Các bài tập sau đây phù hợp với cả ba bộ sách của chương trình Toán lớp 6 mới: CÁNH DIỀU, CHÂN TRỜI SÁNG TẠO, KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG.
Mức độ DỄ:
BT 1: Tính:
a) $192\;:\;(-3);$
b) $(-450)\;:\;(-90);$
c) $(-725)\;:\;25;$
d) $(-350)\;:\;(+14).$
a) $192\;:\;(-3)$ $=-(192\;:\;3)$ $=-64.$
b) $(-450)\;:\;(-90)$ $=450\;:\;90=5.$
c) $(-725)\;:\;25$ $=-(725\;:\;25)$ $=-29.$
d) $(-350)\;:\;(+14)$ $=-(350\;:\;14)$ $=-25.$
BT 2: Thực hiện phép tính:
a) $(70-85)\;:\;5+7;$
b) $(-5)\cdot (-4)-135\;:\;(-45).$
a) $(70-85)\;:\;5+7$ $=(-15)\;:\;5+7$ $=-3+7$ $=4.$
b) $(-5)\cdot (-4)-135\;:\;(-45)$ $=20-(-3)$ $=20+3$ $=23.$
BT 3: Tìm số nguyên $x,$ biết:
a) $2x=-4;$
b) $-7x=28;$
c) $-15x=-45;$
d) $-2x-10=4;$
e) $100\;:\;(x-7)=2.$
a) $2x=-4$ dẫn đến $x=(-4)\;:\;2=-2.$
Vậy $x=-2.$
b) $-7x=28$ dẫn đến $x=28\;:\;(-7)=-4.$
Vậy $x=-4.$
c) $-15x=-45$ dẫn đến $x=(-45)\;:\;(-15)=3.$
Vậy $x=3.$
d) $-2x-10=4$ dẫn đến $-2x=4+10=14.$
Vậy $-2x=14.$ Dẫn đến $x=14\;:\;(-2)=-7.$
Vậy $x=-7.$
e) $100\;:\;(x-7)=2$ dẫn đến $x-7=100\;:\;2=50.$
Vậy $x-7=50,$ dẫn đến $x=50+7=57.$
Vậy $x=57.$
BT 4: Tìm các ước của $35$ và các ước của $-24.$
Các ước dương của $35$ là $1;$ $5;$ $7;$ $35.$ Suy ra tất cả các ước (nguyên) của $35$ là $-35;$ $-7;$ $-5;$ $-1;$ $1;$ $5;$ $7;$ $35.$
Các ước dương của $24$ là $1;$ $2;$ $3;$ $4;$ $6;$ $8;$ $12;$ $24.$ Suy ra tất cả các ước (nguyên) của $-24$ là $-24;$ $-12;$ $-8;$ $-6;$ $-4;$ $-3;$ $-2;$ $-1;$ $1;$ $2;$ $3;$ $4;$ $6;$ $8;$ $12;$ $24.$
Mức độ TRUNG BÌNH:
BT 5: Tìm các bội khác $0$ của $6,$ lớn hơn $-36$ và nhỏ hơn $20.$
Cách 1:
Các bội của $6$ là $…;-42;$ $-36;$ $-30;$ $-24;$ $-18;$ $-12;$ $-6;$ $0;$ $6;$ $12;$ $18;$ $24;…$
Vậy các bội khác $0$ của $6,$ lớn hơn $-36$ và nhỏ hơn $20$ là $-30;$ $-24;$ $-18;$ $-12;$ $-6;$ $6;$ $12;$ $18.$
Cách 2:
Các bội của $6$ có dạng $x=6k$ (với $k\in\mathbb{Z}).$
Cần tìm các bội khác $0$ nên $x\neq 0,$ hay $k\neq 0.$ (1)
Các bội cần tìm lớn hơn $-36$ và nhỏ hơn $20$ nên $-36< x < 20,$ hay $-36 < 6k < 20.$
Suy ra $-6 < k\leq 3.$ (2)
Từ (1) và (2) ta có $k$ bằng một trong các số $-5; -4; -3; -2; -1; 1; 2; 3.$
Tương ứng, các số $x$ cần tìm là $-30;$ $-24;$ $-18;$ $-12;$ $-6;$ $6;$ $12;$ $18.$
BT 6: Cho $a$ là một số nguyên dương và $b$ là một số nguyên âm. Nếu $a\;\vdots\;b,$ hãy so sánh thương $a\;:\;b$ với $0.$
Vì $a$ và $b$ trái dấu nên thương $a\;:\;b$ là số âm, tức là $a\;:\;b < 0.$
BT 7: Nếu số nguyên $a$ là bội của số nguyên $b$ thì có thể kết luận rằng $a > b$ không? Nếu không, hãy cho ví dụ minh họa.
KHÔNG.
Chẳng hạn: $-6$ là bội của $2$ nhưng $-6 < 2.$
BT 8: Liệt kê các phần tử của tập hợp sau: $P=\{x\in\mathbb{Z}\;|\;x\;\vdots\;3\;và \;-12\leq x < 12\}.$
$x\;\vdots\;3$ nên $x$ là bội của $3.$ Vậy $x\in\{…; -15; -12; -9; -6; -3; 0; 3; 6; 9; 12; 15; …\}.$
Vì $-12\leq x < 12$ nên ta chỉ chọn $-12; -9; -6; -3; 0; 3; 6; 9.$
Vậy $P=\{-12; -9; -6; -3; 0; 3; 6; 9\}.$
BT 9: Hãy phân tích mỗi số $15; -18$ thành tích của hai số nguyên.
+) $15=1\cdot 15$ $=3\cdot 5$ $=(-1)\cdot (-15)$ $=(-3)\cdot (-5).$
+) $-18=(-1)\cdot 18$ $=1\cdot (-18)$ $=(-2)\cdot 9$ $=2\cdot (-9)$ $(-3)\cdot 6$ $=6\cdot (-3).$
Lưu ý: Vì $a\cdot b=b\cdot a$ nên ta xem tích $ab$ và tích $ba$ là một.
BT 10: Tìm số nguyên $x,$ biết:
a) $3x-5=-7-13;$
b) $12x-64=2^5;$
c) $(-300)\;:\;20+5\cdot (3x-1)=25;$
d) $2448\;:\;[79-(x-6)]=24;$
e) $2016-100\cdot (x+31)=2^7\;:\;2^3.$
a) $3x-5=-7-13$
Ta có: $-7-13=-20$
Vậy $3x-5=-20,$ dẫn đến $3x=-20+5=-15.$
Vậy $3x=-15,$ dẫn đến $x=-15\;:\;3=-5.$
Vậy $x=-5.$
b) $12x-64=2^5$
Ta có $2^5=32.$
Vậy $12x-64=32,$ dẫn đến $12x=32+64=96.$
Vậy $12x=96,$ dẫn đến $x=96\;:\;12=8.$
Vậy $x=8.$
c) $(-300)\;:\;20+5\cdot (3x-1)=25$
Ta có: $(-300)\;:\;20=-15.$
Vậy $-15+5\cdot (3x-1)=25,$ dẫn đến $5\cdot (3x-1)=25+15=40.$
Vậy $5\cdot (3x-1)=40,$ dẫn đến $3x-1=40\;:\;5=8.$
Vậy $3x-1=8,$ dẫn đến $3x=8+1=9.$
Vậy $3x=9,$ dẫn đến $x=9\;:3\;=3.$
Vậy $x=3.$
d) $2448\;:\;[79-(x-6)]=24$ dẫn đến $79-(x-6)=2448\;:\;24=102.$
Vậy $79-(x-6)=102,$ dẫn đến $x-6=79-102=-23.$
Vậy $x-6=-23,$ dẫn đến $x=-23+6=-17.$
Vậy $x=-17.$
e) $2016-100\cdot (x+31)=2^7\;:\;2^3$
Ta có: $2^7\;:\;2^3=2^{7-3}=2^4=16.$
Vậy $2016-100\cdot (x+31)=16,$ dẫn đến $100\cdot (x+31)=2016-16=2000.$
Vậy $100\cdot (x+31)=2000,$ dẫn đến $x+31=2000\;:\;100=20.$
Vậy $x+31=20,$ dẫn đến $x=20-31=-11.$
Vậy $x=-11.$
BT 11: Tìm các số nguyên $x$ sao cho:
a) $(x-7)\cdot (2x+8)=0;$
b) $(3x+9)^2=0;$
c) $x+x+x+x=-12.$
a) $(x-7)\cdot (2x+8)=0$ dẫn đến $x-7=0$ hoặc $2x+8=0.$
+) $x-7=0$ thì $x=7.$
+) $2x+8=0$ dẫn đến $2x=-8.$ Suy ra $x=(-8)\;:\;2=-4.$
Vậy $x=7$ hoặc $x=-4.$
b) $(3x+9)^2=0$ dẫn đến $3x+9=0.$ Suy ra $3x=-9,$ hay $x=(-9)\;:\;3=-3.$
Vậy $x=-3.$
c) $x+x+x+x=-12$
Ta có $x+x+x+x=4x.$
Vậy $4x=-12,$ dẫn đến $x=-12\;:\;4=-3.$
BT 12: Tìm các số nguyên $x$ sao cho:
a) $13\;\vdots\;x;$
b) $x\;\vdots\;12;$
c) $5\;\vdots\;(x-1).$
a) $13\;\vdots\;x$ nên $x$ là ước của $13.$
Các ước dương của $13$ là $1; 13.$
Do đó, tất cả các ước của $13$ là $-13; -1; 1; 13.$
Vậy $x$ là một trong các số $-13; -1; 1; 13.$
b) $x\;\vdots\;12$ nên $x$ là bội của $12.$
Vậy $x\in\{0; \pm 12; \pm 24; \pm 36; …\}.$
c) $5\;\vdots\;(x-1)$ nên $x-1\in Ư(5)=\{\pm 1; \pm 5\}.$
+) $x-1=1$ thì $x=1+1=2.$
+) $x-1=-1$ thì $x=-1+1=0.$
+) $x-1=5$ thì $x=5+1=6.$
+) $x-1=-5$ thì $x=-5+1=-4.$
Vậy $x$ là một trong các số $2; 0; 6; -4.$
BT 13: Thực hiện phép tính:
a) $(-2)^2\cdot (2022^0+24)-123;$
b) $(-5)+18\;:\;(-2)-(-9);$
c) $5^{12}\;:\;5^{10}-360\;:\;10+2022^0.$
a) $(-2)^2\cdot (2022^0+24)-123$
Ta có: $(-2)^2=(-2)\cdot (-2)=4$ và $2022^0=1.$
Do đó: $(-2)^2\cdot (2022^0+24)-123$ $=4\cdot (1+24)-123$ $=4\cdot 25 – 123$ $=100-123$ $=-23.$
b) $(-5)+18\;:\;(-2)-(-9)$ $=(-5)+(-9)+9$ $=-5+(-9+9)$ $=-5+0$ $=-5.$
c) $5^{12}\;:\;5^{10}-360\;:\;10+2022^0$ $=5^{2}-36+1$ $=25-36+1$ $=-11+1$ $=-10.$
BT 14: Vào một ngày mùa đông ở thủ đô Paris của nước Pháp, nhiệt độ lúc 12 giờ trưa là $11^oC,$ nhiệt độ lúc 7 giờ tối là $-3^oC.$
a) Nhiệt độ đã thay đổi bao nhiêu từ 12 giờ trưa đến 7 giờ tối?
b) Biết rằng nhiệt độ thay đổi ổn định từ trưa đến tối. Hỏi mỗi giờ nhiệt độ đã thay đổi bao nhiêu độ?
c) Nhiệt độ lúc 7 giờ tối của ngày hôm sau là $-4^oC.$ So với 7 giờ tối ngày hôm trước thì nhiệt độ đã tăng hay giảm bao nhiêu độ $C?$
a) Từ 12 giờ trưa đến 7 giờ tối, lượng nhiệt thay đổi là: $(-3)-11=-14\;(^oC).$
b) Số giờ từ 12 giờ trưa đến 7 giờ tối là 7 giờ.
Vậy mỗi giờ nhiệt độ đã thay đổi số độ là: $(-14)\;:\;7=-2\;(^oC).$
(Tức là mỗi giờ nhiệt độ giảm $2^oC).$
c) Nhiệt độ lúc 7 giờ tối ngày hôm trước là $-3^oC.$
Nhiệt độ lúc 7 giờ tối ngày hôm sau là $-4^oC.$
Số độ thay đổi đổi là: $(-4)-(-3)=-4+3=-1\;(^oC).$
Vì $-1<0$ nên nhiệt độ đã giảm và giảm $1\;^oC.$
BT 15: Một tủ cấp đông khi chưa bật tủ thì nhiệt độ bằng $22\;^oC.$ Khi bật tủ đông, nhiệt độ bên trong tủ giảm $2\;^oC$ mỗi phút. Hỏi phải mất bao lâu để tủ đông đạt $-10^oC?$
Cách 1:
Từ lúc bắt đầu bật tủ đông đến khi đạt $-10^oC,$ nhiệt độ đã thay đổi: $(-10)-22=-32\;(^oC).$
Nhiệt độ bên trong tủ giảm $2\;^oC$ mỗi phút, tức là thay đổi $-2\;^oC$ mỗi phút.
Suy ra, thời gian để tủ đông đạt $-10^oC$ là: $(-32)\;:\;(-2)=16$ (phút).
Vậy mất $16$ phút để tủ đông đạt $-10^oC.$
Cách 2:
Gọi $t$ là số phút để tủ đông đạt $-10^oC.$
Cứ sau $1$ phút thì nhiệt độ giảm $2^oC.$ Vậy sau $t$ phút thì nhiệt độ giảm $2t^oC.$
Nhiệt độ khi chưa bật tủ là $22^oC,$ vậy sau khi bật tủ được $t$ phút thì nhiệt độ bên trong tủ là $(22-2t)^oC.$
Do đó: $22-2t=-10.$
Dẫn đến $2t=22-(-10)=22+10=32.$
Suy ra $t=32\;:\;2=16.$
Vậy sau $16$ phút thì tủ đông đạt $-10^oC.$
BT 16: Điểm của Minh trong một trò chơi điện tử giảm đi $75$ điểm vì một số lần bắn trượt mục tiêu. Mỗi lần bắn trượt mục tiêu, Minh nhận được $-15$ điểm. Hỏi Minh đã bắn trượt mục tiêu mấy lần?
Giảm đi $75$ điểm có thể hiểu là được thêm $-75$ điểm.
Vậy số lần Minh bắn trượt mục tiêu là: $(-75)\;:\;(-15)=5$ (lần).
Mức độ KHÓ:
BT 17: Tìm số nguyên $x,$ biết:
a) $-112-56\;:\;x^2=-126;$
b) $2\cdot (x-7)-3\cdot (5-x)=-109.$
a) Vì $-112-56\;:\;x^2=-126$ nên $112+56\;:\;x^2=126$ (đổi dấu cả hai vế).
Dẫn đến $56\;:\;x^2=126-112=14.$
Vậy $56\;:\;x^2=14,$ dẫn đến $x^2=56\;:\;14=4.$
Vậy $x^2=4.$ Mà $4=2^2=(-2)^2.$ Nên $x=2$ hoặc $x=-2.$
b) $2\cdot (x-7)-3\cdot (5-x)=-109.$
Thu gọn vế trái: $2\cdot (x-7)-3\cdot (5-x)$ $=(2x-2\cdot 7)-(3\cdot 5-3x)$ $=(2x-14)-(15-3x)$ $=2x-14-15+3x$ $=2x+3x-14-15$ $=(2x+3x)-(14+15)$ $=5x-29.$
Vậy $5x-29=-109.$
Dẫn đến $5x=-109+29=-80.$
Vậy $5x=-80,$ dẫn đến $x=-80\;:\;5=-16.$
Vậy $x=-16.$
BT 18: Tìm số nguyên $x,$ biết:
a) $(x-1)\cdot (x^2+1)=0;$
b) $(7x-35)\;:\;(3x^2+2)=0.$
a) $(x-1)\cdot (x^2+1)=0.$
Vì $x^2\geq 0$ nên $x^2+1\geq 1 > 0$ (với số nguyên $x$ bất kỳ).
Suy ra $x-1=0.$
Dẫn đến $x=1.$
b) $(7x-35)\;:\;(3x^2+2)=0$
Vì $x^2\geq 0$ nên $3x^2\geq 0;$ do đó $3x^2+2\geq 2 > 0$ (với số nguyên $x$ bất kỳ).
Suy ra $7x-35=0.$
Nên $7x=35,$ hay $x=35\;:\;7=5.$
BT 19: Tìm $x\in\mathbb{Z}$ sao cho:
a) $3x+5$ chia hết cho $x;$
b) $4x+11$ chia hết cho $2x+3;$
c) $x^2+2x-11$ chia hết cho $x+2.$
a) Theo đề: $3x+5\;\vdots\;x$
Mà ta luôn có: $3x\;\vdots\;x$
Suy ra $(3x+5)-3x\;\vdots\;x,$ hay $5\;\vdots\;x.$
Do đó $x\in Ư(5)=\{\pm 1; \pm 5\}.$
Thử lại, ta nhận tất cả các giá trị vừa kể.
Vậy có bốn giá trị $x$ thỏa mãn đề bài là $\pm 1; \pm 5.$
b) Theo đề: $4x+11\;\vdots\;2x+3.$
Mà ta luôn có: $2\cdot (2x+3)\;\vdots\;2x+3,$ tức là $4x+6\;\vdots\;2x+3.$
Suy ra: $(4x+11)-(4x+6)\;\vdots\;2x+3,$ hay $5\;\vdots\;2x+3.$
Do đó $2x+3\;\in\{\pm 1; \pm 5\}.$
Thử lại:
+) Nếu $2x+3=1$ thì $x=-1.$
Khi đó $4x+11=7,$ và ta có $4x+11\;\vdots\;2x+3$ (vì $7\;\vdots\;1)$ nên ta nhận $x=-1.$
+) Nếu $2x+3=-1$ thì $x=-2.$
Khi đó $4x+11=3,$ và ta có $4x+11\;\vdots\;2x+3$ (vì $3\;\vdots\;-1)$ nên ta nhận $x=-2.$
+) Nếu $2x+3=5$ thì $x=1.$
Khi đó $4x+11=15,$ và ta có $4x+11\;\vdots\;2x+3$ (vì $15\;\vdots\;5)$ nên ta nhận $x=1.$
+) Nếu $2x+3=-5$ thì $x=-4.$
Khi đó $4x+11=-5,$ và ta có $4x+11\;\vdots\;2x+3)$ (vì $-5\;\vdots\;-5)$ nên ta nhận $x=-4.$
Kết luận:
Vậy các giá trị $x$ cần tìm là $-1; -2; 1; -4.$
c) Theo đề: $x^2+2x-11\;\vdots\;x+2.$
Mà ta luôn có: $x(x+2)\;\vdots\;x+2,$ tức là $x^2+2x\;\vdots\;x+2.$
Suy ra: $(x^2+2x)-(x^2+2x-11)\;\vdots\;x+2,$ hay $11\;\vdots\;x+2.$
Do đó $x+2\in Ư(11)=\{\pm 1; \pm 11\}.$
Thử lại:
+) Nếu $x+2=1$ thì $x=-1.$
Khi đó, $x^2+2x-11=-12,$ và ta có $x^2+2x-11\;\vdots\;x+2$ nên ta nhận $x=-1.$
+) Nếu $x+2=-1$ thì $x=-3.$
Khi đó, $x^2+2x-11=-8,$ và ta có $x^2+2x-11\;\vdots\;x+2$ nên ta nhận $x=-3.$
+) Nếu $x+2=11$ thì $x=9.$
Khi đó, $x^2+2x-11=88,$ và ta có $x^2+2x-11\;\vdots\;x+2$ nên ta nhận $x=9.$
+) Nếu $x+2=-11$ thì $x=-13.$
Khi đó, $x^2+2x-11=132,$ và ta có $x^2+2x-11\;\not{\vdots}\;x+2$ nên ta loại $x=-13.$
Kết luận:
Vậy các giá trị $x$ cần tìm là $-1; -3; 9.$
BT 20: Tìm số nguyên $x,$ biết:
a) $2x+3$ là bội của $x;$
b) $2x-1$ là ước của $8x+4;$
c) $x^2-5x+7$ là bội của $x-5.$
a) $2x+3$ là bội của $x$ nên $2x+3\;\vdots\;x.$
Mà ta luôn có: $2x\;\vdots\;x.$
Suy ra: $(2x+3)-2x\;\vdots\;x,$ hay $3\;\vdots\;x.$
Do đó $x\in Ư(3)=\{\pm 1; \pm 3\}.$
Thử lại, ta nhận tất cả các giá trị vừa kể.
Vậy có bốn giá trị $x$ cần tìm là $\pm 1; \pm 3.$
b) $2x-1$ là ước của $8x+4$ nên $8x+4\;\vdots\;2x-1.$
Mà ta luôn có: $4(2x-1)\;\vdots\;2x-1,$ hay $8x-4\;\vdots\;2x-1.$
Suy ra $(8x+4)-(8x-4)\;\vdots\;2x-1,$ hay $8\;\vdots\;2x-1.$
Do đó $2x-1\in Ư(8)=\{\pm 1; \pm 2; \pm 4; \pm 8\}.$
Tuy nhiên, để ý rằng $2x-1$ là số lẻ nên ta loại các giá trị $\pm 2; \pm 4; \pm 8.$
Vậy $2x-1=1$ hoặc $2x-1=-1.$
Thử lại:
+) Nếu $2x-1=1$ thì $x=1.$
Khi đó $8x+4=12,$ và ta có $8x+4\;\vdots\;2x-1,$ nên ta nhận $x=1.$
+) Nếu $2x-1=-1$ thì $x=0.$
Khi đó $8x+4=4,$ và ta có $8x+4\;\vdots\;2x-1,$ nên ta nhận $x=0.$
Kết luận:
Các giá trị $x$ cần tìm là $1$ và $0.$
c) $x^2-5x+7$ là bội của $x-5$ nên $x^2-5x+7\;\vdots\;x-5.$
Mà ta luôn có: $x(x-5)\;\vdots\;x-5,$ hay $x^2-5x\;\vdots\;x-5.$
Suy ra: $(x^2-5x+7)-(x^2-5x)\;\vdots\;x-5,$ hay $7\;\vdots\;x-5.$
Do đó $x-5\in Ư(7)=\{\pm 1; \pm 7\}.$
Thử lại:
+) Nếu $x-5=1$ thì $x=6.$
Khi đó, $x^2-5x+7=13,$ và ta có $x^2-5x+7\;\vdots\;x-5,$ nên ta nhận $x=6.$
+) Nếu $x-5=-1$ thì $x=4.$
Khi đó, $x^2-5x+7=3,$ và ta có $x^2-5x+7\;\vdots\;x-5,$ nên ta nhận $x=4.$
+) Nếu $x-5=7$ thì $x=12.$
Khi đó, $x^2-5x+7=91,$ và ta có $x^2-5x+7\;\vdots\;x-5,$ nên ta nhận $x=12.$
+) Nếu $x-5=-7$ thì $x=-2.$
Khi đó, $x^2-5x+7=21,$ và ta có $x^2-5x+7\;\vdots\;x-5,$ nên ta nhận $x=-2.$
Kết luận:
Vậy các giá trị $x$ cần tìm là $6; 4; 12; -2.$
BT 21: Chứng minh rằng $(x-4)\cdot (x+2)+6$ không là bội của $9$ với mọi số nguyên $x.$
Cách 1:
Số nguyên $x$ có một trong ba dạng: $x=3k;$ $x=3k+1;$ $x=3k+2.$
+) Nếu $x=3k$ thì $(x-4)\cdot (x+2)+6=(3k-4)(3k+2)+6$ không là bội của $3$ nên cũng không là bội của $9.$
+) Nếu $x=3k+1$ thì $(x-4)\cdot (x+2)+6=(3k-3)(3k+3)+6=9\cdot (k-1)(k+1)+6$ không là bội của $9.$
+) Nếu $x=3k+2$ thì $(x-4)\cdot (x+2)+6=(3k-2)(3k+4)+6$ không là bội của $3$ nên cũng không là bội của $9.$
Vậy $(x-4)\cdot (x+2)+6$ không là bội của $9$ với mọi số nguyên $x.$
Cách 2:
Giả sử tồn tại một số nguyên $x$ sao cho $(x-4)\cdot (x+2)+6$ là bội của $9.$
Ta đi tìm điều vô lý.
Vì $(x-4)\cdot (x+2)+6$ là bội của $9$ nên $(x-4)\cdot (x+2)+6\;\vdots\;9.$
Mà $9\;\vdots\;3$ nên $(x-4)\cdot (x+2)+6\;\vdots\;3.$
Do $6\;\vdots\;3$ nên $(x-4)\cdot (x+2)\;\vdots\;3.$
Suy ra $x-4\;\vdots\;3$ hoặc $x+2\;\vdots\;3.$
+) Nếu $x-4\;\vdots\;3$ thì có một số nguyên $k$ để cho $x-4=3k,$ hay $x=3k+4.$
Khi đó, $(x-4)\cdot (x+2)+6$ $=3k(3k+6)+6$ $=9\cdot k(k+2)+6$ chia $9$ dư $6$ nên không là bội của $9.$ Mâu thuẫn với điều ta đã giả sử. Vô lý!
+) Nếu $x+2\;\vdots\;3$ thì có một số nguyên $k$ để cho $x+2=3k,$ hay $x=3k-2.$
Khi đó, $(x-4)\cdot (x+2)+6$ $=(3k-6)3k+6$ $=9\cdot (k-2)k+6$ chia cho $9$ dư $6$ nên không là bội của $9.$ Mâu thuẫn với điều ta đã giả sử. Vô lý!
Vậy $(x-4)\cdot (x+2)+6$ không là bội của $9$ với mọi số nguyên $x.$
BT 22: Tìm các cặp số nguyên $x, y$ sao cho:
a) $(x+2)(y-3)=5;$
b) $(8-x)(4y+1)=20;$
c) $(x+1)(xy-1)=3;$
d) $xy+2x+y=1.$
a) $(x+2)(y-3)=5$ nên $5\;\vdots\;x+2.$
Suy ra $x+2\in Ư(5)=\{\pm 1; \pm 5\}.$
+) Nếu $x+2=1$ thì $y-3=5.$ Khi đó, $x=-1$ và $y=8.$
+) Nếu $x+2=-1$ thì $y-3=-5.$ Khi đó, $x=-3$ và $y=-2.$
+) Nếu $x+2=5$ thì $y-3=1.$ Khi đó, $x=3$ và $y=4.$
+) Nếu $x+2=-5$ thì $y-3=-1.$ Khi đó, $x=-7$ và $y=2.$
Vậy các cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn yêu cầu là $(-1; 8),$ $(-3; 2),$ $(3; 4),$ $(-7; 2).$
b) $(8-x)(4y+1)=20$ nên $20\;\vdots\;4y+1.$
Suy ra $4y+1\in Ư(20)=\{\pm 1; \pm 2; \pm 4; \pm 5; \pm 10; \pm 20\}.$
Tuy nhiên, để ý rằng $4y+1$ chia $4$ dư $1,$ nên $4y+1=1$ hoặc $4y+1=5.$
+) Nếu $4y+1=1$ thì $8-x=20.$ Khi đó, $x=-12$ và $y=0.$
+) Nếu $4y+1=5$ thì $8-x=4.$ Khi đó $x=4$ và $y=1.$
Vậy các cặp số nguyên $(x; y) thỏa mãn yêu cầu là $(-12; 0),$ $(4; 1).$
c) $(x+1)(xy-1)=3$ nên $3\;\vdots\;x+1.$
Suy ra $x+1\in Ư(3)=\{\pm 1; \pm 3\}.$
+) Nếu $x+1=1$ thì $x=0.$ Khi đó, $(x+1)(xy-1)=-1\neq 3$ nên ta loại trường hợp này.
+) Nếu $x+1=-1$ thì $x=-2.$ Khi đó, từ $xy-1=3\;:\;(x+1)$ suy ra $-2y-1=-3.$ Do đó, $y=1.$
+) Nếu $x+1=3$ thì $x=2.$ Khi đó, từ $xy-1=3\;:\;(x+1)$ suy ra $2y-1=1.$ Do đó $y=1.$
+) Nếu $x+1=-3$ thì $x=-4.$ Khi đó, từ $xy-1=3\;:\;(x+1)$ suy ra $-4y-1=-1.$ Do đó $y=0.$
Vậy các cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu là $(-2; 1),$ $(2; 1),$ $(-4; 0).$
d) $xy+2x+y=1$
Ta có $xy+2x+y$ $=x(y+2)+(y+2)-2$ $=(y+2)(x+1)-2.$
Vậy $(y+2)(x+1)-2=1,$ hay $(y+2)(x+1)=3.$
Suy ra $3\;\vdots\;x+1.$
Do đó $x+1\; Ư(3)=\{\pm 1; \pm 3\}.$
+) Nếu $x+1=1$ thì $y+2=3.$ Khi đó, $x=0$ và $y=1.$
+) Nếu $x+1=-1$ thì $y+2=-3.$ Khi đó $x=-2$ và $y=-5.$
+) Nếu $x+1=3$ thì $y+2=1.$ Khi đó $x=2$ và $y=-1.$
+) Nếu $x+1=-3$ thì $y+2=-1.$ Khi đó $x=-4$ và $y=-3.$
Vậy các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn yêu cầu là $(0; 1),$ $(-2; -5),$ $(2; -1),$ $(-4; -3).$
BT 23: Tìm hai số nguyên sao cho tổng của chúng và tích của chúng là hai số đối nhau.
Gọi hai số nguyên phải tìm là $a$ và $b.$
Ta có: $ab=-(a+b)$
Do đó: $ab+a=-b,$ hay $a(b+1)=-b.$ (1)
Suy ra: $b\;\vdots\;b+1.$
Ta lại có $b+1\;\vdots\;b+1.$
Suy ra $(b+1)-b\;\vdots\;b+1,$ hay $1\;\vdots\;b+1.$
Suy ra $b+1=1$ hoặc $b+1=-1.$
+) Nếu $b+1=1$ thì $b=0.$ Thay vào (1), ta suy ra $a=0.$
+) Nếu $b+1=-1$ thì $b=-2.$ Thay vào (1), ta suy ra $a=-2.$
Vậy $a=0, b=0;$ hoặc $a=-2, b=-2.$
BT 24: Cho $a, b$ là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu $6a+11b$ chia hết cho $31$ thì $a+7b$ cũng chia hết cho $31.$ Điều ngược lại có đúng không?
Chứng minh $a+7b\;\vdots\;31.$
Ta có: $6a+11b=6(a+7b)-6\cdot 7b+11b=6(a+7b)-31b.$
Suy ra $6(a+7b)=(6a+11b)+31b.$
Mặt khác: $6a+11b\;\vdots\;31$ (theo đề) và $31b\;\vdots\;31.$
Do đó, $(6a+11b)+31b\;\vdots\;31,$ hay $6(a+7b)\;\vdots\;31.$
Mà $ƯCLN(6,31)=1$ nên $a+7b\;\vdots\;31.$
Xét điều ngược lại:
Giả sử $a+7b\;\vdots\;31.$
Suy ra $6(a+7b)-31b\;\vdots\;31.$
Tức là $6a+11b\;\vdots\;31.$
Vậy điều ngược lại cũng đúng.