ chia $12$ dư $2$ nên $x+10\;\vdots\;12.$

Vì $x$ chia $18$ dư $8$ nên $x+10\;\vdots\;18.$

Từ ba điều trên ta suy ra $x+10$ là bội chung của $10;$ $12$ và $18.$

Ta có: $10 = 2\cdot 5;$ $12 = 2^2\cdot 3$ và $18 = 2\cdot 3^2.$

Do đó: $BCNN(10, 12, 18) = 2^2\cdot 3^2 \cdot 5 = 180.$

Suy ra: $x+10 \in BC(10, 12, 18) = B(180) = \{0; 180; 360; 540; 720; 900; 1\;080; …\}.$

Vì số sách trong khoảng từ $715$ đến $1\;000$ nên $715\leq x\leq 1\;000.$ Suy ra: $725\leq x+10\leq 1\;010.$

Vậy ta chọn $x+10 = 900.$

Suy ra: $x = 900 – 10 = 890.$

Vậy có $890$ cuốn sách.

Gọi $x$ là số $kg$ giấy vụn mà mỗi lớp 6A, 6B thu được.

Trong lớp 6A, một bạn thu được $26\;kg,$ còn lại mỗi bạn thu $11\;kg,$ nên $x-26\;\vdots\;11.$ Do đó $x-15\;\vdots\;11.$

Trong lớp 6B, một bạn thu được $25\;kg,$ còn lại mỗi bạn thu $10\;kg$ nên $x-25\;\vdots\;10.$ Do đó $x-15\;\vdots\;10.$

Vậy $x-15$ là bội chung của $11$ và $10.$

Vì $11$ và $10$ là hai số nguyên tố cùng nhau nên $BCNN(11,10) = 11\cdot 10 = 110.$

Suy ra: $x-15\in BC(11,10) = B(110) = \{0; 110; 220; 330; 440; …\}.$

Ngoài ra, số giấy mỗi lớp thu được từ $200$ đến $300\; kg$ nên $200\leq x\leq 300.$ Suy ra: $185\leq x-15\leq 285.$

Do đó ta chọn $x-15=220.$

Suy ra: $x=220+15 = 235.$

Vậy số giấy vụn mỗi lớp thu được là $235\;kg.$

Số học sinh lớp 6A là: $1+(235-26) : 11 = 20$ (học sinh).

Số học sinh lớp 6B là: $1+(235-25):10 = 22$ (học sinh).

Cách 1:

Vì $x$ chia $7$ dư $4$ nên: $x= 7m+4$ (với $m\in\mathbb{N}).$ Suy ra $2x=14m + 8 = 7\cdot (2m+1)+1$ chia cho $7$ dư $1.$ Do đó, $2x-1\;\vdots\;7.$

Vì $x$ chia $11$ dư $6$ nên: $x= 11n+6$ (với $n\in\mathbb{N}).$ Suy ra $2x = 22n + 12 = 11\cdot (2n+1) +1$ chia cho $11$ dư $1.$ Do đó, $2x-1\;\vdots\;11.$

Vậy $2x-1 \in BC(7, 11).$

Vì $7$ và $11$ nguyên tố cùng nhau nên $BCNN(7, 11) = 7\cdot 11=77.$

Do đó: $2x-1 \in BC(7, 11) = B(77) = \{0; 77; 154; 231; …\}.$

Để $x$ nhỏ nhất thì $2x-1$ phải nhỏ nhất có thể. Nhưng nếu $2x-1=0,$ hay $2x=1$ thì không tìm được số tự nhiên $x$ nào thỏa mãn. Do đó, $2x-1 = 77.$ Suy ra $2x=77+1=78.$ Suy ra $x=78:2=39.$

Vậy $x=39.$

Cách 2:

Vì $x$ chia $7$ dư $4$ nên: $x= 7m+4$ (1)

Vì $x$ chia $11$ dư $6$ nên: $x= 11n+6$ (2)

(với $m, n\in\mathbb{N}).$

Từ (1) suy ra $11x = 77m+44.$

Từ (2) suy ra $7x = 77n + 42.$

Do đó: $11x – 7x = (77m +44) – (77n+42) = (77m-77n) + (44-42) = 77(m-n) + 2.$

Suy ra: $4x = 77(m-n)+2.$

Suy ra: $4x-2=77(m-n),$ tức là $2(2x-1)=77(m-n).$

Suy ra: $2(2x-1)\;\vdots\;77.$

Suy ra: $2x-1\;\vdots\;77$ (vì $ƯCLN(2, 77) = 1).$

Vậy $2x-1 \in B(77) = \{0 ; 77; 154; …\}.$

Để $x$ nhỏ nhất thì $2x-1$ phải nhỏ nhất có thể. Nhưng nếu $2x-1=0,$ hay $2x=1$ thì không tìm được số tự nhiên $x$ nào thỏa mãn. Do đó, $2x-1 = 77.$ Suy ra $2x=77+1=78.$ Suy ra $x=78:2=39.$

Vậy $x=39.$

Gọi $a, b$ là hai số phải tìm $(a\leq b).$

Ta có: $ƯCLN(a, b) = 10.$

Do đó, $a=10m$ và $b=10n$ (với $m,n$ là các số tự nhiên thỏa $ƯCLN(m, n) =1).$

Suy ra: $ab = 100mn$ (1)

Mặt khác: $ab = ƯCLN(a,b) \cdot BCNN(a,b) = 10\cdot 900 = 9\;000$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $mn = 90 = 2\cdot 3^2\cdot 5.$ (3)

Vì $a\leq b$ nên $m\leq n$ (4)

Dựa vào (3), (4) và $ƯCLN(m,n) = 1,$ ta tìm được:

Suy ra:

Giả sử $a\leq b.$

Gọi $ƯCLN(a,b) = d.$

Khi đó, $a = dm; b=dn$ (với $m,n$ là các số tự nhiên thỏa $ƯCLN(m,n) = 1).$

Ta có $ab = ƯCLN(a,b)\cdot BCNN(a,b),$ nên $dm\cdot dn = d\cdot BCNN(a,b).$ Suy ra: $BCNN(a,b) = dmn.$

Theo đề, $ƯCLN(a,b) + BCNN(a, b) = 15.$

Suy ra: $d + dmn = 15,$ hay $d(1+mn) = 15.$

Suy ra: $15\;\vdots\; d.$

Suy ra: $d\in Ư(15) =\{1; 3; 5; 15\}.$

Mặt khác, vì $d+dmn=15$ và $dmn>0$ nên $d<15.$

Do đó, $d$ bằng $1$ hoặc $3$ hoặc $5.$

Vì $a\leq b$ nên $m\leq n.$

Kết hợp với $ƯCLN(m,n)=1,$ ta có:

+) Nếu $d=1$ thì $1+mn = 15,$ hay $mn=14.$ Ta được: $m=1, n=14$ hoặc $m=2, n=7.$ Suy ra: $a=1,b=14$ hoặc $a=2, b=7.$

+) Nếu $d=3$ thì $3(1+mn) = 15,$ hay $mn = 4.$ Ta được: $m=1, n=4.$ Suy ra: $a=3, b=12.$

+) Nếu $d=5$ thì $5(1+mn) = 15,$ hay $mn = 2.$ Ta được: $m=1, n=2.$ Suy ra: $a=5, b = 10.$

Vậy các cặp số $(a;b)$ cần tìm là $(1; 14),$ $(2; 7),$ $(3; 12),$ $(5; 10)$ và đảo ngược thứ tự trong mỗi cặp lại.