Các bài tập sau đây phù hợp với cả ba bộ sách của chương trình Toán lớp 6 mới: CÁNH DIỀU, CHÂN TRỜI SÁNG TẠO, KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG.
Mức độ DỄ:
BT 1: Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố: $90;$ $84;$ $400;$ $1\;035.$
$90=2\cdot 3^2\cdot 5;$
$84=2^2\cdot 3\cdot 7;$
$400=2^4\cdot 5^2;$
$1\;035 = 3^2\cdot 5\cdot 23.$
BT 2: Cho số $c=13\cdot 27.$ Em hãy phân tích số $c$ ra thừa số nguyên tố.
Ta có: $27=3^3.$
Do đó: $c = 13\cdot 27 = 13\cdot 3^3.$ Vì $3$ và $13$ đều là các số nguyên tố nên đây là dạng phân tích số $c$ ra thừa số nguyên tố.
BT 3: Số $2\;020$ là số nguyên tố hay hợp số? Nếu là hợp số, hãy phân tích nó ra thừa số nguyên tố.
Vì $2\;020\;\vdots\;2$ (tận cùng là $0)$ và $2\;020 > 2$ nên $2\;020$ là hợp số.
Phân tích ra thừa số nguyên tố: $2\;020 = 2^2\cdot 5\cdot 101.$
Mức độ TRUNG BÌNH:
BT 4: Hãy phân tích các số $A, B$ sau đây ra thừa số nguyên tố: $A = 6^2\cdot 9^3;$ $B= 3\cdot 8^2\cdot 25.$
$A = 6^2\cdot 9^3$ $= (6\cdot 6)\cdot (9\cdot 9\cdot 9)$ $= (2\cdot 3)\cdot (2\cdot 3)\cdot (3^2\cdot 3^2\cdot 3^2)$ $= 2^2\cdot 3^8.$
$B = 3\cdot 8^2\cdot 25$ $= 3\cdot (8\cdot 8)\cdot 5^2$ $= 3\cdot (2^3\cdot 2^3)\cdot 5^2$ $= 3\cdot 2^6\cdot 5^2.$
BT 5: Biết rằng $2^5\cdot c = 2^4\cdot 24.$ Em hãy phân tích số $c$ ra thừa số nguyên tố.
Ta có: $24= 2^3\cdot 3.$
Theo đề: $2^5\cdot c=2^4\cdot 24$
Suy ra: $2^5\cdot c = 2^4\cdot (2^3\cdot 3)$
$2^5\cdot c = 2^7\cdot 3$
$c= (2^7\cdot 3): 2^5$
$c= 2^2\cdot 3.$
BT 6: Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố rồi cho biết mỗi số đó chia hết cho các số nguyên tố nào.
a) $225;$
b) $1\;050.$
a) $225= 3^2\cdot 5^2$ chia hết cho các số nguyên tố: $3; 5.$
b) $1\;050 = 2\cdot 3\cdot 5^2\cdot 7$ chia hết cho các số nguyên tố: $2; 3; 5; 7.$
BT 7: Cho số $a=2^3\cdot 5^2\cdot 11.$ Hỏi $a$ chia hết cho số nào trong các số sau đây: $4;$ $8;$ $16;$ $11;$ $20.$
Ta có: $4=2^2;$ $8=2^3;$ $16=2^4;$ $20=2^2\cdot 5.$
+) $a=2^3\cdot 5^2\cdot 11$ chia hết cho $2^2$ nên $a$ chia hết cho $4.$
+) $a=2^3\cdot 5^2\cdot 11$ chia hết cho $2^3$ nên $a$ chia hết cho $8.$
+) $a=2^3\cdot 5^2\cdot 11$ không chia hết cho $2^4$ nên $a$ không chia hết cho $16.$
+) $a=2^3\cdot 5^2\cdot 11$ chia hết cho $11$
+) $a=2^3\cdot 5^2\cdot 11$ chia hết cho $2^2\cdot 5$ nên $a$ chia hết cho $20.$
BT 8: Tích của hai số tự nhiên là $50.$ Tìm hai số tự nhiên đó.
Ta có: $50 = 2\cdot 5^2$
Vậy ta có: $50=2\cdot 25$ hoặc $50=10\cdot 5$ hoặc $50=50\cdot 1.$
Hai số tự nhiên cần tìm là $2$ và $25;$ hoặc $10$ và $5;$ hoặc $50$ và $1.$
Mức độ KHÓ:
BT 9: Tìm các số tự nhiên $x,y$ sao cho $(2x-1)\cdot (y+3)=12.$
Nhận xét rằng $2x-1$ là một số lẻ, nên ta cần phân tích số $12$ thành tích của hai số, mà trong đó có một số lẻ.
Ta có: $12=3\cdot 2^2.$
Vì $2x-1$ là số lẻ nên ta chọn $2x-1=3$ và $y+3=2^2.$
+) $2x-1=3$ thì $2x=3+1=4,$ hay $x=4:2=2.$
+) $y+3=2^2$ thì $y=2^2-3=4-3=1.$
Vậy $x=2$ và $y=1.$
BT 10: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp có tích bằng $13\;800.$
Phân tích ra thừa số nguyên tố, ta được: $13\;800 = (2^3\cdot 3)\cdot 5^2\cdot 23.$
Suy ra: $13\;800 = 24\cdot 25\cdot 23.$
Ba số tự nhiên liên tiếp phải tìm là: $23;$ $24;$ $25.$
BT 11: Tìm hai số tự nhiên đều không chia hết cho $10$ và có tích bằng $10\;000.$
Gọi hai số phải tìm là $a$ và $b$ (với $a\leq b)$
Ta có: $ab=10^4=2^4\cdot 5^4.$
Do $a,b$ không chia hết cho $10$ và $a\leq b$ nên $a=2^4=16$ và $b=5^4=625.$
BT 12:
a) Phân tích số $756$ thành tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
b) Tìm $n\in\mathbb{N}^*$ thỏa: $2+4+6+…+2n=756.$
a) Ta có: $756 = 2^2\cdot 3^3\cdot 7$ $= (2^2\cdot 7)\cdot 3^3$ $= 28\cdot 27.$
b) Ta có: $2+4+6+…+2n$ $= 2(1+2+3+…+n)$ $= 2\cdot [(n+1)\cdot n : 2]$ $= (n+1)\cdot n$
Vậy $(n+1)\cdot n = 756.$
Nhận xét rằng $n+1$ và $n$ (ở vế trái) là hai số tự nhiên liên tiếp. Do đó, ta phân tích số $756$ (ở vế phải) thành tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Theo câu a, đó là: $756 = 28\cdot 27.$
Ta có: $(n+1)\cdot n = 28\cdot 27$
Suy ra: $n= 27.$
BT 13: Tìm số tự nhiên $n,$ biết: $2+4+6+…+2n=210.$
Ta có: $2+4+6+…+2n$ $= 2(1+2+3+…+n)$ $= 2\cdot [(n+1)\cdot n :2]$ $= (n+1)\cdot n$ là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
$210 = 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$ $= (3\cdot 5)\cdot (2\cdot 7)$ $= 15\cdot 14.$
Vậy $(n+1)\cdot n = 15\cdot 14$
Suy ra: $n=14.$
BT 14: Bạn Chi tính tổng các số tự nhiên liên tiếp từ $1$ đến $n$ và nhận thấy tổng đó chia hết cho $29.$ Bạn Hoàng tính tổng các số tự nhiên liên tiếp từ $1$ đến $m$ và cũng nhận thấy tổng đó chia hết cho $29.$ Tìm $m$ và $n,$ biết rằng $m<n<50.$
Xét tổng của $k$ số tự nhiên liên tiếp (với $k<50):$ $1+2+3+…+k=k(k+1):2$
Nếu $k(k+1):2$ chia hết cho $29$ thì $k\;\vdots\;29$ hoặc $k+1\;\vdots\;29$ (vì $29$ là số nguyên tố).
Do $k<50$ nên $k=29$ hoặc $k+1=29.$ Tức là $k=29$ hoặc $k=29-1=28.$
Theo đề bài thì $m$ và $n$ đều thỏa mãn tính chất giống như $k$ kể trên, nên suy ra: $m=28$ và $n=29$ (vì $m<n).$