Các bài tập sau đây phù hợp với cả ba bộ sách của chương trình Toán lớp 6 mới: CÁNH DIỀU, CHÂN TRỜI SÁNG TẠO, KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG.
Mức độ DỄ:
BT 1: Trong các phép chia sau, đâu là phép chia hết, đâu là phép chia có dư? Xác định số dư trong mỗi trường hợp.
a) $25 : 5;$
b) $37 : 4;$
c) $112 : 11;$
d) $182 : 13.$
a) 25 : 5 = 5 nên đây là phép chia hết. Số dư bằng 0.
b) 37 : 4 = 9 (dư 1) nên đây là phép chia có dư. Số dư bằng 1.
c) 112 : 11 = 10 (dư 2) nên đây là phép chia có dư. Số dư bằng 2.
d) 182 : 13 = 14 nên đây là phép chia hết. Số dư bằng 0.
BT 2: Bạn Bình có $135$ viên kẹo. Bình có thể chia số kẹo đó thành $5$ phần bằng nhau hay không?
Ta có: $135 : 5 = 27$ (không dư).
Do đó, Bình có thể chia $135$ viên kẹo thành $5$ phần bằng nhau, mỗi phần có $27$ viên kẹo.
BT 3: Có thể chia đều $35$ chiếc bánh cho $7$ bạn được không? Khi đó, mỗi bạn được bao nhiêu bánh?
Ta có: $35 : 7 = 5$ (không dư).
Do đó, có thể chia đều $35$ chiếc bánh cho $7$ bạn, mỗi bạn được $5$ chiếc bánh.
BT 4: May mỗi bộ quần áo hết $3$ mét vải. Nếu có $85$ mét vải thì may được nhiều nhất là bao nhiêu bộ quần áo và còn thừa mấy mét vải?
Ta có: $85 : 3 = 28$ (dư $1).$
Vậy có $85$ mét vải thì may được nhiều nhất $28$ bộ quần áo và còn thừa $1$ mét vải.
Mức độ TRUNG BÌNH:
BT 5: Nếu phép chia $a : b$ được thương là $q$ và dư $r$ thì ta có: $a = b\cdot q + r.$ (Trong đó, $0\leq r < b).$
Trong mỗi trường hợp sau, em hãy biểu diễn số $a$ theo số $b$ theo công thức trên:
a) $a = 7$ và $b = 2;$
b) $a = 200$ và $b=5;$
c) $a = 13$ và $b = 3;$
d) $a = 63$ và $b = 9.$
a) $a = 7$ và $b = 2;$
Ta có: $7 : 2 = 3$ (dư $1).$
Nhờ đó ta viết được: $7 = 2\cdot 3 + 1.$
b) $a = 200$ và $b=5;$
Ta có: $200 : 5 = 40.$
Nhờ đó ta viết được: $200 = 40\cdot 5.$
c) $a = 13$ và $b = 3;$
Ta có: $13 : 3 = 4$ (dư $1).$
Nhờ đó ta viết được: $13 = 3\cdot 4 +1.$
d) $a = 63$ và $b = 9.$
Ta có: $63 : 9 = 7.$
Nhờ đó ta viết được: $63 = 9\cdot 7.$
BT 6: Một số tự nhiên không chia hết cho $2$ thì có số dư là bao nhiêu?
Ta biết rằng: số dư luôn luôn nhỏ hơn số chia.
Vậy trong phép chia một số tự nhiên cho $2$ thì số dư phải nhỏ hơn $2,$ tức là dư $1.$
Do đó, nếu một số tự nhiên không chia hết cho $2$ thì số dư phải bằng $1.$
BT 7: Cho tập hợp $A = \{11; 14; 35; 26; 36; 20; 2022\}.$ Viết tập hợp $M$ các số $x$ thuộc $A$ và chia hết cho $2.$
$M = \{14; 26; 36; 20; 2022\}.$
BT 8: Một cửa hàng có $465$ kg gạo cần đóng vào các bao nhỏ, mỗi bao có thể chứa được nhiều nhất là $8$ kg gạo. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu cái bao để chứa hết số gạo đó?
Ta có: $465 : 8 = 58$ (dư $1)$
Vậy để chứa hết $465$ kg gạo, cần dùng $58$ cái bao loại $8$ kg để chứa $58\cdot 8 = 464$ kg gạo và dùng thêm $1$ cái bao nữa để chứa hết $1$ kg gạo còn lại.
Tóm lại, ta cần dùng $58 +1 = 59$ cái bao để chứa hết số gạo đề bài cho.
BT 9: Một đoàn khách gồm $55$ người muốn qua sông, nhưng mỗi thuyền chỉ chở được $5$ người kể cả người lái thuyền. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu thuyền để chở hết số khách đó?
Mỗi thuyền chỉ chở được $5$ người kể cả người lái đò, nên mỗi thuyền chỉ chở được $4$ khách.
Ta có: $55 : 4 = 13$ (dư $3)$
Dùng $13$ thuyền sẽ chở được số khách là: $13\cdot 4 = 52$ (khách)
Còn lại $3$ người khách nên phải dùng thêm $1$ thuyền nữa để chở.
Vậy số thuyền ít nhất cần có là: $52+1 = 53$ (thuyền).
BT 10: Ngày 24/8/2021 là thứ Ba. Hỏi Ngày 24/8/2022 là thứ mấy?
Năm 2021 và 2022 đều không phải là năm nhuận. Do đó, từ ngày 24/8/2021 đến ngày 24/8/2022 có 365 ngày.
Ta biết rằng mỗi tuần có 7 ngày, và sau 7 ngày thì các thứ lặp lại như cũ.
Mà: 365 : 7 = 52 (dư 1).
Vậy từ ngày 24/8/2021 đến 24/8/2022 có 52 tuần và dư ra 1 ngày.
Sau 52 tuần sẽ lặp lại ngày thứ Ba nên ngày 24/8/2022 là thứ Tư.
BT 11: Ngày 22-12-2002 (kỷ niệm ngày thành lập Quân đội nhân dân Việt Nam), rơi vào chủ nhật. Hỏi ngày 22-12-2012 rơi vào thứ mấy?
Từ năm 2002 đến năm 2012 là 10 năm, trong đó có 3 năm nhuận là 2004; 2008; 2012.
Năm thường thì có 365 ngày, còn năm nhuận thì có 366 ngày.
Do đó, từ 22-12-2002 đến 22-12-2012 có số ngày là:
7 . 365 + 3 . 366 = 3 653 (ngày)
Ta có:
3 653 : 7 = 521 (dư 6)
Như vậy từ 22 – 12 – 2002 đến 22 – 12 – 2012 có 521 tuần và dư 6 ngày.
Sau 521 tuần sẽ lặp lại ngày Chủ Nhật, thêm 6 ngày dư ra sẽ đến thứ bảy.
Vậy ngày 22-12-2012 rơi vào thứ Bảy.
Mức độ KHÓ:
BT 12: Khi chia số $18$ cho số tự nhiên $x$ khác $0$ thì được thương là số tự nhiên $q$ và dư $1.$ Tìm $x$ và $q.$
Theo đề:
$18 : x = q$ (dư $1).$
Vậy $18 = x\cdot q + 1.$
Suy ra: $x\cdot q = 18 – 1 = 17.$
Nhận xét rằng: vì là phép chia có dư nên $x\neq 1.$
Do đó, ta tìm được $x = 17$ và $q = 1.$
BT 13: Trong một tích các số tự nhiên, nếu có một thừa số chia hết cho số $m$ thì tích đó có chia hết cho $m$ không? (với $m$ là số tự nhiên khác $0)$
Xét tích $T = a\cdot b$ (với $a,b$ là số tự nhiên).
Giả sử $a$ chia hết cho $m.$ Ta cần chứng minh rằng $T = a\cdot b$ cũng chia hết cho $m.$
Vì $a$ chia hết cho $m$ nên có một số tự nhiên $x$ để $a = m\cdot x.$
Khi đó, $T = a\cdot b = (m\cdot x)\cdot b = m\cdot (x\cdot b).$
Đặt $y = x\cdot b$ thì $T = m\cdot y.$
Vì $x$ và $b$ là số tự nhiên nên $y$ cũng là số tự nhiên.
Vậy ta đã tìm được một số tự nhiên $y$ để cho $T = m\cdot y.$ Do đó: $T$ chia hết cho $m.$ Tức là $a\cdot b$ chia hết cho $m.$
Trường hợp tích của nhiều số tự nhiên được chứng minh tương tự.
BT 14: Bất cứ số nào khác $0$ cũng chia hết cho chính nó đúng không?
Với một số tự nhiên $a$ khác $0$ bất kỳ, ta cần chứng minh $a$ chia hết cho $a.$
Rõ ràng là $a = 1\cdot a.$ Do đó, $a$ chia hết cho $a$ (và được thương là $1).$
BT 15: Nếu $a$ chia hết cho $b$ và $b$ chia hết cho $c$ thì $a$ có chia hết cho $c$ không?
+) $a$ chia hết cho $b$ thì có một số $x$ để cho $a = b\cdot x.$
+) $b$ chia hết cho $c$ thì có một số $y$ để cho $b = c\cdot y.$
Khi đó, $a = b\cdot x = (c\cdot y)\cdot x = c\cdot (y\cdot x).$
Đặt $m = y\cdot x$ thì $m$ là số tự nhiên và $a = c\cdot m.$
Do đó $a$ chia hết cho $c.$
Kết luận: Nếu $a$ chia hết cho $b$ và $b$ chia hết cho $c$ thì $a$ chia hết cho $c.$
BT 16: Số $0$ chia hết cho mọi số tự nhiên đúng không?
Với mọi số tự nhiên $a,$ ta luôn có: $0 = 0\cdot a$
Do đó, $0$ chia hết cho mọi số tự nhiên $a$ (được thương là $0).$
BT 17: Bất cứ số tự nhiên nào cũng chia hết cho $1$ đúng không?
Với một số tự nhiên $a$ bất kỳ, ta luôn có $a = a\cdot 1.$
Do đó, $a$ chia hết cho $1$ (và được thương là $1).$
Kết luận: Bất cứ số tự nhiên nào cũng chia hết cho $1.$
BT 18: Cho $a, b, m, n$ là các số tự nhiên, với $m,n\neq 0.$ Biết rằng $a$ chia hết cho $m$ và $b$ chia hết cho $n.$ Chứng minh rằng $ab$ chia hết cho $mn.$
+) $a$ chia hết cho $m$ nên có một số $x$ để cho $a = m\cdot x.$
+) $b$ chia hết cho $n$ nên có một số $y$ để cho $b = n\cdot y.$
Khi đó: $ab = (m\cdot x)\cdot (n\cdot y) = (mn)\cdot (xy).$
Đặt $k = xy$ thì $k$ là số tự nhiên và $ab = (mn)\cdot k.$
Do đó: $ab$ chia hết cho $mn.$
BT 19: Nếu $a$ chia hết cho $b$ thì $a^n$ có chia hết cho $b^n$ không?
Áp dụng bài tập 18.
Vì $a$ chia hết cho $b$ nên $a^n = a\cdot a\cdot a …$ chia hết cho $b^n = b\cdot b\cdot b…$
BT 20: Lấy một mảnh giấy cắt ra làm $4$ mảnh nhỏ. Lấy một mảnh bất kỳ cắt ra thành $4$ mảnh khác. Cứ làm như thế tiếp tục nhiều lần. Hỏi khi ngừng cắt theo quy luật trên thì có thể được tất cả $60$ mảnh giấy nhỏ không? Vì sao?
Khi cắt một mảnh giấy thành $4$ mảnh nhỏ thì số mảnh đã tăng thêm $3.$ Cắt nhiều lần như thế thì số mảnh tăng thêm $3\cdot k$ (với $k$ là số mảnh giấy đem cắt).
Vì ban đầu chỉ có $1$ mảnh giấy nên tổng số mảnh giấy là $3k+1.$ Số này chia cho $3$ dư $1$ nên không thể có tất cả $60$ mảnh giấy nhỏ vì $60$ chia hết cho $3.$