Bài tập TOÁN 6 (CT mới) – Chuyên đề DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 2, CHO 5.

a) Số chia hết cho $2$ là: $22;$ $18;$ $2\;022;$ $7\;980.$

b) Số chia hết cho $5$ là: $15;$ $7\;980.$

c) Số chia hết cho $2$ nhưng không chia hết cho $5$ là: $22;$ $18;$ $2\;022.$

d) Số chia hết cho cả $2$ và $5$ là: $7\;980.$

a) Một số chia hết cho cả $2$ và $5$ thì có chữ số tận cùng là $0.$

Giải thích: Chia hết cho $5$ thì tận cùng phải là $0$ hoặc $5.$ Nhưng để nó chia hết cho $2$ nữa thì tận cùng phải là chữ số chẵn, tức không thể là $5$ được. Vậy số vừa chia hết cho cả $2$ và $5$ thì chữ số tận cùng phải là $0.$

b) Một số chia hết cho $5$ nhưng không chia hết cho $2$ thì có chữ số tận cùng là $5.$

Giải thích: Để chia hết cho $5,$ số đó phải tận cùng là $0$ hoặc $5.$ Nhưng nếu tận cùng là $0$ thì lại chia hết cho $2.$ Do đó, để một số chia hết cho $5$ nhưng không chia hết cho $2$ thì tận cùng phải là chữ số $5.$

c) Một số chia hết cho $2$ nhưng không chia hết cho $5$ thì có chữ số tận cùng là $2;$ $4;$ $6$ hoặc $8.$

Giải thích: Một số chia hết cho $2$ thì tận cùng là $0;$ $2;$ $4;$ $6;$ $8.$ Trong đó, nếu tận cùng là $0$ thì chia hết cho $5.$ Vậy để chia hết cho $2$ mà không chia hết cho $5$ thì tận cùng của số đó phải là $2; 4; 6; 8.$

a) $2\;022 + 2\;023;$

Ta có:

+) $2\;022 \;\vdots\; 2$ vì tận cùng là $2.$

+) $2\;023 \;\not{\vdots}\; 2$ vì tận cùng là $3.$

Do đó, $2\;022 + 2\;023 \;\not{\vdots}\;2.$

b) $3\cdot 198 – 76^2.$

Ta có:

+) $3\cdot 198 \;\vdots\;2$ vì tích có chứa thừa số $198 \;\vdots\;2.$

+) $76^2 \;\vdots\;2$ vì $76\;\vdots\;2.$

Do đó: $3\cdot 198 – 76^2 \;\vdots\;2.$

a) $2\;020 + 2\;021;$

Ta có:

+) $2\;020 \;\vdots\;5$ vì chữ số tận cùng là $0.$

+) $2\;021 \;\not{\vdots}\;5$ vì chữ số tận cùng là $1.$

Do đó: $2\;020 + 2\;021 \;\not{vdots}\;5.$

b) $2\;025^3 – 2\;020^3.$

Ta có:

+) $2\;025^3 \;\vdots\;5$ vì $2\;025 \;\vdots\;5.$

+) $2\;020^3 \;\vdots \; 5$ vì $2\;020 \;\vdots\;5.$

Do đó: $2\;025^3 – 2\;020^3 \;\vdots\;5.$

Trong những số từ $2\;019$ đến $2\;025,$

a) số chia hết cho $2$ là: $2\;020;$ $2\;022;$ $2\;024.$

b) số chia hết cho $5$ là: $2\;020;$ $2\;025.$

c) số chia hết cho $10$ là: $2\;020.$

Dấu $*$ là chữ số tận cùng của số $A.$ Do đó:

a) $A$ chia hết cho $2$ khi dấu $*$ là một trong các chữ số $0; 2; 4; 6; 8.$

b) $A$ chia hết cho $5$ khi dấu $*$ là $0$ hoặc $5.$

c) $A$ chia hết cho $2$ và cho $5$ khi dấu $*$ là $0.$

Số $B = \overline{20*5}$ có chữ số tận cùng là $5.$ Do đó:

a) $B$ không chia hết cho $2.$ Do đó không tìm được dấu $*$ nào để $B$ chia hết cho $2.$

b) $B$ luôn chia hết cho $5.$ Do đó, để $B$ chia hết cho $5$ thì dấu $*$ là chữ số nào cũng được, tức $*$ là một trong các chữ số $0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.$

c) $B$ tận cùng là $5$ nên không chia hết cho $2.$ Do đó, không tìm được dấu $*$ nào để $B$ chia hết cho cả $2$ và $5.$

Ta có $12\;345\;\vdots\;5$ vì có chữ số tận cùng là $5.$ Do đó, tích $12\;345\cdot 6\;789$ chia hết cho $5.$

Tuy nhiên, cả hai kết quả trong đề bài đều không chia hết cho $5.$ Do đó, cả hai kết quả đều sai.

Ông Cao không thể cắt cả hai đoạn ống thép này thành các đoạn $5$ mét bằng nhau và không thừa được vì $6$ không chia hết cho $5.$

Có thể thay $5$ mét bởi $2$ mét thì được, vì cả $10$ và $6$ đều chia hết cho $2.$

Không thể chia đều $20$ quả cam, $28$ quả bưởi và $35$ quả chanh vào $5$ túi mà không cắt quả nào được vì $28$ không chia hết cho $5.$

Vì $10$ hộp được tặng một hộp nên với $40$ hộp mỹ phẩm mà công ty đó mua sẽ được tặng thêm $4$ hộp nữa, tức là được $44$ hộp.

Do đó, để được $45$ hộp mỹ phẩm, công ty đó chỉ cần mua thêm $1$ hộp nữa.

Vậy mua $45$ hộp mỹ phẩm thực chất chỉ bị tính tiền $41$ hộp.

Do đó, số tiền phải trả để mua $45$ hộp mỹ phẩm đó là $41\cdot 53$ USD.

Cả hai số $41$ và $53$ đều không chia hết cho $5$ nên $41\cdot 53$ không chia hết cho $5.$

Vậy số USD công ty A phải trả để mua $45$ hộp mỹ phẩm trên không chia hết cho $5.$

Muốn chia hết cho thì chữ số tận cùng phải là chữ số chẵn. Trong các chữ số $0; 2; 5; 7,$ thì chữ số chẵn là $0$ và $2.$

Từ đó ta viết được các số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho $2$ là: $250;$ $270;$ $520;$ $570;$ $720;$ $750;$ $502;$ $572;$ $702;$ $752.$

Số cần viết có hai chữ số khác nhau lấy từ $0; 2; 4; 5; 9$ và tận cùng là $0$ hoặc $5.$

+) $0$ là chữ số tận cùng: $20; 40; 50; 90.$

+) $5$ là chữ số tận cùng: $25; 45; 95.$

Vậy các số cần tìm là: $20; 40; 50; 90; 25; 45; 95.$

Số tự nhiên lớn nhất có hai chữ số và chia hết cho $5$ là $95.$

a) Số cần tìm tận cùng là 2 hoặc 4:

+) 2 là chữ số tận cùng: 402; 452; 472; 492; 502; 542; 572; 592; 702; 742; 752; 792; 902; 942; 952; 972;

+) 4 là chữ số tận cùng: 204; 254; 274; 294; 504; 524; 574; 594; 704; 724; 754; 794; 904; 924; 954; 974.

b) Số cần tìm tận cùng là 0, đó là các số: 240; 250; 270; 290; 420; 450; 470; 490; 520; 540; 570; 590; 720; 740; 750; 790; 920; 940; 950; 970.

a) $x$ chia hết cho $2$ và $467 < x \leq 480.$

$x$ là một trong các số $468;$ $470;$ $472;$ $474;$ $478;$ $480.$

b) $x$ chia hết cho $5$ và $467 < x \leq 480.$

$x$ là một trong các số $470;$ $475;$ $480.$

c) $x$ vừa chia hết cho $2,$ vừa chia hết cho $5$ và $467 < x \leq 480.$

$x$ là một trong các số $470;$ $480.$

a) Có bao nhiêu số có hai chữ số chia cho $5$ dư $4?$

Số chia hết cho $5$ thì tận cùng là $0$ hoặc $5.$ Suy ra số chia $5$ dư $4$ thì tận cùng là $4$ hoặc $9.$

Các số từ $10$ đến $99$ có $9$ chục, mỗi chục có hai số tận cùng là $4$ hoặc $9.$ Như vậy có: $9\cdot 2 = 18$ số có hai chữ số và tận cùng là $4$ hoặc $9.$

Tóm lại, có $18$ số có hai chữ số chia cho $5$ dư $4.$

b) Có bao nhiêu số có ba chữ số chia cho $2$ và cho $5$ có cùng số dư?

Một số chia cho $2$ thì chỉ có thể có số dư là $1.$ (vì số dư luôn luôn nhỏ hơn số chia)

Như vậy số chia cho $2$ và $5$ có cùng số dư thì số dư phải là $1.$

Một số chia hết cho $5$ thì chữ số tận cùng là $0$ hoặc $5.$ Suy ra số chia $5$ dư $1$ thì tận cùng là $1$ hoặc $6.$

Số có chữ số tận cùng là $1$ thì chia $2$ dư $1.$ Số có chữ số tận cùng là $6$ thì chia hết cho $2.$ Ta cần đếm các số chia cho $2$ dư $1$ nên ta chỉ quan tâm đến các số có chữ số tận cùng là $1.$

Các số từ $100$ đến $999$ có $9$ trăm, tức là có $90$ chục. Mỗi chục có một số tận cùng là $1.$ Vậy có tất cả $90$ số tận cùng là $1$ (trong các số từ $100$ đến $999).$

Tóm lại, có $90$ số có ba chữ số chia cho $2$ và cho $5$ có cùng số dư.

a) Các số hạng đều chia hết cho $2$ nên tổng chia hết cho $2.$

b) Đây là tổng của $4$ số lẻ nên chia hết cho $2.$

c) Áp dụng tính chất giao hoán của phép cộng, ta được: $C = (235 + 719) + 462 + 906.$

Ta thấy:

+) $(235 + 719)$ chia hết cho $2$ vì là tổng của hai số lẻ.

+) $462$ chia hết cho $2$ vì tận cùng là $2.$

+) $906$ chia hết cho $2$ vì tận cùng là $6.$

Do đó, áp dụng tính chất chia hết của một tổng, ta suy ra $C = (235+719)+462+906$ chia hết cho $2.$

d) Các số hạng trong tổng $D$ bao gồm $31$ số chẵn và $32$ số lẻ.

+) Tổng của $31$ số chẵn là một số chẵn nên chia hết cho $2.$

+) Vì $32$ là một số chẵn nên tổng của $32$ số lẻ là một số chẵn. Vậy tổng của $32$ số lẻ thì chia hết cho $2.$

Do đó, tổng của $31$ số chẵn và $32$ số lẻ thì chia hết cho $2.$

Từ đó suy ra $D$ chia hết cho $2.$

Vì $n\;\vdots\;2$ nên chữ số tận cùng của $n$ là một chữ số chẵn.

Vì $n^2 – n = n\cdot (n-1) \;\vdots\;5$ nên $n\;\vdots\;5$ hoặc $n-1 \;\vdots\;5.$ Do đó $n$ có chữ số tận cùng là $0;5$ hoặc $n-1$ có chữ số tận cùng là $0;5.$ Tức là $n$ có chữ số tận cùng là $0; 5; 1; 6.$

Kết hợp hai kết quả trên, suy ra $n$ có chữ số tận cùng là $0$ hoặc $6.$

a) Kết quả của phép tính lũy thừa $6^{100}$ có chữ số tận cùng là $6.$

Suy ra: $6^{100} – 1$ có chữ số tận cùng là $5.$

Do đó: $6^{100} – 1$ chia hết cho $5.$

b) Vì $21$ tận cùng là $1$ nên $21^{20}$ tận cùng cũng bằng $1.$

Tương tự, vì $11$ tận cùng là $1$ nên $11^{10}$ tận cùng cũng bằng $1.$

Suy ra: $21^{20} – 11^{10}$ tận cùng bằng $0.$

Do đó: $21^{20} – 11^{10}$ chia hết cho cả $2$ và $5.$

Vì $11$ có chữ số tận cùng là $1$ nên các lũy thừa $11^9;$ $11^8; …$ $11$ đều có chữ số tận cùng là $1.$

Vậy tổng $A$ gồm có $10$ số hạng đều có chữ số tận cùng là $1.$

Vì $10\cdot 1 = 10$ nên $A$ có chữ số tận cùng là $0.$

Do đó $A$ chia hết cho $5.$

Ta thấy $n^2+n = n\cdot (n+1)$ là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tận cùng bằng $0; 2; 6.$ Do đó $n^2 + n + 6$ tận cùng bằng $6; 8; 2$ không chia hết cho $5.$

Các số chia hết cho $2$ nhưng không chia hết cho $5$ có tận cùng bằng $2; 4; 6; 8.$ Mỗi chục có $4$ số như vậy.

Từ $0$ đến $999$ có $100$ chục nên có: $4\cdot 100 = 400$ số có tận cùng là $2; 4; 6; 8.$

Vậy trong các số tự nhiên nhỏ hơn $1000,$ có $400$ số chia hết cho $2$ nhưng không chia hết cho $5.$

Số chia hết cho $2$ thì tận cùng là $0; 2; 4; 6; 8.$ Trong đó, chỉ có các số tận cùng là $6$ thì chia cho $5$ dư $1.$

Vậy số có năm chữ số giống nhau thỏa mãn đề bài là $66666.$

Tổng khối lượng $6$ hòm hàng là: $316 + 327 + 336 + 338 + 349 + 351$ $= 2\;017\;(kg).$ Vậy tổng khối lượng $6$ hòm hàng là một số chia cho $5$ dư $2$ (vì tận cùng là $7).$

Mặt khác, trong $5$ hòm đã bán, tổng khối lượng hàng bán buổi sáng gấp $4$ lần tổng khối lượng hàng bán buổi chiều, nên tổng khối lượng hàng đã bán là một số chia hết cho $5.$

Do hai điều trên, ta suy ra khối lượng hòm hàng còn lại là một số chia cho $5$ dư $2.$ Trong các số chỉ khối lượng đã cho, chỉ có $327$ là chia $5$ dư $2$ (vì tận cùng là $7).$

Vậy hòm còn lại chứa $327\;kg.$

Gọi $A$ là tổng các số tự nhiên từ $1$ đến $154$ thì

$A = (154+1)\cdot 154 : 2 = 155\cdot 77.$

$A$ không chia hết cho $2$ (vì tích $155\cdot 77$ không chứa thừa số nào chia hết cho $2).$

$A$ chia hết cho $5$ (vì tích $155\cdot 77$ có chứa thừa số $155$ chia hết cho $5).$

Gọi hiệu là $a$ thì số trừ là $4a.$ Vì số bị trừ bằng hiệu cộng với số trừ nên số bị trừ là: $a+4a = 5a.$

Như vậy số bị trừ chia hết cho $5.$

Trong khi đó, $2\;022$ lại không chia hết cho $5.$

Vậy không có phép trừ nào thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Gọi số ở chính giữa là $a.$

Tổng các số tự nhiên từ $1$ đến $9$ bằng: $1+ 2+3 + … +9 = 45.$

Khi cộng bốn bộ ba số thẳng hàng (trong hình) thì số $a$ được cộng $4$ lần. Do đó tổng bốn bộ ba số thẳng hàng bằng $45 + 3a.$

Theo đề, $45+3a \;\vdots\;5$ nên $3a \;\vdots\;5.$ Hai số $3$ và $5$ không cùng chia hết cho một số nào khác $1$ nên $a\;\vdots\;5.$ Vậy $a = 5.$

Hai số thẳng hàng với $a$ phải có tổng chia hết cho $5.$ Ta chọn chúng là $1$ và $9;$ $2$ và $8;$ $3$ và $7;$ $4$ và $6.$ Các số được điền như hình sau: