Bài tập TOÁN 6 (CT mới) – Chuyên đề LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN.

$2^2 = 2\cdot 2 = 4;$

$2^3 = 2\cdot 2\cdot 2 = 8;$

$2^4 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 16;$

$3^2 = 3\cdot 3 = 9;$

$3^3 = 3\cdot 3\cdot 3 = 27.$

a) $5\cdot 5\cdot 5\cdot 5 = 5^4;$

b) $10\cdot 10\cdot 10 = 10^3;$

c) $2\cdot 3\cdot 6\cdot 6 = 6\cdot 6\cdot 6 = 6^3;$

d) $10\cdot 10\cdot 10\cdot 100 = 10\cdot 10\cdot 10\cdot (10\cdot 10) = 10^5.$

$10^0 = 1;$

$10^1 = 10;$

$10^2 = 100;$

$10^3 = 1\;000;$

$10^4 = 10\;000;$

$10^5 = 100\;000.$

Nhận xét: Số chữ số $0$ trong kết quả (vế phải) bằng với số mũ (ở vế trái).

$100 = 10^2;$

$1\;000 = 10^3$

$10\;000 = 10^4.$

$4 =2\cdot 2 = 2^2;$

$9 =3\cdot 3= 3^2;$

$16 = 4\cdot 4 = 4^2;$

$25 = 5\cdot 5 = 5^2;$

$36 = 6\cdot 6 = 6^2;$

$64 = 8\cdot 8 = 8^2;$

$100 = 10\cdot 10 = 10^2.$

$8 = 2\cdot 2\cdot 2 = 2^3;$

$27 = 3\cdot 3 \cdot 3 = 3^3;$

$64 = 4\cdot 4\cdot 4 = 4^3;$

$125 = 5\cdot 5\cdot 5 = 5^3.$

Diện tích hình vuông bằng cạnh nhân với cạnh, tức là bằng: $a\cdot a = a^2\;(cm^2).$

Vậy nếu hình vuông có cạnh là $a$ (cm) thì diện tích của nó bằng $a^2\;(cm^2).$

a) $3^5\cdot 3^9$ $= 3^{5+9}$ $= 3^{14}.$

b) $5^3\cdot 5^11$ $= 5^{3+11}$ $= 5^{14}.$

c) $13^2\cdot 13^3\cdot 13^4$ $= 13^{2+3}\cdot 13^4$ $= 13^{2+3+4}$ $= 13^9.$

d) $7^3\cdot 49$ $= 7^3 \cdot 7^2$ $= 7^{3+2}$ $= 7^5.$

e) $4^2\cdot 2^4$ $= 4\cdot 4 \cdot 2^4$ $= 2^2\cdot 2^2\cdot 2^4$ $= 2^{2+2}\cdot 2^4$ $= 2^{2+2+4}$ $= 2^8.$

f) $x\cdot x^{17}$ $= x^1\cdot x^{17}$ $= x^{1+17}$ $= x^{18}.$

a) $7^8 : 7^5$ $= 7^{8-5}$ $= 7^3.$

b) $2\;023^9 : 2\;023^2$ $= 2\;023^{9-2}$ $= 2\;023^7.$

c) $a^6 : a$ $= a^6 : a^1$ $= a^{6-1}$ $= a^5.$

d) $2^7 : 8$ $= 2^7 : 2^3$ $= 2^{7-3}$ $= 2^4.$

a) $2^n = 2^3$ $\Rightarrow n = 3.$

b) $7^n = 7^{32}$ $\Rightarrow n = 32.$

a) $x^{19} = 3^{19}$ $\Rightarrow x = 3.$

b) $x^3 = 35^3$ $\Rightarrow x = 35.$

a) $5^{13} : 125$ $= 5^{13} : 5^3$ $= 5^{13 – 3}$ $=5^{10}.$

b) $2^{25}\cdot 8$ $= 2^{25} \cdot 2^3$ $= 2^{25 – 3}$ $= 2^{22}.$

c) $3^9 \cdot 27$ $= 3^9\cdot 3^3$ $= 3^{9+3}$ $= 3^{12}.$

d) $64\cdot 3^2$ $= 8^2\cdot 3^2$ $= 8\cdot 8\cdot 3\cdot 3$ $= (8\cdot 3)\cdot (8\cdot 3)$ $= (8\cdot 3)^2$ $= 24^2.$

e) $4^2\cdot 2^4$ $= 4\cdot 4\cdot 2^4$ $= 2^2\cdot 2^2\cdot 2^4$ $= 2^{2+2+4}$ $= 2^8.$

Số tế bào có được ở lần phân chia thứ 5 là: $2^5 = 32$ (tế bào).

Số tế bào có được ở lần phân chia thứ 8 là: $2^8 = 256$ (tế bào).

Số tế bào có được ở lần phân chia thứ 11 là: $2^{11} = 2\;048$ (tế bào).

Nền nhà gồm $a$ hàng, mỗi hàng $a$ viên gạch nên tổng số gạch (tính theo $a)$ là: $a\cdot a = a^2$ (viên).

Do đó, bạn An đếm được $113$ viên gạch là sai vì $113$ không thể viết được thành dạng bình phương của một số tự nhiên (hay nói cách khác là không có số tự nhiên nào mà bình phương của nó bằng 113).

a) $A = (3+5)^2$ và $B = 3^2+5^2.$

Ta có: $A = (3+5)^2 = 8^2 = 64$ và $B = 3^2+5^2 = 9+25 = 34.$

Vì $64>34$ nên $A > B.$

b) $C = (3+5)^3$ và $D = 3^3+5^3.$

Ta có: $C = (3+5)^3 = 8^3=512$ và $D = 3^3+5^3 = 27+125 = 152.$

Vì $512 > 152$ nên $C > D.$

a) $x^{3} = 27$

$x^3 = 3^3$ (vì $27 = 3^3)$

$x = 3.$

b) $2^x\cdot 4 = 16$

$2^x = 16 : 4$

$2^x = 4$

$2^x = 2^2$

$x = 2.$

c) $(2x+1)^3 = 125$

$(2x+1)^3 = 5^3$

$2x+1=5$

$2x = 5 – 1$

$2x = 4$

$x = 2.$

d) $3^x \cdot 2^3 = 6^3$

$3^x = 6^3 : 2^3$

$3^x = 216 : 8$

$3^x = 27$

$3^x = 3^3$

$x = 3.$

e) $3^x +25 = 26\cdot 2^2 + 2\cdot 3^0$

Ta có: $26\cdot 2^2 + 2\cdot 3^0$ $= 26\cdot 4 + 2\cdot 1$ $= 106$

Vậy $3^x + 25 = 106$

$3^x = 106 – 25$

$3^x = 81$

$3^x = 3^4$

$x = 4.$

a) $c = 1$

b) $c = 0.$

$n=1$ hoặc $n=0.$

a) $2^6$ và $6^2;$

Ta có: $2^6 = 64$ và $6^2 = 36$

Vì $64 > 36$ nên $2^6 > 6^2.$

b) $7^{3+1}$ và $7^3+1;$

Ta có: $7^{3+1} = 7^4 =2\;401$ và $7^3+1 =343 + 1 = 344.$

Vì $2\;401 > 344$ nên $7^{3+1} > 7^3+1.$

c) $13^{14} – 13^{13}$ và $13^{15} – 13^{14};$

Ta có:

+) $13^{14} – 13^{13}$ $= 13^{13}\cdot 13 – 13^{13}$ $= 13^{13}\cdot (13 – 1)$ $= 13^{13}\cdot 12.$

+) $13^{15} – 13^{14}$ $= 13^{14}\cdot 13 – 13^{14}$ $= 13^{14}\cdot (13 – 1)$ $= 13^{14}\cdot 12.$

Vì $13^{13} < 13^{14}$ nên $13^{13}\cdot 12 < 13^{14}\cdot 12.$

Do đó: $13^{14} – 13^{13} < 13^{15} – 13^{14}.$

d) $3^{2+n}$ và $2^{3+n}$ với $n\in\mathbb{N}^*;$

Ta có:

+) $3^{2+n}$ $= 3^2\cdot 3^n$ $= 9\cdot 3^n.$

+) $2^{3+n}$ $= 2^3\cdot 2^n$ $= 8\cdot 2^n.$

Vì $9 > 8 >0$ và $3^n > 2^n > 0$ nên $9\cdot 3^n > 8\cdot 2^n.$

Do đó: $3^{2+n} > 2^{3+n}.$

e) $2\;023^0=1^{2\;023}$ vì đều bằng $1.$

$152 = 1\cdot 10^2 + 5\cdot 10 + 2.$

$72\;196 = 7\cdot 10^4 + 2\cdot 10^3 + 1\cdot 10^2 + 9\cdot 10 + 6.$

a) $(2^9\cdot 16 +2^9\cdot 34) : 2^{10}$

Ta có: $2^9\cdot 16 + 2^9\cdot 34$ $= 2^9\cdot (16+34)$ $=2^9\cdot 50$ $= 2^9\cdot 2\cdot 25$ $= 2^{10}\cdot 25.$

Vậy $2^9\cdot 16+2^9\cdot 34 = 2^{10}\cdot 25.$

Suy ra: $(2^9\cdot 16 +2^9\cdot 34):2^{10}$ $= (2^{10}\cdot 25) : 2^{10}$ $=25.$

b) $(3^4\cdot 57 – 9^2\cdot 21) : 3^5$

Để ý $9^2 = 9\cdot 9 = 3^2\cdot 3^2 = 3^4.$

Ta có: $3^4\cdot 57 – 9^2\cdot 21$ $= 3^4\cdot 57 – 3^4\cdot 21$ $= 3^4\cdot (57+21)$ $= 3^4\cdot 78$ $=3^4\cdot 3\cdot 26$ $= 3^5\cdot 26.$

Suy ra: $(3^4\cdot 57 – 9^2\cdot 21) : 3^5 = 26.$

a) $2\;021\cdot 2\;023$ và $2\;022^2$

Ta có:

+) $2\;021\cdot 2\;023 = 2\;021\cdot (2\;022 + 1) = 2\;021\cdot 2\;022 + 2\;021$ (1)

+) $2\;022^2 = 2\;022\cdot (2\;021+1) = 2\;021\cdot 2\;022 + 2\;022$ (2)

+) $2\;021 < 2\;022$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: $2\;021\cdot 2\;023 < 2\;022^2.$

b) $2^{200}\cdot 2^{100}$ và $3^{100}\cdot 3^{100}$

Ta có:

+) $2^{200}\cdot 2^{100} = 2^{300} = 2^{100\cdot 3} = \left(2^3\right)^{100} = 8^{100}$ (1)

+) $3^{100}\cdot 3^{100} = (3\cdot 3)^{100} = 9^{100}$ (2)

+) $8^{100} < 9^{100}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: $2^{200}\cdot 2^{100} < 3^{100}\cdot 3^{100}.$

c) $3^{2n}$ và $2^{3n}$ với $n\in\mathbb{N}$

Ta có:

+) $3^{2n} = \left(3^2\right)^n = 9^n$ (1)

+) $2^{3n} = \left(2^3\right)^n = 8^n$ (2)

+) $9^n > 8^n$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $3^{2n} > 2^{3n}.$

d) $199^{20}$ và $2003^{15}$

Ta có:

+) $199^{20} < 200^{20} = \left(2^3\cdot 5^2\right)^{20} = 2^{60}\cdot 5^{20}$ (1)

+) $2003^{15} > 2000^{15} = \left(2^4\cdot 5^3\right)^{15} = 2^{60}\cdot 5^{45}$ (2)

+) $2^{60}\cdot 5^{20} < 2^{60}\cdot 5^{45}$ (3)

Từ (1), (2), (3) và áp dụng tính chất bắc cầu ta suy ra: $199^{20} < 2003^{15}.$

e) $3^{39}$ và $11^{21}$

Ta có:

+) $3^{39} < 3^{40}$ (1)

+) $11^{21} > 9^{21} = \left(3^2\right)^{21} = 3^{2\cdot 21} = 3^{42}$ (2)

+) $3^{40} < 3^{42}$ (3)

Từ (1), (2), (3) và áp dụng tính chất bắc cầu ta suy ra: $3^{39} < 11^{21}.$

a) $A = 1+2 + 2^2 + 2^3 + …+2^{2022}$

Ta có:

$2A = 2 + 2^2 + 2^3 +2^4 + … + 2^{2023}$

$2A – A = 2^{2023} – 1$

$A = 2^{2023} – 1.$

b) $B = 5+5^2+5^3+…+5^{2022}$

$5B = 5^2 + 5^3 + 5^4 + … + 5^{2023}$

$5B – B = 5^{2023} – 5$

$4B = 5^{2023} – 5$

Suy ra $B = (5^{2023} – 5) : 4.$

Ta có:

$A = 3+3^2 + 3^3 + … +3^{100}$

$3A = 3^2 + 3^3 + 3^4 + … +3^{100} + 3^{101}$

$3A – A = 3^{101} – 3$

$2A = 3^{101} – 3$

Suy ra: $2A + 3 = 3^{101}.$

Mà $2A + 3 = 3^n$

Nên $3^n = 3^{101}.$

Suy ra: $n = 101.$