Bài tập TOÁN 6 (CT mới) – Chuyên đề MỞ RỘNG KHÁI NIỆM PHÂN SỐ. PHÂN SỐ BẰNG NHAU.

$(-5)\;:\;7=\dfrac{-5}{7};\;\;$ $11\;:\;(-8)=\dfrac{11}{-8};\;\;$ $(-25)\;:\;(-41)=\dfrac{-25}{-41};\;\;$ $3\;:\;18=\dfrac{3}{18}.$

Có tất cả $25$ ô vuông nhỏ bằng nhau nên mẫu là $25.$

Có $4$ ô vuông nhỏ được tô màu nên tử là $4.$

Vậy phần tô màu trong hình vẽ trên biểu diễn phân số $\dfrac{4}{25}.$

$19=\dfrac{19}{1};$ $-43=\dfrac{-43}{1};$ $-2\;023=\dfrac{-2\;023}{1};$ $0=\dfrac{0}{1};$ $1=\dfrac{1}{1}.$

$\dfrac{3}{-102}$ là phân số (tử là $3,$ mẫu là $-102).$

$\dfrac{-3,2}{-7}$ không phải là phân số vì $-3,2$ không phải là số nguyên.

$\dfrac{-4}{8}$ là phân số (tử là $-4,$ mẫu là $8).$

$\dfrac{-23}{0}$ không phải là phân số vì mẫu bằng $0.$

$\dfrac{0}{-23}$ là phân số (tử là $0,$ mẫu là $-23).$

Ta biết: $1\;kg=1\;000\;g.$ Do đó: $23\;g=\dfrac{23}{1\;000}\;kg;$ $427\;g=\dfrac{427}{1\;000}\;kg.$

Vì $1\;km=1\;000\;m$ nên $403\;m=\dfrac{403}{1\;000}\;km.$

Vì $1\;km=100\;000\;cm$ nên $721\;cm=\dfrac{721}{100\;000}\;km.$

Vì $1\;km=1\;000\;000\;mm$ nên $49\;mm=\dfrac{49}{1\;000\;000}\;km.$

Vì $1\;giờ=60\;phút$ nên $35\;phút=\dfrac{35}{60}\;giờ.$

Vì $1\;giờ=60\;phút$ và $1\;phút=60\;giây$ nên $1\;giờ=60\cdot 60\;giây=3\;600\;giây.$ Do đó, $249\;giây=\dfrac{249}{3\;600}\;giờ.$

a) $\dfrac{2}{3}$ và $\dfrac{3}{9}.$

Ta có: $2\cdot 9=18$ và $3\cdot 3=9.$

Vậy $2\cdot 9\neq 3\cdot 3,$ nên $\dfrac{2}{3}\neq\dfrac{3}{9}.$

b) $\dfrac{-7}{-4}$ và $\dfrac{14}{8}.$

Ta có: $(-7)\cdot 8=-56$ và $(-4)\cdot 14=-56.$

Vậy $(-7)\cdot 8=(-4)\cdot 14,$ nên $\dfrac{-7}{-4}=\dfrac{14}{8}.$

c) $\dfrac{1}{9}$ và $\dfrac{3}{11}.$

Ta có: $1\cdot 11=11$ và $9\cdot 3=27.$

Vậy $1\cdot 11\neq 9\cdot 3,$ nên $\dfrac{1}{9}\neq\dfrac{3}{11}.$

d) $\dfrac{4}{-9}$ và $\dfrac{-8}{18}.$

Ta có: $4\cdot 18=72$ và $(-9)\cdot (-8)=72.$

Vậy $4\cdot 18=(-9)\cdot(-8),$ nên $\dfrac{4}{-9}=\dfrac{-8}{18}.$

Vì $12\cdot 25\neq 13\cdot 35$ nên $\dfrac{12}{35}\neq\dfrac{13}{35}.$

Vậy số học sinh giỏi và số học sinh khá của trường đó không bằng nhau.

Các phân số có tử và mẫu khác nhau:

+) Mẫu là $-2$ gồm: $\dfrac{1}{-2};$ $\dfrac{3}{-2}.$

+) Mẫu là $1$ gồm: $\dfrac{-2}{1};$ $\dfrac{3}{1}.$

+) Mẫu là $3$ gồm: $\dfrac{-2}{3};$ $\dfrac{1}{3}.$

Vậy $B=\left\{\dfrac{1}{-2}; \dfrac{3}{-2}; \dfrac{-2}{1}; \dfrac{3}{1}; \dfrac{-2}{3}; \dfrac{1}{3}\right\}.$

Vì mẫu số phải khác $0$ nên mẫu là $-7$ hoặc $5.$

+) Mẫu là $-7$ gồm các phân số: $\dfrac{-7}{-7};$ $\dfrac{0}{-7};$ $\dfrac{5}{-7}.$

+) Mẫu là $5$ gồm các phân số: $\dfrac{-7}{5};$ $\dfrac{0}{5};$ $\dfrac{5}{5}.$

Sau $2$ giờ, lượng nước chiếm $\dfrac{2}{3}$ bể.

a) Để $\dfrac{3}{n-3}$ có giá trị là số nguyên thì $3\;\vdots\;n-3.$

Suy ra $n-3\in Ư(3)=\{-3; -1; 1; 3\}.$

+) Khi $n-3=-3$ thì $n=-3+3=0.$

+) Khi $n-3=-1$ thì $n=-1+3=2.$

+) Khi $n-3=1$ thì $n=1+3=4.$

+) Khi $n-3=3$ thì $n=3+3=6.$

Vậy các số nguyên $n$ cần tìm là: $0; 2; 4; 6.$

b) Để $\dfrac{-4}{3n+1}$ có giá trị là số nguyên thì $-4\;\vdots\;3n+1.$

Suy ra $3n+1\in Ư(-4)=\{-4; -2; -1; 1; 2; 4\}.$

+) Nếu $3n+1=-4$ thì $3n=-4-1=-5.$ Vì $-5\;\not{\vdots}\;3$ nên không có số nguyên $n$ thỏa $3n=-5.$ Do đó ta loại trường hợp này.

+) Nếu $3n+1=-2$ thì $3n=-2-1=-3.$ Do đó $n=-3\;:\;3=-1.$

+) Nếu $3n+1=-1$ thì $3n=-1-1=-2.$ Vì $-2\;\not{\vdots}\;3$ nên không có số nguyên $n$ thỏa $3n=-2.$ Do đó ta loại trường hợp này.

+) Nếu $3n+1=1$ thì $3n=1-1=0.$ Do đó $n=0.$

+) Nếu $3n+1=2$ thì $3n=2-1=1.$ Vì $1\;\not{\vdots}\;3$ nên không có số nguyên $n$ thỏa $3n=1.$ Do đó ta loại trường hợp này.

+) Nếu $3n+1=4$ thì $3n=4-1=3.$ Do đó $n=3\;:\;3=1.$

Vậy các số nguyên $n$ cần tìm là: $-1; 0; 1.$

a) Để $M=\dfrac{-3}{n-1}$ là phân số thì $n-1\neq 0,$ hay $n\neq 1.$

b) Khi $n=3$ thì $M=\dfrac{-3}{3-1}=\dfrac{-3}{2}.$

Khi $n=5$ thì $M=\dfrac{-3}{5-1}=\dfrac{-3}{4}.$

Khi $n=-4$ thì $M=\dfrac{-3}{-4-1}=\dfrac{-3}{-5}.$

c) Để $M=\dfrac{-3}{n-1}$ là một số nguyên thì $-3\;\vdots\;n-1.$

Suy ra $n-1\in Ư(-3)=\{-3; -1; 1; 3\}.$

+) Nếu $n-1=-3$ thì $n=-3+1=-2.$

+) Nếu $n-1=-1$ thì $n=-1+1=0.$

+) Nếu $n-1=1$ thì $n=1+1=2.$

+) Nếu $n-1=3$ thì $n=3+1=4.$

Vậy các số nguyên $n$ cần tìm là $-2; 0; 2; 4.$

a) Vì $\dfrac{x}{-15}=\dfrac{-2}{5}$ nên $x\cdot 5=(-15)\cdot(-2),$ hay $x\cdot 5=30.$

Do đó, $x=30\;:\;5=6.$

Vậy $x=6.$

b) Vì $\dfrac{-7}{-5}=\dfrac{14}{y}$ nên $(-7)\cdot y=(-5)\cdot 14,$ hay $(-7)\cdot y=-70.$

Do đó, $y=(-70)\;:\;(-7)=10.$

Vậy $y=10.$

c) Vì $\dfrac{y}{-5}=4$ và $4=\dfrac{4}{1}$ nên $\dfrac{y}{-5}=\dfrac{4}{1}.$ Suy ra $y\cdot 1=(-5)\cdot 4.$ Do đó, $y=-20.$

d) Vì $\dfrac{8}{x}=-2$ và $-2=\dfrac{-2}{1}$ nên $\dfrac{8}{x}=\dfrac{-2}{1}.$ Suy ra $x\cdot (-2)=8\cdot 1,$ hay $x\cdot(-2)=8.$ Do đó, $x=8\;:\;(-2)=-4.$

Vậy $x=-4.$

d) $\dfrac{3}{x}=\dfrac{y}{21}=\dfrac{15}{35}.$

Ta có: $\dfrac{3}{x}=\dfrac{15}{35}.$ Suy ra $x\cdot 15=3\cdot 35,$ hay $x\cdot 15=105.$ Do đó, $x=105\;:\;15=7.$

Ta có: $\dfrac{y}{21}=\dfrac{15}{35}.$ Suy ra $y\cdot 35=21\cdot 15,$ hay $y\cdot 35=315.$ Do đó, $y=315\;:\;35=9.$

Vậy $x=7; y=9.$

a) Vì $\dfrac{2x}{9}=\dfrac{2}{3}$ nên $(2x)\cdot 3=9\cdot 2,$ hay $6x=18.$

Do đó, $x=18\;:\;6=3.$

b) Vì $\dfrac{7}{-8}=\dfrac{-x}{16}$ nên $(-x)\cdot(-8)=7\cdot 16,$ hay $8x=112.$

Do đó, $x=112\;:\;8=14.$

c) Vì $\dfrac{x+1}{15}=-2$ và $-2=\dfrac{-2}{1}$ nên $\dfrac{x+1}{15}=\dfrac{-2}{1}.$ Do đó, $(x+1)\cdot 1=15\cdot(-2),$ hay $x+1=-30.$

Suy ra $x=-30-1=-31.$

d) Vì $\dfrac{-5}{-14}=\dfrac{20}{6-5x}$ nên $(-5)\cdot (6-5x)=(-14)\cdot 20,$ hay $(-5)\cdot(6-5x)=-280.$

Do đó, $6-5x=(-280)\;:\;(-5)=56.$

Dẫn đến $5x=6-56=-50.$

Suy ra $x=(-50)\;:\;5=-10.$

Xét hai tích $2018\cdot 2021$ và $(-2019)\cdot 2020.$

Thấy $2018\cdot 2021 > 0$ (vì là tích của hai số dương) và $(-2019)\cdot 2020 < 0$ (vì là tích của số âm và số dương).

Do đó $2018\cdot 2021\neq(-2019)\cdot 2020.$

Suy ra $\dfrac{2018}{-2019}\neq\dfrac{2020}{2021}.$

Ta có $2n-5$ là số lẻ.

Vậy để $\dfrac{6}{2n-5}$ là số nguyên thì $2n-5$ phải là ước lẻ của $6.$ Do đó:

Để $\dfrac{15}{n}$ là số nguyên, ta loại $n=2$ và $n=4.$

Để $\dfrac{12}{n+2}$ là số nguyên, ta loại $n=3.$

Vậy $n=1.$ Khi đó, ba phân số bằng $15; 4; -2.$

a) $A=\dfrac{n+10}{2n-8}.$

Để $A=\dfrac{n+10}{2n-8}$ có giá trị là số nguyên thì tử phải chia hết cho mẫu, tức là: $n+10\;\vdots\;2n-8$

Suy ra: $2(n+10)\;\vdots\;2n-8,$ hay $2n+20\;\vdots\;2n-8\;\;\;(1)$

Mà $2n-8\;\vdots\;2n-8\;\;\;(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $(2n+20)-(2n-8)\;\vdots\;2n-8,$ hay $28\;\vdots\;2n-8=2(n-4).$

Do đó $14\;\vdots\;n-4.$

Suy ra $n-4$ là ước của $14.$ Các ước của $14$ là $\pm 1;$ $\pm 2;$ $\pm 7;$ $\pm 14.$

Nhận xét rằng $n-4\geq -4$ (vì $n$ là số tự nhiên) nên $n-4$ chỉ nhận các giá trị $\pm 1;$ $\pm 2;$ $7;$ $14.$ Ta có:

Các giá trị cần tìm của $n$ là: $6; 2; 18.$

b) $B=\dfrac{n+3}{2n-2}.$

Làm tương tự câu a).

Đáp số: $n=5.$

a) Ta thấy:

+) Do $10^{2002}+2 > 0$ và $3 > 0$ nên $\dfrac{10^{2002}+2}{3} > 0.$

+) Do $10^{2002}+2=10…0+2=10…02$ có tổng các chữ số bằng $3$ nên $10^{2002}+2\;\vdots\;3.$

Từ hai điều trên ta suy ra $\dfrac{10^{2002}+2}{3}$ có giá trị là một số tự nhiên.

b) Tương tự câu a). Để ý $10^{2003}+8=10…08$ có tổng các chữ số bằng $9$ nên chia hết cho $9.$

a) Vì $\dfrac{x}{-2}=\dfrac{-8}{x}$ nên $x\cdot x=(-2)\cdot(-8),$ hay $x^2=16.$

Mà $16=4^2=(-4)^2,$ nên $x=4$ hoặc $x=-4.$

b) Vì $\dfrac{x}{3}=\dfrac{5}{y}$ nên $xy=3\cdot 5,$ hay $xy=15.$

Suy ra $15\;\vdots\;x.$

Do đó $x\in Ư(15)=\{\pm 1; \pm 3; \pm 5; \pm 15\}.$

+) Khi $x=1$ thì $y=15\;:\;x=15.$

+) Khi $x=-1$ thì $y=15\;:\;x=-15.$

+) Khi $x=3$ thì $y=15\;:\;x=5.$

+) Khi $x=-3$ thì $y=15\;:\;x=-5.$

+) Khi $x=5$ thì $y=15\;:\;x=3.$

+) Khi $x=-5$ thì $y=15\;:\;x=-3.$

+) Khi $x=15$ thì $y=15\;:\;x=1.$

+) Khi $x=-15$ thì $y=15\;:\;x=-1.$

Vậy các cặp số nguyên $(x; y)$ cần tìm là: $(1; 15),$ $(-1; -15),$ $(3; 5),$ $(-3; -5),$ $(5; 3),$ $(-5; -3),$ $(15; 1),$ $(-15; -1).$

c) $\dfrac{x}{4}=\dfrac{7}{y}$ và $x > y.$

Vì $\dfrac{x}{4}=\dfrac{7}{y}$ nên $xy=4\cdot 7,$ hay $xy=28.$

Suy ra $28\;\vdots\;x,$ hay $x\in Ư(28)=\{\pm 1; \pm 2; \pm 4; \pm 7; \pm 14; \pm 28\}.$

+) Nếu $x=1$ thì $y=28$ (loại, vì $1 < 28).$

+) Nếu $x=2$ thì $y=14$ (loại, vì $2 < 14).$

+) Nếu $x=4$ thì $y=7$ (loại, vì $4 < 7).$

+) Nếu $x=7$ thì $y=4$ (nhận, vì $7 > 4).$

+) Nếu $x=14$ thì $y=2$ (nhận, vì $14 > 2).$

+) Nếu $x=28$ thì $y=1$ (nhận, vì $28 > 1).$

+) Nếu $x=-1$ thì $y=-28$ (nhận, vì $-1 > -28).$

+) Nếu $x=-2$ thì $y=-14$ (nhận, vì $-2 > -14).$

+) Nếu $x=-4$ thì $y=-7$ (nhận, vì $-4 > -7).$

+) Nếu $x=-7$ thì $y=-4$ (loại, vì $-7 < -4).$

+) Nếu $x=-14$ thì $y=-2$ (loại, vì $-14 < -2).$

+) Nếu $x=-28$ thì $y=-1$ (loại, vì $-28 < -1).$

Vậy các cặp số $(x; y)$ cần tìm là $(7; 4),$ $(14; 2),$ $(28; 1),$ $(-1; -28),$ $(-2; -14),$ $(-4; -7).$

d) $\dfrac{x}{6}=\dfrac{2}{y}$ và $x < y < 0.$

Vì $\dfrac{x}{6}=\dfrac{2}{y}$ nên $xy=6\cdot 2,$ hay $xy=12.$

Suy ra $12\;\vdots\;x,$ hay $x\in Ư(12)=\{\pm 1; \pm 2; \pm 3; \pm 4; \pm 6; \pm 12\}.$

Vì $x < 0$ nên $x\in\{-1; -2; -3; -4; -6; -12\}.$

+) Nếu $x=-1$ thì $y=-12$ (loại, vì $-1 > -12).$

+) Nếu $x=-2$ thì $y=-6$ (loại, vì $-2 > -6).$

+) Nếu $x=-3$ thì $y=-4$ (loại, vì $-3 > -4).$

+) Nếu $x=-4$ thì $y=-3$ (nhận, vì $-4 < -3).$

+) Nếu $x=-6$ thì $y=-2$ (nhận, vì $-6 < -2).$

+) Nếu $x=-12$ thì $y=-1$ (nhận, vì $-12 < -1).$

Vậy các cặp số $(x; y)$ cần tìm là $(-4; -3),$ $(-6; -2),$ $(-12; -1).$

e) $\dfrac{2x-1}{3}=\dfrac{2}{y-2}$

Đặt $2x-1=X$ và $y-2=Y.$ Ta có: $\dfrac{X}{3}=\dfrac{2}{Y}.$

Suy ra $XY=3\cdot 2,$ hay $XY=6.$

Do đó, $6\;\vdots\;X,$ hay $X\in Ư(6)=\{\pm 1; \pm 2; \pm 3; \pm 6\}.$

Nhận xét rằng $X=2x-1$ là số nguyên lẻ nên $X$ chỉ có thể nhận các giá trị $\pm 1,$ $\pm 3.$

+) Nếu $X=1$ thì $Y=6\;\vdots\;X=6.$ Ta được $2x-1=1$ và $y-2=6.$

Vì $2x-1=1$ nên $2x=1+1=2.$ Do đó, $x=2\;\vdots\;2=1.$

Vì $y-2=6$ nên $y=6+2=8.$

+) Nếu $X=-1$ thì $Y=6\;\vdots\;X=-6.$ Ta được $2x-1=-1$ và $y-2=-6.$

Vì $2x-1=-1$ nên $2x=-1+1=0.$ Do đó, $x=0\;\vdots\;2=0.$

Vì $y-2=-6$ nên $y=-6+2=-4.$

+) Nếu $X=3$ thì $Y=6\;\vdots\;X=2.$ Ta được $2x-1=3$ và $y-2=2.$

Vì $2x-1=3$ nên $2x=3+1=4.$ Do đó, $x=4\;\vdots\;2=2.$

Vì $y-2=2$ nên $y=2+2=4.$

+) Nếu $X=-3$ thì $Y=6\;\vdots\;X=-2.$ Ta được $2x-1=-3$ và $y-2=-2.$

Vì $2x-1=-3$ nên $2x=-3+1=-2.$ Do đó, $x=-2\;\vdots\;2=-1.$

Vì $y-2=-2$ nên $y=-2+2=0.$

Vậy các cặp số $(x; y)$ cần tìm là $(1; 8),$ $(0; -4),$ $(2; 4),$ $(-1; 0).$

Xét tích $20182019\cdot 20202021$ và $20192020\cdot 20192020.$

Ta thấy:

+) $20182019\cdot 20202021$ có kết quả là số lẻ vì là tích của hai số lẻ.

+) $20192020\cdot 20192020$ có kết quả là số chẵn vì là tích của hai số chẵn.

Vậy $20182019\cdot 20202021\neq 20192020\cdot 20192020.$

Do đó $\dfrac{20182019}{20192020}\neq\dfrac{20192020}{20202021}.$

Xét tích: $20202020\cdot 2021$ và $20212021\cdot 2020.$

Ta có $20202020=2020\cdot 1001$ và $20212021=2021\cdot 1001.$

Do đó: $20202020\cdot 2021=2020\cdot 1001\cdot 2021$ và $20212021\cdot 2020=2021\cdot 1001\cdot 2020.$

Suy ra: $20202020\cdot 2021=20212021\cdot 2020.$

Vậy $\dfrac{20202020}{20212021}=\dfrac{2020}{2021}.$

a) Vì $\dfrac{10+x}{17+x}=\dfrac{3}{4}$ nên $(10+x)\cdot 4=(17+x)\cdot 3.$

Mà: $(10+x)\cdot 4=10\cdot 4+x\cdot 4=40+4x$ và $(17+x)\cdot 3=17\cdot 3+x\cdot 3=51+3x.$

Do đó: $40+4x=51+3x$ $\Rightarrow 40+4x-3x=51$ $\Rightarrow 40+x=51$ $\Rightarrow x=51-40=11.$

Vậy $x=11.$

b) Vì $\dfrac{40+x}{77-x}=\dfrac{6}{7}$ nên $(40+x)\cdot 7=(77-x)\cdot 6.$

Mà $(40+x)\cdot 7=40\cdot 7+x\cdot 7=280+7x$ và $(77-x)\cdot 6=77\cdot 6-6x=462-6x.$

Do đó: $280+7x=462-6x$ $\Rightarrow 280+7x+6x=462$ $\Rightarrow 280+13x=462$ $\Rightarrow 13x=462-280=182.$

Vậy $x=182\;:\;13=14.$

Gọi $x$ là số cộng thêm vào tử và mẫu của phân số $\dfrac{-3}{5}.$

Theo đề, ta có: $\dfrac{-3+x}{5+x}=\dfrac{3}{7},$ hay $\dfrac{x-3}{5+x}=\dfrac{3}{7}.$

Suy ra $(x-3)\cdot 7=(5+x)\cdot 3.$

Mà $(x-3)\cdot 7=x\cdot 7-3\cdot 7=7x-21$ và $(5+x)\cdot 3=5\cdot 3+x\cdot 3=15+3x.$

Do đó $7x-21=15+3x$ $\Rightarrow 7x-21-3x=15$ $\Rightarrow 4x-21=15$ $\Rightarrow 4x=15+21=36.$

Vậy $x=36\;:\;4=9.$