Bài tập TOÁN 6 (CT mới) – Chuyên đề SỐ NGUYÊN TỐ. HỢP SỐ.

Các bài tập sau đây phù hợp với cả ba bộ sách của chương trình Toán lớp 6 mới: CÁNH DIỀU, CHÂN TRỜI SÁNG TẠO, KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG. Mức độ DỄ: BT 1: Số $0$ là số nguyên tố hay hợp số? Số $1$ là số nguyên tố hay hợp số? […]

Các bài tập sau đây phù hợp với cả ba bộ sách của chương trình Toán lớp 6 mới: CÁNH DIỀU, CHÂN TRỜI SÁNG TẠO, KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG.

Mức độ DỄ:

BT 1: Số $0$ là số nguyên tố hay hợp số? Số $1$ là số nguyên tố hay hợp số?

Số $0$ và số $1$ đều không là số nguyên tố, cũng không là hợp số.

Nói cách khác, các số nguyên tố và hợp số đều phải lớn hơn $1.$

BT 2: Cho các số: $312;$ $213;$ $435;$ $417;$ $3\;311;$ $67.$ Số nào là số nguyên tố, số nào là hợp số? Vì sao?

Chỉ có số $67$ là số nguyên tố, các số còn lại đều là hợp số.

+) $312\;\vdots\;2$ (vì tận cùng là $2)$ nên là hợp số.

+) $213\;\vdots\;3$ (vì $2+1+3=6\;\vdots\;3)$ nên là hợp số.

+) $435\;\vdots\;5$ (vì tận cùng là $5)$ nên là hợp số.

+) $417\;\vdots\;3$ (vì $4+1+7=12\;\vdots\;3)$ nên là hợp số.

+) $3\;311\;\vdots\;11$ nên là hợp số.

BT 3: Phát biểu sau đúng hay sai: “Mọi số nguyên tố đều là số lẻ”?

Sai. Số $2$ là số nguyên tố và là số chẵn.

BT 4: Số $2\;022$ là số nguyên tố hay hợp số?

Ta có: $2\;022\;\vdots\;2$ (vì tận cùng là $2)$

Thêm nữa, $2\;022>2$

Từ hai điều trên ta suy ra: $2\;022$ là hợp số.

Lưu ý: Để chứng minh một số $a$ là hợp số, ta chứng minh $a$ chia hết cho một số $x$ nhỏ hơn nó (trong đó, $a$ và $x$ đều lớn hơn $1).$

Tức là: Nếu $a\;\vdots\;x$ và $a>x>1$ thì $a$ là hợp số.

BT 5:

a) Số nguyên tố nhỏ nhất là số nào? Số nguyên tố lẻ nhỏ nhất là số nào?

b) Hợp số nhỏ nhất là số nào? Hợp số lẻ nhỏ nhất là số nào?

a) Số nguyên tố nhỏ nhất là $2.$ Số nguyên tố lẻ nhỏ nhất là $3.$

b) Hợp số nhỏ nhất là $4.$ Hợp số lẻ nhỏ nhất là $9.$

Mức độ TRUNG BÌNH:

BT 6: Tổng (hiệu) sau là số nguyên tố hay hợp số?

a) $3\cdot 4\cdot 5 + 6\cdot 7;$

b) $45\cdot 2\;023 + 2\;025;$

c) $13\cdot 15\cdot 17 – 2\;023;$

d) $1\;234 + 4\;321.$

a) $3\cdot 4\cdot 5 + 6\cdot 7;$

Ta có:

+) $3\cdot 4\cdot 5 \;\vdots\;3$ (vì tích có chứa thừa số $3).$

+) $6\cdot 7\;\vdots\;3$ (vì tích có chứa thừa số $6\;\vdots\;3).$

Do đó: $3\cdot 4\cdot 5 + 6\cdot 7\;\vdots\;3.$

Thêm nữa, $3\cdot 4\cdot 5 + 6\cdot 7>3$

Suy ra: $3\cdot 4\cdot 5 + 6\cdot 7$ là hợp số.

b) $45\cdot 2\;023 + 2\;025;$

Ta có:

+) $45\cdot 2\;023\;\vdots\;5$ (vì tích có chứa thừa số $45\;\vdots\;5).$

+) $2\;025\;\vdots\;5$ (vì tận cùng là $5).$

Do đó: $45\cdot 2\;023 + 2\;025\;\vdots\;5$

Thêm nữa, $45\cdot 2\;023 + 2\;025>5$

Suy ra $45\cdot 2\;023 + 2\;025$ là hợp số.

c) $13\cdot 15\cdot 17 + 2\;023;$

Ta có $13\cdot 15\cdot 17$ và $2\;023$ đều là số lẻ.

Suy ra: $13\cdot 15\cdot 17 + 2\;023$ là số chẵn.

Vậy $13\cdot 15\cdot 17 +2\;023\;\vdots\;2$

Thêm nữa, $13\cdot 15\cdot 17 + 2\;023 > 2$

Suy ra: $13\cdot 15\cdot 17 + 2\;023$ là hợp số.

d) $4\;321 – 1\;234$

Ta có:

+) $4+3+2+1 = 10$ chia cho $9$ dư $1.$ Suy ra $4\;321$ chia cho $9$ dư $1.$

+) $1+2+3+4 = 10$ chia cho $9$ dư $1.$ Suy ra $1\;234$ chia cho $9$ dư $1.$

Suy ra: $4\;321 – 1\;234$ chia cho $9$ không dư. Tức là $4\;321-1\;234 \;\vdots\;9.$

Mặt khác, $4\;321-1\;234 > 9.$

Suy ra: $4\;321-1\;234$ là hợp số.

BT 7: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức $25\cdot 2\;021 + 5^{2\;021}$ là một hợp số.

Ta có:

+) $25\cdot 2\;021 \;\vdots\;5$ (vì tích có chứa thừa số $25\;\vdots\;5)$

+) $5^{2\;021}\;\vdots\;5$ (vì là lũy thừa của $5)$

Suy ra: $25\cdot 2\;021 + 5^{2\;021}$ chia hết cho $5.$

Mà $25\cdot 2\;021+5^{2\;021} > 2$

Do đó $25\cdot 2\;021+5^{2\;021}$ là một hợp số.

BT 8: Em Hoa có $17$ miếng xốp nhỏ hình vuông. Minh định giúp em dùng tất cả các miếng xốp đó để ghép thành một hình chữ nhật (sao cho mỗi chiều ít nhất là $2$ hàng) để ngồi lên chơi. Hỏi Minh có thực hiện được không? Hãy giải thích.

Vì $17$ là số nguyên tố nên chỉ chia hết cho $17$ và $1.$

Do đó, không thể xếp $17$ miếng xốp thành một hình chữ nhật mà mỗi chiều ít nhất hai miếng được.

Vậy Minh không thực hiện được điều mình muốn.

BT 9: Tìm số $\overline{abcd},$ biết:

$a$ là số tự nhiên nhỏ nhất khác $0;$

$b$ là số nguyên tố nhỏ nhất;

$c$ là hợp số chẵn lớn nhất có một chữ số;

$d$ là số tự nhiên liền sau số nguyên tố lẻ nhỏ nhất.

$a$ là số tự nhiên nhỏ nhất khác $0$ nên $a=1.$

$b$ là số nguyên tố nhỏ nhất nên $b=2.$

$c$ là hợp số chẵn lớn nhất có một chữ số nên $c=8.$

$d$ là số tự nhiên liền sau số nguyên tố lẻ nhỏ nhất, mà số nguyên tố lẻ nhỏ nhất là $3,$ nên $d= 4.$

Vậy $\overline{abcd} = 1284.$

BT 10: Tìm số $\overline{abcd},$ trong đó:

$a$ là số có đúng một ước;

$b$ là hợp số lẻ nhỏ nhất;

$c$ không phải là số nguyên tố, không phải là hợp số và $c\neq 1;$

$d$ là số nguyên tố lẻ nhỏ nhất.

$a$ là số có đúng một ước nên $a=1.$

$b$ là hợp số lẻ nhỏ nhất nên $b= 9.$

$c$ không phải là số nguyên tố, không phải là hợp số và $c\neq 1$ nên $c= 0.$

$d$ là số nguyên tố lẻ nhỏ nhất nên $b= 3.$

Vậy $\overline{abcd}=1903.$

BT 11: Mỗi khẳng định sau đây ĐÚNG hay SAI? Nếu đúng, hãy chứng minh điều đó. Nếu sai, hãy cho ví dụ minh họa.

a) Mỗi số chẵn lớn hơn $2$ đều là hợp số.

b) Tổng của hai số nguyên tố lớn hơn $2$ luôn là một hợp số.

c) Tổng của hai hợp số luôn là một hợp số.

d) Tích của hai số nguyên tố có thể là một số chẵn.

a) Mỗi số chẵn lớn hơn $2$ đều là hợp số.

ĐÚNG.

Chứng minh: Gọi $a$ là số chẵn lớn hơn $2.$ Khi đó, $a\;\vdots\;2$ (vì $a$ là số chẵn) và $a>2.$ Do đó, $a$ là hợp số.

b) Tổng của hai số nguyên tố lớn hơn $2$ luôn là một hợp số.

ĐÚNG.

Chứng minh: Gọi $a,b$ là hai số nguyên tố lớn hơn $2.$ Suy ra $a,b$ đều là số lẻ (vì $2$ là số nguyên tố chẵn duy nhất). Do đó, $a+b$ là số chẵn, tức là $a+b\;\vdots\;2.$ Ta lại có $a+b>2$ (vì $a,b$ đều lớn hơn $2).$ Suy ra $a+b$ là hợp số.

c) Tổng của hai hợp số luôn là một hợp số.

SAI.

Ví dụ: $15$ và $4$ đều là hợp số. Nhưng $15+4=19$ lại là số nguyên tố.

d) Tích của hai số nguyên tố có thể là một số chẵn.

ĐÚNG.

Chứng minh: Chọn hai số nguyên tố $2$ và $3$ thì tích của chúng $2\cdot 3=6$ là một số chẵn.

BT 12: Cho $a = 2\cdot 3\cdot 4\cdot …\cdot 2007\cdot 2008.$ Xét $2007$ số: $a+2;$ $a+3;$ $a+4;…$ $a+2007;$ $a+2008.$ Trong các số đó, hãy tìm ra các số nguyên tố và các hợp số.

Dễ thấy:

+) $a+2 = 2\cdot 3\cdot …\cdot 2008 + 2 = 2\cdot (3\cdot …\cdot 2008 + 1)$ chia hết cho $2.$

+) $a+3 = 3\cdot (2\cdot 4\cdot … \cdot 2008 +1)$ chia hết cho $3.$

+) …

+) $a+2007 = 2007\cdot (2\cdot 3\cdot …\cdot 2006\cdot 2008+1)$ chia hết cho $2007.$

+) $a+2008 = 2008\cdot (2\cdot 3\cdot …\cdot 2007 + 1)$ chia hết cho $2008.$

Thêm nữa, vì $a>2008$ nên các số $a+2;…$ $a+2008$ đều lớn hơn $2008.$

Suy ra $a+2;$ $a+3;…$ $a+2008$ đều là các hợp số.

BT 13: Tìm số tự nhiên $k$ để $3k$ là số nguyên tố, $7k$ là số nguyên tố.

Nếu $k=1$ thì $3k=3$ và $7k=7$ đều là các số nguyên tố. Do đó ta nhận $k=1$ làm một đáp án.

Nếu $k>1$ thì $3k\;\vdots\;3$ và $3k>3$ nên $3k$ là hợp số, không phải số nguyên tố. Do đó ta loại $k>1.$

Tóm lại, $k=1$ là đáp số duy nhất của bài toán.

Mức độ KHÓ:

BT 14: Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng $2\;021$ hay không? Vì sao?

KHÔNG.

Vì tổng của hai số nguyên tố bằng $2\;021$ là số lẻ nên hai số nguyên tố đó có một số là chẵn và một số là lẻ.

Ta biết rằng chỉ có một số nguyên tố chẵn duy nhất là $2.$

Vì tổng hai số bằng $2\;021$ nên số còn lại là $2\;021-2=2\;019.$ Tuy nhiên, $2\;019\;\vdots\;3$ (vì $2+0+1+9=12\;\vdots\;3)$ và $2\;019>3$ nên $2\;019$ là một hợp số, không phải số nguyên tố.

Vậy $2\;021$ không thể viết thành tổng của hai số nguyên tố được. Tức là tổng của hai số nguyên tố không thể bằng $2\;021.$

BT 15: Tìm số tự nhiên $n$ sao cho $3^n+18$ là số nguyên tố.

Nếu $n=0$ thì $3^n+18=1+18=19$ là số nguyên tố. Do đó, nhận $n=0$ làm một đáp án.

Nếu $n\geq 1$ thì $3^n+18 = 3^n+3\cdot 6=3\cdot (3^{n-1}+6) \;\vdots\;3$ và $3^n+18 > 3$ nên $3^n+18$ là hợp số. Do đó, loại $n>0.$

Vậy chỉ khi $n=0$ thì $3^n+18$ mới là số nguyên tố.

BT 16: Tìm số nguyên tố $p$ để cho $p+1$ cũng là số nguyên tố.

$p$ và $p+1$ là hai số liên tiếp nên phải có một số là số chẵn và số còn lại là số lẻ.

+) Nếu $p$ là số chẵn thì $p=2$ vì chỉ có một số nguyên tố chẵn duy nhất là $2.$ Khi đó, $p+1=3$ là số nguyên tố. Do đó, nhận $p=2$ làm một đáp án.

+) Nếu $p$ là số lẻ thì $p+1$ là số chẵn, do đó $p+1=2.$ Suy ra $p=1,$ không phải là số nguyên tố. Do đó, loại trường hợp này.

Vậy $p=2$ là đáp án duy nhất của bài toán.

BT 17: Tìm số nguyên tố $p$ để cho $p+1$ và $p+5$ cũng là số nguyên tố.

+) Nếu số nguyên tố $p$ là số chẵn thì $p=2$ (vì $2$ là số nguyên tố chẵn duy nhất). Khi đó, $p+1=3$ và $p+5=7$ đều là các số nguyên tố. Do đó, ta nhận $p=2$ làm một đáp án.

+) Nếu $p$ là số lẻ thì số nguyên tố $p+1$ là số chẵn, do đó $p+1=2.$ Suy ra $p=1,$ không phải là số nguyên tố. Do đó, ta loại trường hợp này.

Vậy $p=2$ là đáp án duy nhất của bài toán.

BT 18: Tìm số tự nhiên $a$ sao cho $a,$ $a+1,$ $a+2$ đều là số nguyên tố.

+) Nếu $a$ là số chẵn thì vì $a$ là số nguyên tố nên $a=2.$ Khi đó, $a+2=4$ không phải là số nguyên tố, nên ta loại trường hợp này.

+) Nếu $a$ là số lẻ thì $a+1$ là số chẵn. Do đó, vì $a+1$ là số nguyên tố nên $a+1=2.$ Suy ra $a=1,$ không phải là số nguyên tố. Do đó ta cũng loại trường hợp này.

Vậy không có số tự nhiên $a$ nào để $a,$ $a+1,$ $a+2$ đều là số nguyên tố.

BT 19: Ba số nguyên tố phân biệt có tổng là $106.$ Số lớn nhất trong ba số nguyên tố đó có thể lớn nhất bằng bao nhiêu?

Tổng của ba số nguyên tố phân biệt đó là $106.$ Mà $106$ là số chẵn nên trong ba số cần tìm phải có một số nguyên tố chẵn, đó là $2.$

Ta đã biết $2$ là số nguyên tố nhỏ nhất nên hai số nguyên tố còn lại đều phải lớn hơn $2.$

Gọi $a$ và $b$ là hai số nguyên tố còn lại $(2<a<b)$ thì $a+b=106-2=104.$

Suy ra $2<a<b<102.$

Số nguyên tố lớn nhất mà nhỏ hơn $102$ là $101.$ Nếu chọn $b=101$ thì $a=104-b=3$ vẫn là số nguyên tố.

Vậy số cần tìm là $101.$

BT 20:

a) Cho $n$ là một số tự nhiên không chia hết cho $3 .$ Tìm số dư khi chia $n^2$ cho $3.$

b) Cho $p$ là một số nguyên tố lớn hơn $3.$ Hỏi $p^2+2003$ là số nguyên tố hay hợp số.

a) Vì $n$ không chia hết cho $3$ nên $n$ có một trong hai dạng: $3k+1$ hoặc $3k+2$ (với $k\in\mathbb{N}^*).$

+) Nếu $n=3k+1$ thì $n^2$ $= n\cdot n$ $= (3k+1)\cdot (3k+1)$ $= 3k\cdot (3k+1) + 3k+1$ $= 3k\cdot (3k + 1 + 1) + 1$ chia cho $3$ dư $1.$

+) Nếu $n=3k+2$ thì $n^2$ $= n\cdot n$ $= (3k+2)\cdot (3k+2)$ $= 3k\cdot (3k+2)+ 2\cdot (3k+2)$ $= 9k^2 + 6k + 6k + 4$ $= 9k^2 + 12k + 3+1$ $= 3\cdot (3k^2+4k+1) + 1$ chia cho $3$ dư $1.$

Vậy khi $n$ không chia hết cho $3$ thì $n^2$ chia $3$ luôn dư $1.$
b) Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $p$ không chia hết cho $3.$

Áp dụng câu a) ta suy ra $p^2$ chia $3$ dư $1.$

Mà $2003$ chia $3$ dư $2$ (vì $2+0+0+3=5$ chia $3$ dư $2).$

Suy ra: $p^2+2003$ chia hết cho $3.$

Thêm nữa, $p^2+2003>3$

Do đó, $p^2+2003$ là hợp số.

BT 21: Tìm số nguyên tố $p$ sao cho $p^2+4$ và $p^2-4$ đều là số nguyên tố.

+) Nếu $p=2$ thì $p^2+4 = 8$ là hợp số, không thỏa mãn đề bài. Vậy loại $p=2.$

+) Nếu $p=3$ thì $p^2+4=13$ và $p^2-4=5$ đều là các số nguyên tố. Vậy nhận $p=3$ làm đáp án.

+) Nếu $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3.$ Khi đó, $p$ không chia hết cho $3.$ Do đó, $p$ chia cho $3$ dư $1$ hoặc $2.$ Suy ra: $p^2$ chia $3$ dư $1.$ Do đó, $p^2-4\;\vdots\;3.$ Vậy $p^2-4$ là hợp số, không thỏa mãn đề bài, nên loại trường hợp này.

Tóm lại, số nguyên tố cần tìm là $p=3.$

BT 22: Cho $p$ và $p+2$ là các số nguyên tố $(p>3).$ Chứng minh rằng $p+1 \;\vdots\;6.$

Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $p$ không chia hết cho $3.$ Do đó, $p$ có một trong hai dạng: $3k+1$ hoặc $3k+2$ (với $k\in\mathbb{N}^*).$

+) Nếu $p=3k+1$ thì $p+2 = 3k+3 \;\vdots\;3,$ mà $p+2>p>3$ nên suy ra $p+2$ là hợp số. Điều này trái với đề bài $(p+2$ là số nguyên tố). Vậy ta loại trường hợp này.

+) Nếu $p=3k+2$ thì $p+1=3k+3 =3(k+1).$

Do $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $p$ là số lẻ. Kết hợp với $p=3k+2$ suy ra $3k$ là số lẻ, hay $k$ là số lẻ.

Suy ra $k+1$ là số chẵn, hay $k+1\;\vdots\;2.$

Suy ra $p+1=3(k+1)\;\vdots\;6.$

BT 23: Tìm số nguyên tố $p$ sao cho $p+2$ và $p+4$ cũng là các số nguyên tố.

Số nguyên tố $p$ có một trong ba dạng: $3k;$ $3k+1;$ $3k+2$ (với $k\in\mathbb{N}^*).$

✔ Nếu $p=3k$ thì $p\;\vdots\;3.$ Mà $p$ là số nguyên tố nên $p=3.$ Khi đó, $p+2=5$ và $p+4=7$ đều là các số nguyên tố (thỏa mãn đề bài). Do đó, ta nhận $p=3$ làm một đáp án.

✔ Nếu $p=3k+1$ thì $p+2=3k+3\;\vdots\;3.$ Mà $p+2>3$ nên suy ra $p+2$ là hợp số. Do đó ta loại trường hợp này.

✔ Nếu $p=3k+2$ thì $p+4=3k+6\;\vdots\;3.$ Mà $p+4>3$ nên suy ra $p+4$ là hợp số. Do đó ta loại trường hợp này.

Vậy chỉ có duy nhất một số nguyên tố $p$ thỏa mãn điều kiện đề bài là $p=3.$

BT 24: Tìm số nguyên tố $p$ sao cho $p+6,$ $p+12,$ $p+18,$ $p+24$ cũng là các số nguyên tố.

Số $p$ có một trong năm dạng: $5k;$ $5k+1;$ $5k+2;$ $5k+3;$ $5k+4$ (với $k\in\mathbb{N}^*).$

+) Nếu $p=5k$ thì $p\;\vdots\;5.$ Mà $p$ là số nguyên tố nên $p=5.$ Khi đó, $p+6=11,$ $p+12=17,$ $p+18=23,$ $p+24=29$ đều là các số nguyên tố. Vậy ta nhận $p=5$ làm một đáp án.

+) Nếu $p=5k+1$ thì $p+24=5k+25 = 5\cdot (k+5)\;\vdots\;5$ và $p+24>5.$ Do đó, $p+24$ là hợp số, trái với yêu cầu đề bài. Vậy ta loại trường hợp này.

+) Nếu $p=5k+2$ thì $p+18=5k+20 = 5\cdot (k+4)\;\vdots\;5$ và $p+18>5.$ Do đó, $p+18$ là hợp số, trái với yêu cầu đề bài. Vậy ta loại trường hợp này.

+) Nếu $p=5k+3$ thì $p+12=5k+15 = 5\cdot (k+3)\;\vdots\;5$ và $p+12>5.$ Do đó, $p+12$ là hợp số, trái với yêu cầu đề bài. Vậy ta loại trường hợp này.

+) Nếu $p=5k+4$ thì $p+6=5k+10 = 5\cdot (k+2)\;\vdots\;5$ và $p+6>5.$ Do đó, $p+6$ là hợp số, trái với yêu cầu đề bài. Vậy ta loại trường hợp này.

Tóm lại, chỉ có $p=5$ là số nguyên tố duy nhất thỏa yêu cầu đề bài.

BT 25: Cho $p,$ $p+20$ và $p+40$ là các số nguyên tố. Chứng minh rằng $p+80$ là số nguyên tố.

Số $p$ có một trong ba dạng: $3k,$ $3k+1$ hoặc $3k+2$ (với $k\in\mathbb{N}^*)$

+) Nếu $p=3k$ thì $p$ chia hết cho $3.$ Suy ra, $p=3.$ Khi đó, $p+20=23,$ $p+40=43$ và $p+80=83$ đều là các số nguyên tố.

+) Nếu $p=3k+1$ thì $p+20=3k+21=3\cdot (k+7)\;\vdots\;3$ và $p+20>3.$ Do đó $p+20$ là hợp số, không thỏa yêu cầu đề bài.

+) Nếu $p=3k+2$ thì $p+40= 3k+42= 3\cdot (k+14)\;\vdots\;3$ và $p+40>3.$ Do đó, $p+40$ là hợp số, không thỏa yêu cầu đề bài.

Vậy để $p,$ $p+20,$ $p+40$ là các số nguyên tố thì $p=3,$ và khi đó $p+80=83$ là một số nguyên tố.

BT 26: Cho $p$ và $p+4$ là các số nguyên tố $(p>3).$ Chứng minh rằng $p+8$ là hợp số.

Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $p$ không chia hết cho $3.$ Do đó $p$ có một trong hai dạng: $3k+1$ hoặc $3k+2$ (với $k\in\mathbb{N}^*).$

Nếu $p=3k+2$ thì $p+4=3k+6\;\vdots\;3.$ Mà $p+4 > 3$ nên suy ra $p+4$ là hợp số, trái với đề bài. Do đó, $p=3k+1.$

Suy ra: $p+7=3k+8\;\not{\vdots}\;3.$ Suy ra $2(p+7)\;\not{\vdots}\;3,$ hay $2p+14\;\not{\vdots}\;3.$

Trong ba số tự nhiên liên tiếp $2p+14;$ $2p+15;$ $2p+16$ luôn có một số chia hết cho $3.$ Mà $2p+14\;\not{\vdots}\;3;$ $2p+15\;\not{\vdots}\;3$ nên $2p+16\;\vdots\;3,$ hay $2(p+8)\;\vdots\;3.$

Vì $2$ và $3$ không cùng chia hết cho số tự nhiên khác $1$ nào nên suy ra: $p+8\;\vdots\;3.$ Mà $p+8>3$ nên $p+8$ là một hợp số.

BT 27: Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ thì $(p-1)\cdot (p+1)\;\vdots\;24.$

Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $p\;\not{\vdots}\;3.$

Mà trong ba số tự nhiên liên tiếp $p-1;$ $p;$ $p+1$ luôn có một số chia hết cho $3$ nên trong hai số $p-1$ và $p+1$ phải có một số chia hết cho $3.$

Suy ra: $(p-1)\cdot (p+1)\;\vdots\;3$ (1)

Mặt khác, vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $p$ là số lẻ. Suy ra $p-1$ và $p+1$ là hai số chẵn liên tiếp.

Suy ra: $(p-1)\cdot (p+1)\;\vdots\;8$ (2)

Do $3$ và $8$ không cùng chia hết cho bất kỳ số tự nhiên khác $1$ nào nên từ (1) và (2) suy ra: $(p-1)\cdot (p+1)\;\vdots\;24.$

BT 28: Cho $p$ và $2p+1$ là các số nguyên tố $(p>3).$ Hỏi $4p+1$ là số nguyên tố hay hợp số?

Do $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $p\;\not{\vdots}\;3.$ Suy ra $4p\;\not{\vdots}\;3.$

Do $2p+1$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $2p+1\;\not{\vdots}\;3.$ Suy ra $2\cdot (2p+1)\;\not{\vdots}\;3,$ hay $4p+2\;\not{\vdots}\;3.$

Trong ba số tự nhiên liên tiếp $4p;$ $4p+1;$ $4p+2$ luôn có một số chia hết cho $3.$ Mà $4p\;\not{\vdots}\;3$ và $4p+2\;\not{\vdots}\;3$ nên $4p+1\;\vdots\;3.$

Vì $4p+1\;\vdots\;3$ và $4p+1>3$ nên $4p+1$ là hợp số.

BT 29: Cho $p$ và $8p-1$ là các số nguyên tố. Chứng minh rằng $8p+1$ là hợp số.

Số $p$ có một trong ba dạng: $3k;$ $3k+1;$ $3k+2$ (với $k\in\mathbb{N}^*).$

+) Nếu $p=3k$ thì $p\;\vdots\;3.$ Mà $p$ là số nguyên tố nên $p=3.$ Khi đó, $8p-1=23$ là số nguyên tố và $8p+1=25$ là một hợp số.

+) Nếu $p=3k+1$ thì $p\;\not{\vdots}\;3.$ Suy ra: $8p\;\not{\vdots}\;3.$

Mặt khác, $8p-1=8\cdot (3k+1) -1 = 24k+7.$ Mà $24k\;\vdots\;3$ và $7\;\not{\vdots}\;3$ nên $24k+7\;\not{\vdots}\;3,$ tức là $8p-1\;\not{\vdots}\;3.$

Trong ba số tự nhiên liên tiếp $8p-1;$ $8p;$ $8p+1,$ luôn có một số chia hết cho $3.$ Mà $8p\;\not{\vdots}\;3$ và $8p-1\;\not{\vdots}\;3$ nên $8p+1\;\vdots\;3.$

Vì $8p+1>3$ và $8p+1\;\vdots\;3$ nên $8p+1$ là hợp số.

+) Nếu $p=3k+2$ thì $8p-1=8\cdot (3k+2)-1 = 24k – 15 \;\vdots\;3.$

Ta có $p=3k+2 > 2$ nên $8p-1>3.$ Kết hợp với $8p-1\;\vdots\;3$ suy ra $8p-1$ là hợp số, không thỏa yêu cầu đề bài. Do đó, ta loại trường hợp này.

Vậy nếu $p$ và $8p-1$ là các số nguyên tố thì $8p+1$ là hợp số.

Chia sẻ nếu thấy hay:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.