Bài tập TOÁN 6 (CT mới) – Chuyên đề PHÉP CHIA HẾT HAI SỐ NGUYÊN. ƯỚC VÀ BỘI CỦA SỐ NGUYÊN.

Các bài tập sau đây phù hợp với cả ba bộ sách của chương trình Toán lớp 6 mới: CÁNH DIỀU, CHÂN TRỜI SÁNG TẠO, KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG. Mức độ DỄ: BT 1: Tính: a) $192\;:\;(-3);$ b) $(-450)\;:\;(-90);$ c) $(-725)\;:\;25;$ d) $(-350)\;:\;(+14).$ BT 2: Thực hiện phép tính: a) $(70-85)\;:\;5+7;$ b) […]

Các bài tập sau đây phù hợp với cả ba bộ sách của chương trình Toán lớp 6 mới: CÁNH DIỀU, CHÂN TRỜI SÁNG TẠO, KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG.

Mức độ DỄ:

BT 1: Tính:

a) $192\;:\;(-3);$

b) $(-450)\;:\;(-90);$

c) $(-725)\;:\;25;$

d) $(-350)\;:\;(+14).$

a) $192\;:\;(-3)$ $=-(192\;:\;3)$ $=-64.$

b) $(-450)\;:\;(-90)$ $=450\;:\;90=5.$

c) $(-725)\;:\;25$ $=-(725\;:\;25)$ $=-29.$

d) $(-350)\;:\;(+14)$ $=-(350\;:\;14)$ $=-25.$

BT 2: Thực hiện phép tính:

a) $(70-85)\;:\;5+7;$

b) $(-5)\cdot (-4)-135\;:\;(-45).$

a) $(70-85)\;:\;5+7$ $=(-15)\;:\;5+7$ $=-3+7$ $=4.$

b) $(-5)\cdot (-4)-135\;:\;(-45)$ $=20-(-3)$ $=20+3$ $=23.$

BT 3: Tìm số nguyên $x,$ biết:

a) $2x=-4;$

b) $-7x=28;$

c) $-15x=-45;$

d) $-2x-10=4;$

e) $100\;:\;(x-7)=2.$

a) $2x=-4$ dẫn đến $x=(-4)\;:\;2=-2.$

Vậy $x=-2.$

b) $-7x=28$ dẫn đến $x=28\;:\;(-7)=-4.$

Vậy $x=-4.$

c) $-15x=-45$ dẫn đến $x=(-45)\;:\;(-15)=3.$

Vậy $x=3.$

d) $-2x-10=4$ dẫn đến $-2x=4+10=14.$

Vậy $-2x=14.$ Dẫn đến $x=14\;:\;(-2)=-7.$

Vậy $x=-7.$

e) $100\;:\;(x-7)=2$ dẫn đến $x-7=100\;:\;2=50.$

Vậy $x-7=50,$ dẫn đến $x=50+7=57.$

Vậy $x=57.$

BT 4: Tìm các ước của $35$ và các ước của $-24.$

Các ước dương của $35$ là $1;$ $5;$ $7;$ $35.$ Suy ra tất cả các ước (nguyên) của $35$ là $-35;$ $-7;$ $-5;$ $-1;$ $1;$ $5;$ $7;$ $35.$

Các ước dương của $24$ là $1;$ $2;$ $3;$ $4;$ $6;$ $8;$ $12;$ $24.$ Suy ra tất cả các ước (nguyên) của $-24$ là $-24;$ $-12;$ $-8;$ $-6;$ $-4;$ $-3;$ $-2;$ $-1;$ $1;$ $2;$ $3;$ $4;$ $6;$ $8;$ $12;$ $24.$

Mức độ TRUNG BÌNH:

BT 5: Tìm các bội khác $0$ của $6,$ lớn hơn $-36$ và nhỏ hơn $20.$

Cách 1:

Các bội của $6$ là $…;-42;$ $-36;$ $-30;$ $-24;$ $-18;$ $-12;$ $-6;$ $0;$ $6;$ $12;$ $18;$ $24;…$

Vậy các bội khác $0$ của $6,$ lớn hơn $-36$ và nhỏ hơn $20$ là $-30;$ $-24;$ $-18;$ $-12;$ $-6;$ $6;$ $12;$ $18.$

Cách 2:

Các bội của $6$ có dạng $x=6k$ (với $k\in\mathbb{Z}).$

Cần tìm các bội khác $0$ nên $x\neq 0,$ hay $k\neq 0.$ (1)

Các bội cần tìm lớn hơn $-36$ và nhỏ hơn $20$ nên $-36< x < 20,$ hay $-36 < 6k < 20.$

Suy ra $-6 < k\leq 3.$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $k$ bằng một trong các số $-5; -4; -3; -2; -1; 1; 2; 3.$

Tương ứng, các số $x$ cần tìm là $-30;$ $-24;$ $-18;$ $-12;$ $-6;$ $6;$ $12;$ $18.$

BT 6: Cho $a$ là một số nguyên dương và $b$ là một số nguyên âm. Nếu $a\;\vdots\;b,$ hãy so sánh thương $a\;:\;b$ với $0.$

Vì $a$ và $b$ trái dấu nên thương $a\;:\;b$ là số âm, tức là $a\;:\;b < 0.$

BT 7: Nếu số nguyên $a$ là bội của số nguyên $b$ thì có thể kết luận rằng $a > b$ không? Nếu không, hãy cho ví dụ minh họa.

KHÔNG.

Chẳng hạn: $-6$ là bội của $2$ nhưng $-6 < 2.$

BT 8: Liệt kê các phần tử của tập hợp sau: $P=\{x\in\mathbb{Z}\;|\;x\;\vdots\;3\;và \;-12\leq x < 12\}.$

$x\;\vdots\;3$ nên $x$ là bội của $3.$ Vậy $x\in\{…; -15; -12; -9; -6; -3; 0; 3; 6; 9; 12; 15; …\}.$

Vì $-12\leq x < 12$ nên ta chỉ chọn $-12; -9; -6; -3; 0; 3; 6; 9.$

Vậy $P=\{-12; -9; -6; -3; 0; 3; 6; 9\}.$

BT 9: Hãy phân tích mỗi số $15; -18$ thành tích của hai số nguyên.

+) $15=1\cdot 15$ $=3\cdot 5$ $=(-1)\cdot (-15)$ $=(-3)\cdot (-5).$

+) $-18=(-1)\cdot 18$ $=1\cdot (-18)$ $=(-2)\cdot 9$ $=2\cdot (-9)$ $(-3)\cdot 6$ $=6\cdot (-3).$

Lưu ý: Vì $a\cdot b=b\cdot a$ nên ta xem tích $ab$ và tích $ba$ là một.

BT 10: Tìm số nguyên $x,$ biết:

a) $3x-5=-7-13;$

b) $12x-64=2^5;$

c) $(-300)\;:\;20+5\cdot (3x-1)=25;$

d) $2448\;:\;[79-(x-6)]=24;$

e) $2016-100\cdot (x+31)=2^7\;:\;2^3.$

a) $3x-5=-7-13$

Ta có: $-7-13=-20$

Vậy $3x-5=-20,$ dẫn đến $3x=-20+5=-15.$

Vậy $3x=-15,$ dẫn đến $x=-15\;:\;3=-5.$

Vậy $x=-5.$

b) $12x-64=2^5$

Ta có $2^5=32.$

Vậy $12x-64=32,$ dẫn đến $12x=32+64=96.$

Vậy $12x=96,$ dẫn đến $x=96\;:\;12=8.$

Vậy $x=8.$

c) $(-300)\;:\;20+5\cdot (3x-1)=25$

Ta có: $(-300)\;:\;20=-15.$

Vậy $-15+5\cdot (3x-1)=25,$ dẫn đến $5\cdot (3x-1)=25+15=40.$

Vậy $5\cdot (3x-1)=40,$ dẫn đến $3x-1=40\;:\;5=8.$

Vậy $3x-1=8,$ dẫn đến $3x=8+1=9.$

Vậy $3x=9,$ dẫn đến $x=9\;:3\;=3.$

Vậy $x=3.$

d) $2448\;:\;[79-(x-6)]=24$ dẫn đến $79-(x-6)=2448\;:\;24=102.$

Vậy $79-(x-6)=102,$ dẫn đến $x-6=79-102=-23.$

Vậy $x-6=-23,$ dẫn đến $x=-23+6=-17.$

Vậy $x=-17.$

e) $2016-100\cdot (x+31)=2^7\;:\;2^3$

Ta có: $2^7\;:\;2^3=2^{7-3}=2^4=16.$

Vậy $2016-100\cdot (x+31)=16,$ dẫn đến $100\cdot (x+31)=2016-16=2000.$

Vậy $100\cdot (x+31)=2000,$ dẫn đến $x+31=2000\;:\;100=20.$

Vậy $x+31=20,$ dẫn đến $x=20-31=-11.$

Vậy $x=-11.$

BT 11: Tìm các số nguyên $x$ sao cho:

a) $(x-7)\cdot (2x+8)=0;$

b) $(3x+9)^2=0;$

c) $x+x+x+x=-12.$

a) $(x-7)\cdot (2x+8)=0$ dẫn đến $x-7=0$ hoặc $2x+8=0.$

+) $x-7=0$ thì $x=7.$

+) $2x+8=0$ dẫn đến $2x=-8.$ Suy ra $x=(-8)\;:\;2=-4.$

Vậy $x=7$ hoặc $x=-4.$

b) $(3x+9)^2=0$ dẫn đến $3x+9=0.$ Suy ra $3x=-9,$ hay $x=(-9)\;:\;3=-3.$

Vậy $x=-3.$

c) $x+x+x+x=-12$

Ta có $x+x+x+x=4x.$

Vậy $4x=-12,$ dẫn đến $x=-12\;:\;4=-3.$

BT 12: Tìm các số nguyên $x$ sao cho:

a) $13\;\vdots\;x;$

b) $x\;\vdots\;12;$

c) $5\;\vdots\;(x-1).$

a) $13\;\vdots\;x$ nên $x$ là ước của $13.$

Các ước dương của $13$ là $1; 13.$

Do đó, tất cả các ước của $13$ là $-13; -1; 1; 13.$

Vậy $x$ là một trong các số $-13; -1; 1; 13.$

b) $x\;\vdots\;12$ nên $x$ là bội của $12.$

Vậy $x\in\{0; \pm 12; \pm 24; \pm 36; …\}.$

c) $5\;\vdots\;(x-1)$ nên $x-1\in Ư(5)=\{\pm 1; \pm 5\}.$

+) $x-1=1$ thì $x=1+1=2.$

+) $x-1=-1$ thì $x=-1+1=0.$

+) $x-1=5$ thì $x=5+1=6.$

+) $x-1=-5$ thì $x=-5+1=-4.$

Vậy $x$ là một trong các số $2; 0; 6; -4.$

BT 13: Thực hiện phép tính:

a) $(-2)^2\cdot (2022^0+24)-123;$

b) $(-5)+18\;:\;(-2)-(-9);$

c) $5^{12}\;:\;5^{10}-360\;:\;10+2022^0.$

a) $(-2)^2\cdot (2022^0+24)-123$

Ta có: $(-2)^2=(-2)\cdot (-2)=4$ và $2022^0=1.$

Do đó: $(-2)^2\cdot (2022^0+24)-123$ $=4\cdot (1+24)-123$ $=4\cdot 25 – 123$ $=100-123$ $=-23.$

b) $(-5)+18\;:\;(-2)-(-9)$ $=(-5)+(-9)+9$ $=-5+(-9+9)$ $=-5+0$ $=-5.$

c) $5^{12}\;:\;5^{10}-360\;:\;10+2022^0$ $=5^{2}-36+1$ $=25-36+1$ $=-11+1$ $=-10.$

BT 14: Vào một ngày mùa đông ở thủ đô Paris của nước Pháp, nhiệt độ lúc 12 giờ trưa là $11^oC,$ nhiệt độ lúc 7 giờ tối là $-3^oC.$

a) Nhiệt độ đã thay đổi bao nhiêu từ 12 giờ trưa đến 7 giờ tối?

b) Biết rằng nhiệt độ thay đổi ổn định từ trưa đến tối. Hỏi mỗi giờ nhiệt độ đã thay đổi bao nhiêu độ?

c) Nhiệt độ lúc 7 giờ tối của ngày hôm sau là $-4^oC.$ So với 7 giờ tối ngày hôm trước thì nhiệt độ đã tăng hay giảm bao nhiêu độ $C?$

a) Từ 12 giờ trưa đến 7 giờ tối, lượng nhiệt thay đổi là: $(-3)-11=-14\;(^oC).$

b) Số giờ từ 12 giờ trưa đến 7 giờ tối là 7 giờ.

Vậy mỗi giờ nhiệt độ đã thay đổi số độ là: $(-14)\;:\;7=-2\;(^oC).$

(Tức là mỗi giờ nhiệt độ giảm $2^oC).$

c) Nhiệt độ lúc 7 giờ tối ngày hôm trước là $-3^oC.$

Nhiệt độ lúc 7 giờ tối ngày hôm sau là $-4^oC.$

Số độ thay đổi đổi là: $(-4)-(-3)=-4+3=-1\;(^oC).$

Vì $-1<0$ nên nhiệt độ đã giảm và giảm $1\;^oC.$

BT 15: Một tủ cấp đông khi chưa bật tủ thì nhiệt độ bằng $22\;^oC.$ Khi bật tủ đông, nhiệt độ bên trong tủ giảm $2\;^oC$ mỗi phút. Hỏi phải mất bao lâu để tủ đông đạt $-10^oC?$

Cách 1:

Từ lúc bắt đầu bật tủ đông đến khi đạt $-10^oC,$ nhiệt độ đã thay đổi: $(-10)-22=-32\;(^oC).$

Nhiệt độ bên trong tủ giảm $2\;^oC$ mỗi phút, tức là thay đổi $-2\;^oC$ mỗi phút.

Suy ra, thời gian để tủ đông đạt $-10^oC$ là: $(-32)\;:\;(-2)=16$ (phút).

Vậy mất $16$ phút để tủ đông đạt $-10^oC.$

Cách 2:

Gọi $t$ là số phút để tủ đông đạt $-10^oC.$

Cứ sau $1$ phút thì nhiệt độ giảm $2^oC.$ Vậy sau $t$ phút thì nhiệt độ giảm $2t^oC.$

Nhiệt độ khi chưa bật tủ là $22^oC,$ vậy sau khi bật tủ được $t$ phút thì nhiệt độ bên trong tủ là $(22-2t)^oC.$

Do đó: $22-2t=-10.$

Dẫn đến $2t=22-(-10)=22+10=32.$

Suy ra $t=32\;:\;2=16.$

Vậy sau $16$ phút thì tủ đông đạt $-10^oC.$

BT 16: Điểm của Minh trong một trò chơi điện tử giảm đi $75$ điểm vì một số lần bắn trượt mục tiêu. Mỗi lần bắn trượt mục tiêu, Minh nhận được $-15$ điểm. Hỏi Minh đã bắn trượt mục tiêu mấy lần?

Giảm đi $75$ điểm có thể hiểu là được thêm $-75$ điểm.

Vậy số lần Minh bắn trượt mục tiêu là: $(-75)\;:\;(-15)=5$ (lần).

Mức độ KHÓ:

BT 17: Tìm số nguyên $x,$ biết:

a) $-112-56\;:\;x^2=-126;$

b) $2\cdot (x-7)-3\cdot (5-x)=-109.$

a) Vì $-112-56\;:\;x^2=-126$ nên $112+56\;:\;x^2=126$ (đổi dấu cả hai vế).

Dẫn đến $56\;:\;x^2=126-112=14.$

Vậy $56\;:\;x^2=14,$ dẫn đến $x^2=56\;:\;14=4.$

Vậy $x^2=4.$ Mà $4=2^2=(-2)^2.$ Nên $x=2$ hoặc $x=-2.$

b) $2\cdot (x-7)-3\cdot (5-x)=-109.$

Thu gọn vế trái: $2\cdot (x-7)-3\cdot (5-x)$ $=(2x-2\cdot 7)-(3\cdot 5-3x)$ $=(2x-14)-(15-3x)$ $=2x-14-15+3x$ $=2x+3x-14-15$ $=(2x+3x)-(14+15)$ $=5x-29.$

Vậy $5x-29=-109.$

Dẫn đến $5x=-109+29=-80.$

Vậy $5x=-80,$ dẫn đến $x=-80\;:\;5=-16.$

Vậy $x=-16.$

BT 18: Tìm số nguyên $x,$ biết:

a) $(x-1)\cdot (x^2+1)=0;$

b) $(7x-35)\;:\;(3x^2+2)=0.$

a) $(x-1)\cdot (x^2+1)=0.$

Vì $x^2\geq 0$ nên $x^2+1\geq 1 > 0$ (với số nguyên $x$ bất kỳ).

Suy ra $x-1=0.$

Dẫn đến $x=1.$

b) $(7x-35)\;:\;(3x^2+2)=0$

Vì $x^2\geq 0$ nên $3x^2\geq 0;$ do đó $3x^2+2\geq 2 > 0$ (với số nguyên $x$ bất kỳ).

Suy ra $7x-35=0.$

Nên $7x=35,$ hay $x=35\;:\;7=5.$

BT 19: Tìm $x\in\mathbb{Z}$ sao cho:

a) $3x+5$ chia hết cho $x;$

b) $4x+11$ chia hết cho $2x+3;$

c) $x^2+2x-11$ chia hết cho $x+2.$

a) Theo đề: $3x+5\;\vdots\;x$

Mà ta luôn có: $3x\;\vdots\;x$

Suy ra $(3x+5)-3x\;\vdots\;x,$ hay $5\;\vdots\;x.$

Do đó $x\in Ư(5)=\{\pm 1; \pm 5\}.$

Thử lại, ta nhận tất cả các giá trị vừa kể.

Vậy có bốn giá trị $x$ thỏa mãn đề bài là $\pm 1; \pm 5.$

b) Theo đề: $4x+11\;\vdots\;2x+3.$

Mà ta luôn có: $2\cdot (2x+3)\;\vdots\;2x+3,$ tức là $4x+6\;\vdots\;2x+3.$

Suy ra: $(4x+11)-(4x+6)\;\vdots\;2x+3,$ hay $5\;\vdots\;2x+3.$

Do đó $2x+3\;\in\{\pm 1; \pm 5\}.$

Thử lại:

+) Nếu $2x+3=1$ thì $x=-1.$

Khi đó $4x+11=7,$ và ta có $4x+11\;\vdots\;2x+3$ (vì $7\;\vdots\;1)$ nên ta nhận $x=-1.$

+) Nếu $2x+3=-1$ thì $x=-2.$

Khi đó $4x+11=3,$ và ta có $4x+11\;\vdots\;2x+3$ (vì $3\;\vdots\;-1)$ nên ta nhận $x=-2.$

+) Nếu $2x+3=5$ thì $x=1.$

Khi đó $4x+11=15,$ và ta có $4x+11\;\vdots\;2x+3$ (vì $15\;\vdots\;5)$ nên ta nhận $x=1.$

+) Nếu $2x+3=-5$ thì $x=-4.$

Khi đó $4x+11=-5,$ và ta có $4x+11\;\vdots\;2x+3)$ (vì $-5\;\vdots\;-5)$ nên ta nhận $x=-4.$

Kết luận:

Vậy các giá trị $x$ cần tìm là $-1; -2; 1; -4.$

c) Theo đề: $x^2+2x-11\;\vdots\;x+2.$

Mà ta luôn có: $x(x+2)\;\vdots\;x+2,$ tức là $x^2+2x\;\vdots\;x+2.$

Suy ra: $(x^2+2x)-(x^2+2x-11)\;\vdots\;x+2,$ hay $11\;\vdots\;x+2.$

Do đó $x+2\in Ư(11)=\{\pm 1; \pm 11\}.$

Thử lại:

+) Nếu $x+2=1$ thì $x=-1.$

Khi đó, $x^2+2x-11=-12,$ và ta có $x^2+2x-11\;\vdots\;x+2$ nên ta nhận $x=-1.$

+) Nếu $x+2=-1$ thì $x=-3.$

Khi đó, $x^2+2x-11=-8,$ và ta có $x^2+2x-11\;\vdots\;x+2$ nên ta nhận $x=-3.$

+) Nếu $x+2=11$ thì $x=9.$

Khi đó, $x^2+2x-11=88,$ và ta có $x^2+2x-11\;\vdots\;x+2$ nên ta nhận $x=9.$

+) Nếu $x+2=-11$ thì $x=-13.$

Khi đó, $x^2+2x-11=132,$ và ta có $x^2+2x-11\;\not{\vdots}\;x+2$ nên ta loại $x=-13.$

Kết luận:

Vậy các giá trị $x$ cần tìm là $-1; -3; 9.$

BT 20: Tìm số nguyên $x,$ biết:

a) $2x+3$ là bội của $x;$

b) $2x-1$ là ước của $8x+4;$

c) $x^2-5x+7$ là bội của $x-5.$

a) $2x+3$ là bội của $x$ nên $2x+3\;\vdots\;x.$

Mà ta luôn có: $2x\;\vdots\;x.$

Suy ra: $(2x+3)-2x\;\vdots\;x,$ hay $3\;\vdots\;x.$

Do đó $x\in Ư(3)=\{\pm 1; \pm 3\}.$

Thử lại, ta nhận tất cả các giá trị vừa kể.

Vậy có bốn giá trị $x$ cần tìm là $\pm 1; \pm 3.$

b) $2x-1$ là ước của $8x+4$ nên $8x+4\;\vdots\;2x-1.$

Mà ta luôn có: $4(2x-1)\;\vdots\;2x-1,$ hay $8x-4\;\vdots\;2x-1.$

Suy ra $(8x+4)-(8x-4)\;\vdots\;2x-1,$ hay $8\;\vdots\;2x-1.$

Do đó $2x-1\in Ư(8)=\{\pm 1; \pm 2; \pm 4; \pm 8\}.$

Tuy nhiên, để ý rằng $2x-1$ là số lẻ nên ta loại các giá trị $\pm 2; \pm 4; \pm 8.$

Vậy $2x-1=1$ hoặc $2x-1=-1.$

Thử lại:

+) Nếu $2x-1=1$ thì $x=1.$

Khi đó $8x+4=12,$ và ta có $8x+4\;\vdots\;2x-1,$ nên ta nhận $x=1.$

+) Nếu $2x-1=-1$ thì $x=0.$

Khi đó $8x+4=4,$ và ta có $8x+4\;\vdots\;2x-1,$ nên ta nhận $x=0.$

Kết luận:

Các giá trị $x$ cần tìm là $1$ và $0.$

c) $x^2-5x+7$ là bội của $x-5$ nên $x^2-5x+7\;\vdots\;x-5.$

Mà ta luôn có: $x(x-5)\;\vdots\;x-5,$ hay $x^2-5x\;\vdots\;x-5.$

Suy ra: $(x^2-5x+7)-(x^2-5x)\;\vdots\;x-5,$ hay $7\;\vdots\;x-5.$

Do đó $x-5\in Ư(7)=\{\pm 1; \pm 7\}.$

Thử lại:

+) Nếu $x-5=1$ thì $x=6.$

Khi đó, $x^2-5x+7=13,$ và ta có $x^2-5x+7\;\vdots\;x-5,$ nên ta nhận $x=6.$

+) Nếu $x-5=-1$ thì $x=4.$

Khi đó, $x^2-5x+7=3,$ và ta có $x^2-5x+7\;\vdots\;x-5,$ nên ta nhận $x=4.$

+) Nếu $x-5=7$ thì $x=12.$

Khi đó, $x^2-5x+7=91,$ và ta có $x^2-5x+7\;\vdots\;x-5,$ nên ta nhận $x=12.$

+) Nếu $x-5=-7$ thì $x=-2.$

Khi đó, $x^2-5x+7=21,$ và ta có $x^2-5x+7\;\vdots\;x-5,$ nên ta nhận $x=-2.$

Kết luận:

Vậy các giá trị $x$ cần tìm là $6; 4; 12; -2.$

BT 21: Chứng minh rằng $(x-4)\cdot (x+2)+6$ không là bội của $9$ với mọi số nguyên $x.$

Cách 1:

Số nguyên $x$ có một trong ba dạng: $x=3k;$ $x=3k+1;$ $x=3k+2.$

+) Nếu $x=3k$ thì $(x-4)\cdot (x+2)+6=(3k-4)(3k+2)+6$ không là bội của $3$ nên cũng không là bội của $9.$

+) Nếu $x=3k+1$ thì $(x-4)\cdot (x+2)+6=(3k-3)(3k+3)+6=9\cdot (k-1)(k+1)+6$ không là bội của $9.$

+) Nếu $x=3k+2$ thì $(x-4)\cdot (x+2)+6=(3k-2)(3k+4)+6$ không là bội của $3$ nên cũng không là bội của $9.$

Vậy $(x-4)\cdot (x+2)+6$ không là bội của $9$ với mọi số nguyên $x.$

Cách 2:

Giả sử tồn tại một số nguyên $x$ sao cho $(x-4)\cdot (x+2)+6$ là bội của $9.$

Ta đi tìm điều vô lý.

Vì $(x-4)\cdot (x+2)+6$ là bội của $9$ nên $(x-4)\cdot (x+2)+6\;\vdots\;9.$

Mà $9\;\vdots\;3$ nên $(x-4)\cdot (x+2)+6\;\vdots\;3.$

Do $6\;\vdots\;3$ nên $(x-4)\cdot (x+2)\;\vdots\;3.$

Suy ra $x-4\;\vdots\;3$ hoặc $x+2\;\vdots\;3.$

+) Nếu $x-4\;\vdots\;3$ thì có một số nguyên $k$ để cho $x-4=3k,$ hay $x=3k+4.$

Khi đó, $(x-4)\cdot (x+2)+6$ $=3k(3k+6)+6$ $=9\cdot k(k+2)+6$ chia $9$ dư $6$ nên không là bội của $9.$ Mâu thuẫn với điều ta đã giả sử. Vô lý!

+) Nếu $x+2\;\vdots\;3$ thì có một số nguyên $k$ để cho $x+2=3k,$ hay $x=3k-2.$

Khi đó, $(x-4)\cdot (x+2)+6$ $=(3k-6)3k+6$ $=9\cdot (k-2)k+6$ chia cho $9$ dư $6$ nên không là bội của $9.$ Mâu thuẫn với điều ta đã giả sử. Vô lý!

Vậy $(x-4)\cdot (x+2)+6$ không là bội của $9$ với mọi số nguyên $x.$

BT 22: Tìm các cặp số nguyên $x, y$ sao cho:

a) $(x+2)(y-3)=5;$

b) $(8-x)(4y+1)=20;$

c) $(x+1)(xy-1)=3;$

d) $xy+2x+y=1.$

a) $(x+2)(y-3)=5$ nên $5\;\vdots\;x+2.$

Suy ra $x+2\in Ư(5)=\{\pm 1; \pm 5\}.$

+) Nếu $x+2=1$ thì $y-3=5.$ Khi đó, $x=-1$ và $y=8.$

+) Nếu $x+2=-1$ thì $y-3=-5.$ Khi đó, $x=-3$ và $y=-2.$

+) Nếu $x+2=5$ thì $y-3=1.$ Khi đó, $x=3$ và $y=4.$

+) Nếu $x+2=-5$ thì $y-3=-1.$ Khi đó, $x=-7$ và $y=2.$

Vậy các cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn yêu cầu là $(-1; 8),$ $(-3; 2),$ $(3; 4),$ $(-7; 2).$

b) $(8-x)(4y+1)=20$ nên $20\;\vdots\;4y+1.$

Suy ra $4y+1\in Ư(20)=\{\pm 1; \pm 2; \pm 4; \pm 5; \pm 10; \pm 20\}.$

Tuy nhiên, để ý rằng $4y+1$ chia $4$ dư $1,$ nên $4y+1=1$ hoặc $4y+1=5.$

+) Nếu $4y+1=1$ thì $8-x=20.$ Khi đó, $x=-12$ và $y=0.$

+) Nếu $4y+1=5$ thì $8-x=4.$ Khi đó $x=4$ và $y=1.$

Vậy các cặp số nguyên $(x; y) thỏa mãn yêu cầu là $(-12; 0),$ $(4; 1).$

c) $(x+1)(xy-1)=3$ nên $3\;\vdots\;x+1.$

Suy ra $x+1\in Ư(3)=\{\pm 1; \pm 3\}.$

+) Nếu $x+1=1$ thì $x=0.$ Khi đó, $(x+1)(xy-1)=-1\neq 3$ nên ta loại trường hợp này.

+) Nếu $x+1=-1$ thì $x=-2.$ Khi đó, từ $xy-1=3\;:\;(x+1)$ suy ra $-2y-1=-3.$ Do đó, $y=1.$

+) Nếu $x+1=3$ thì $x=2.$ Khi đó, từ $xy-1=3\;:\;(x+1)$ suy ra $2y-1=1.$ Do đó $y=1.$

+) Nếu $x+1=-3$ thì $x=-4.$ Khi đó, từ $xy-1=3\;:\;(x+1)$ suy ra $-4y-1=-1.$ Do đó $y=0.$

Vậy các cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu là $(-2; 1),$ $(2; 1),$ $(-4; 0).$

d) $xy+2x+y=1$

Ta có $xy+2x+y$ $=x(y+2)+(y+2)-2$ $=(y+2)(x+1)-2.$

Vậy $(y+2)(x+1)-2=1,$ hay $(y+2)(x+1)=3.$

Suy ra $3\;\vdots\;x+1.$

Do đó $x+1\; Ư(3)=\{\pm 1; \pm 3\}.$

+) Nếu $x+1=1$ thì $y+2=3.$ Khi đó, $x=0$ và $y=1.$

+) Nếu $x+1=-1$ thì $y+2=-3.$ Khi đó $x=-2$ và $y=-5.$

+) Nếu $x+1=3$ thì $y+2=1.$ Khi đó $x=2$ và $y=-1.$

+) Nếu $x+1=-3$ thì $y+2=-1.$ Khi đó $x=-4$ và $y=-3.$

Vậy các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn yêu cầu là $(0; 1),$ $(-2; -5),$ $(2; -1),$ $(-4; -3).$

BT 23: Tìm hai số nguyên sao cho tổng của chúng và tích của chúng là hai số đối nhau.

Gọi hai số nguyên phải tìm là $a$ và $b.$

Ta có: $ab=-(a+b)$

Do đó: $ab+a=-b,$ hay $a(b+1)=-b.$ (1)

Suy ra: $b\;\vdots\;b+1.$

Ta lại có $b+1\;\vdots\;b+1.$

Suy ra $(b+1)-b\;\vdots\;b+1,$ hay $1\;\vdots\;b+1.$

Suy ra $b+1=1$ hoặc $b+1=-1.$

+) Nếu $b+1=1$ thì $b=0.$ Thay vào (1), ta suy ra $a=0.$

+) Nếu $b+1=-1$ thì $b=-2.$ Thay vào (1), ta suy ra $a=-2.$

Vậy $a=0, b=0;$ hoặc $a=-2, b=-2.$

BT 24: Cho $a, b$ là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu $6a+11b$ chia hết cho $31$ thì $a+7b$ cũng chia hết cho $31.$ Điều ngược lại có đúng không?

Chứng minh $a+7b\;\vdots\;31.$

Ta có: $6a+11b=6(a+7b)-6\cdot 7b+11b=6(a+7b)-31b.$

Suy ra $6(a+7b)=(6a+11b)+31b.$

Mặt khác: $6a+11b\;\vdots\;31$ (theo đề) và $31b\;\vdots\;31.$

Do đó, $(6a+11b)+31b\;\vdots\;31,$ hay $6(a+7b)\;\vdots\;31.$

Mà $ƯCLN(6,31)=1$ nên $a+7b\;\vdots\;31.$

Xét điều ngược lại:

Giả sử $a+7b\;\vdots\;31.$

Suy ra $6(a+7b)-31b\;\vdots\;31.$

Tức là $6a+11b\;\vdots\;31.$

Vậy điều ngược lại cũng đúng.

Chia sẻ nếu thấy hay:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Website này sử dụng Akismet để hạn chế spam. Tìm hiểu bình luận của bạn được duyệt như thế nào.