Bài tập TOÁN 6 (CT mới) – Chuyên đề TÍNH CHẤT CHIA HẾT.

a) $32 + 16$

Ta có: $32\;\vdots\; 4$ và $16\;\vdots\;4$

Do đó: $32+16$ chia hết cho $4.$

b) $44+14$

Ta có: $44\;\vdots\;4$ nhưng $14\;\not{\vdots}\; 4$

Do đó: $44+14$ không chia hết cho $4.$

c) $25 – 8$

Ta có: $25\;\not{\vdots}\; 4$ và $8\;\vdots\;4$

Do đó: $25-8$ không chia hết cho $4.$

d) $48 – 20$

Ta có: $48\;\vdots\;4$ và $20\;\vdots\;4$

Do đó: $48 – 20$ chia hết cho $4.$

a) $9 + 12 + 48$

Ta có: $9$ không chia hết cho $6$ và $12; 48$ đều chia hết cho $6.$

Do đó: $9+12+48$ không chia hết cho $6.$

b) $24 + 54 – 18$

Ta có: $24; 54; 18$ đều chia hết cho $6.$

Do đó: $24+54-18$ chia hết cho $6.$

a) $21 – 14 + 70$

Ta có: $21; 14; 70$ đều chia hết cho $7.$

Do đó: $21-14+70$ chia hết cho $7.$

b) $25 + 38$

Ta có: $25+38 = 63 \;\vdots\;7.$

Vậy $25+38$ chia hết cho $7.$

c) $20 – 12 + 41$

Ta có: $20 – 12 + 41 = 49\;\vdots 7.$

Vậy $20 – 12 + 41$ chia hết cho $7.$

Nhận xét

Trong câu b), ta thấy $25$ và $38$ đều không chia hết cho $7.$ Tuy nhiên, tổng của chúng $25+38 = 63$ lại chia hết cho $7.$

Trong câu c), ta thấy $20; 12; 41$ đều không chia hết cho $7.$ Tuy nhiên, $20 – 12 + 41 = 49$ lại chia hết cho $7.$

$\rightarrow$ Như vậy, khi tất cả các số hạng của tổng đều không chia hết cho một số $a$ thì ta không được kết luận tổng đó không chia hết cho $a.$

Nhớ lại tính chất chia hết của một tổng: Nếu trong tổng chỉ có một số hạng không chia hết cho một số $a$ và các số hạng còn lại đều chia hết cho $a$ thì tổng đó không chia hết cho $a.$

a) $25\cdot 6$

Ta có: $6\;\vdots\;3$

Do đó: $25\cdot 6$ chia hết cho $3.$

b) $5\cdot 7\cdot 15$

Ta có: $15\;\vdots\;3$

Do đó: $5\cdot 7\cdot 15$ chia hết cho $3.$

a) $7\cdot 218 + 49$

Ta có:

+) $(7\cdot 218) \;\vdots 7$ (vì tích có chứa thừa số $7\;\vdots\;7.)$

+) $49\;\vdots\;7.$

Do đó: $7\cdot 218 + 49$ chia hết cho $7.$

b) $28\cdot 12 + 7^5$

Ta có:

+) $28\cdot 12 \;\vdots\;7$ (vì có chứa thừa số $28\;\vdots\;7.)$

+) $7^5 \;\vdots\;7$ (vì $7^5$ có chứa $7.)$

Do đó: $28\cdot 12 + 7^5$ chia hết cho $7.$

c) $105\cdot 7 + 13$

Ta có:

+) $105\cdot 7 \;\vdots 7$ (vì tích có chứa thừa số $7\;\vdots\;7).$

+) $13\;\not{\vdots}\;7.$

Suy ra: $105\cdot 7 + 13$ không chia hết cho $7.$

d) $7^4 + 2\;023$

Ta có:

+) $7^4 \;\vdots\;7;$

+) $2\;023\not{\vdots}\; 7.$

Do đó: $7^4 + 2\;023$ không chia hết cho $7.$

Ta có: $1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5$ $= (2\cdot 5)\cdot 1\cdot 3\cdot 4$ $= 10\cdot 1\cdot 3\cdot 4$

Tích này có chứa thừa số $10\;\vdots\;10$ nên chia hết cho $10.$

Vậy tích đã cho chia hết cho $10.$

Ta có:

+) $x\;\vdots\;2$

+) $2023\;\not{\vdots}\; 2$

+) $2024\;\vdots\;2$

Do đó: $A = x+2023+2024$ không chia hết cho $2.$

(Vì trong tổng chỉ có một số hạng $(2023)$ không chia hết cho $2$ và các số hạng còn lại $(x; 2024)$ đều chia hết cho $2).$

Vì $12\;\vdots\;2$ nên

a) Để $A = 12 + x$ chia hết cho $2$ thì $x\;\vdots \;2.$

b) Để $A = 12+x$ không chia hết cho $2$ thì $x\;\not{\vdots}\;2.$

a) Ta có: $30; 42$ và $6$ đều chia hết cho $6$ nên để $S = 30+42-6+x$ chia hết cho $6$ thì $x$ chia hết cho $6.$

b) Ta có: $30; 42$ và $6$ đều chia hết cho $3$ nên để $S = 30+42-6+x$ chia hết cho $3$ thì $x$ chia hết cho $3.$

Ta có:

+) $13\;\vdots\;13;$

+) $13^2\;\vdots\;13;$

+) $177\cdot 13^5\;\vdots\;13$ (vì $13^5 \;\vdots\;13);$

+) $12\;\not{\vdots}\;13.$

Do đó: $C = 13 + 13^2 + 177\cdot 13^5 – 12$ không chia hết cho $13.$

Ta có: $15$ và $3$ đều chia hết cho $3$ nên:

a) Để $B = 15+x+3$ chia hết cho $3$ thì $x\;\vdots\;3.$

b) Để $B=15+x+3$ không chia hết cho $3$ thì $x\;\not{\vdots}\;3.$

a) $12\cdot 173 + 36\cdot 41 + 21$

Ta có:

+) $12\cdot 173 \;\vdots\; 12$ vì tích có chứa thừa số $12.$

+) $36\cdot 41\;\vdots\;12$ vì tích có chứa thừa số $36\;\vdots\;12.$

+) $21\;\not{\vdots}\;12$

Do đó: $12\cdot 173 + 36\cdot 41 + 21$ không chia hết cho $12.$

b) $3\cdot 241\cdot 4 + 24k$ với $k\in\mathbb{N}$

Ta có:

+) $3\cdot 241\cdot 4 = (3\cdot 4)\cdot 241 = 12\cdot 241 \;\vdots\;12$ vì tích cuối cùng có chứa thừa số $12.$

+) $24k\;\vdots\;12$ vì tích có chứa thừa số $24\;\vdots\;12.$

Do đó: $3\cdot 241\cdot 4 + 24k$ chia hết cho $12.$

Ta có: $25\cdot 29 \;\vdots\;5$ vì tích có chứa thừa số $25\;\vdots\;5.$

Do đó, để tích $25\cdot 29 + x$ chia hết cho $5$ thì $x\;\vdots\;5.$

Ta có: $3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5$ $= 3^2\cdot (1+3) + 3^4\cdot (1+3)$ $= 3^2\cdot 4 + 3^4\cdot 4$ $= 4\cdot (3^2 + 3^4) \;\vdots\;4$ vì tích cuối cùng có chứa thừa số $4.$

Ta có: $6\cdot 23\cdot 15$ $= (2\cdot 3)\cdot 23\cdot (3\cdot 5)$ $= (2\cdot 5)\cdot (3\cdot 3)\cdot 23$ $= 10\cdot 9\cdot 23$ vừa chia hết cho $9$ vừa chia hết cho $10$ (vì tích có chứa thừa số $9$ và $10).$

Do đó, để $P = 6\cdot 23\cdot 15 + a$ vừa chia hết cho $9$ vừa chia hết cho $10$ thì $a$ phải vừa chia hết cho $9$ vừa chia hết cho $10.$

Hơn nữa, $a$ là số tự nhiên nhỏ hơn $10$ nên $a = 0.$ (Vì trong các số từ $0$ đến $9 < 10$ thì chỉ có số $0$ là chia hết cho cả $9$ và $10).$

Gọi $a$ là giá tiền của một gói bánh và $b$ là giá tiền của một gói kẹo.

An mua $18$ gói bánh nên tổng số tiền mua bánh là: $18a.$

An mua $12$ gói kẹo nên tổng số tiền mua kẹo là: $12b.$

An đưa cho cô bán hàng $4$ tờ mỗi tờ $50\;000$ đồng nên được trả lại số tiền là: $4\cdot 50\;000 – 18a – 12b.$

Ta thấy rằng:

+) $4\cdot 50\;000 = 200\;000 \;\not{\vdots}\; 3;$

+) $18a\;\vdots\;3$ vì tích có chứa thừa số $18\;\vdots\;3;$

+) $12b\;\vdots\;3$ vì tích có chứa thừa số $12\;\vdots\;3.$

Do đó: $4\cdot 50\;000 – 18a – 12b$ không chia hết cho $3.$

Tức là số tiền An được cô bán hàng trả lại là một số không chia hết cho $3.$

Tuy nhiên, theo đề bài, cô bán hàng trả lại cho An $72\;000$ đồng lại là một số chia hết cho $3.$

Vậy cô bán hàng đã tính sai. $\rightarrow$ Khang nói đúng.

a) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là $n;$ $n+1;$ $n+2.$

Tổng của ba số này là: $n+(n+1)+(n+2)$ $= 3\cdot n + 3$ $= 3\cdot (n+1)$ chia hết cho $3$ vì tích cuối cùng có chứa thừa số $3.$

Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho $3.$

b) Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là $n;$ $n+1;$ $n+2;$ $n+3.$

Tổng của bốn số này là: $n+(n+1)+(n+2)+(n+3)$ $= 4\cdot n + 6$

Ta có:

+) $4n\;\vdots\;4$ vì tích có chứa thừa số $4.$

+) $6\;\not{\vdots}\;4.$

Do đó: $4\cdot n + 6$ không chia hết cho $4.$

Vậy tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho $4.$

a) Trong hai số tự nhiên liên tiếp thì có một số là số chẵn và số còn lại là số lẻ.

Một số chẵn thì chia hết cho $2$ nên tích của số chẵn và số lẻ cũng chia hết cho $2.$ Tức là tích của số chẵn và số lẻ thì được số chẵn.

Vậy tích của hai số tự nhiên liên tiếp là một số chẵn.

b) Trong ba số tự nhiên liên tiếp, chọn ra hai số tự nhiên liên tiếp. Tích của hai số tự nhiên liên tiếp là một số chẵn, nên dù số còn lại là chẵn hay lẻ thì tích cuối cùng cũng là số chẵn.

Vậy tích của ba số tự nhiên liên tiếp là một số chẵn.

a) Chứng tỏ rằng $ab(a+b)$ chia hết cho $2,$ với $a,b$ là hai số tự nhiên bất kỳ.

+) Nếu $a$ chẵn và $b$ chẵn thì $a\;\vdots\;2.$ Suy ra: $ab(a+b)$ chia hết cho $2.$

+) Nếu $a$ chẵn và $b$ lẻ thì $a\;\vdots\;2.$ Suy ra: $ab(a+b)$ chia hết cho $2.$

+) Nếu $a$ lẻ và $b$ chẵn thì $b\;\vdots\;2.$ Suy ra: $ab(a+b)$ chia hết cho $2.$

+) Nếu $a$ lẻ và $b$ lẻ thì $a+b$ chẵn, tức là $(a+b)\;\vdots\;2.$ Suy ra: $ab(a+b)$ chia hết cho $2.$

Vậy trong mọi trường hợp thì $ab(a+b)$ cũng đều chia hết cho $2.$

b) Chứng tỏ rằng $n^2 + n + 1$ không chia hết cho $2,$ với $n$ là số tự nhiên bất kỳ.

+) Nếu $n$ là số chẵn thì $n\;\vdots\;2.$ Do đó, $n^2\;\vdots\;2.$ Suy ra: $n^2+n+1$ không chia hết cho $2$ (vì $1$ không chia hết cho $2).$

+) Nếu $n$ là số lẻ thì $n\;\not{\vdots}\;2.$ Do đó, $n^2\;\not{\vdots}\;2.$

Mặt khác, vì $n$ là số lẻ nên $n+1$ (số liền trên) là số chẵn, tức là $(n+1)\;\vdots\;2.$

Suy ra: $n^2 + (n+1)$ không chia hết cho $2.$

Kết luận: Trong mọi trường hợp thì $n^2+n+1$ đều không chia hết cho $2.$

c) Chứng tỏ rằng $(2a+1)\cdot (2a+2)\cdot (2a+3)$ chia hết cho $3$ với mọi số tự nhiên $a.$

Ta có ba trường hợp của số tự nhiên $a:$

+) Nếu $a$ chia hết cho $3$ thì $a = 3k$ với $k\in\mathbb{N}.$ Suy ra: $2a+3 = 2\cdot(3k)+3 = 3\cdot (2k+1) \;\vdots\;3.$ Do đó $(2a+1)\cdot (2a+2)\cdot (2a+3)$ chia hết cho $3.$

+) Nếu $a$ chia $3$ dư 1 thì $a = 3k+1$ với $k\in\mathbb{N}.$ Suy ra: $2a+1 = 2\cdot(3k+1) + 1 = 6k + 2+1 = 6k+3 = 3\cdot (2k+1)\;\vdots\;3.$ Do đó $(2a+1)\cdot (2a+2)\cdot (2a+3)$ chia hết cho $3.$

+) Nếu $a$ chia $3$ dư 2 thì $a = 3k+2$ với $k\in\mathbb{N}.$ Suy ra: $2a+2 = 2\cdot (3k+2) + 2 = 6k + 4 + 2 = 6k + 6 = 6\cdot (k+1) \;\vdots\;3.$ Do đó $(2a+1)\cdot (2a+2)\cdot (2a+3)$ chia hết cho $3.$

Vậy trong mọi trường hợp thì $(2a+1)\cdot (2a+2)\cdot (2a+3)$ đều chia hết cho $3.$

Gọi thương là $x.$ Ta có: $a = 15\cdot x + 5.$

Ta có:

+) $15\cdot x \;\vdots\; 5$ vì tích có chứa thừa số $15\;\vdots\;5.$

+) $5\;\vdots\;5.$

Do đó: $a = 15\cdot x + 5$ chia hết cho $5.$

Ta có:

+) $15\cdot x \;\vdots\; 3$ vì tích có chứa thừa số $15\;\vdots\;3.$

+) $55;\not{\vdots}\; 3$

Do đó: $a = 15\cdot x + 5$ không chia hết cho $3.$

Vậy $a$ chia hết cho $5$ và không chia hết cho $3.$

Gọi $x$ là số kẹo mỗi phần khi mẹ chia thành $10$ phần bằng nhau. Theo đề, nếu mẹ chia thành $10$ phần bằng nhau thì dư $5$ nên tổng số kẹo là: $a = 10\cdot x + 5.$

a) Ta có:

+) $10\cdot x \;\vdots\;5$ vì tích có chứa thừa số $10\;\vdots\;5.$

+) $5\vdots 5.$

Do đó: $a = 10\cdot x+5$ chia hết cho $5.$

Vậy mẹ có thể chia số kẹo đó thành $5$ phần bằng nhau được.

b) Ta có:

+) $10\cdot x \;\vdots\;2$ vì tích có chứa thừa số $2\;\vdots \;2.$

+) $5\;\not{\vdots}\;2$

Do đó: $a = 10\cdot x + 5$ không chia hết cho $2.$

Vậy mẹ không thể chia số kẹo đó thành $2$ phần bằng nhau được.

Ta có:

$\overline{abcabc}$ $= \overline{abc}\cdot 1000 + \overline{abc}$ $= \overline{abc}\cdot (1000+1)$ $=\overline{abc}\cdot 1001$ $= \overline{abc}\cdot 7\cdot 11\cdot 13$ chia hết cho $7$ và $11$ (vì tích cuối cùng có chứa thừa số $7$ và $11).$

a) Số có chữ số tận cùng chia hết cho $2$ thì chia hết cho $2.$

Gọi $A$ là số chục và $b$ là chữ số tận cùng (hàng đơn vị). Số đã cho bằng $A\cdot 10 + b.$

Ta có:

+) $A\cdot 10 \;\vdots\;2$ vì có chứa thừa số $10\;\vdots\;2.$

+) $b\;\vdots\;2$ vì theo đề thì chữ số tận cùng chia hết cho $2.$

Do đó: $A\cdot 10 + b$ chia hết cho $2.$

Vậy số có chữ số tận cùng chia hết cho $2$ thì chia hết cho $2.$

b) Số có chữ số tận cùng chia hết cho $5$ thì chia hết cho $5.$

Gọi $A$ là số chục và $b$ là chữ số tận cùng (hàng đơn vị). Số đã cho bằng $A\cdot 10 + b.$

Ta có:

+) $A\cdot 10 \;\vdots\;5$ vì có chứa thừa số $10\;\vdots\;5.$

+) $b\;\vdots\;5$ vì theo đề thì chữ số tận cùng chia hết cho $5.$

Do đó: $A\cdot 10 + b$ chia hết cho $2.$

Vậy số có chữ số tận cùng chia hết cho $2$ thì chia hết cho $2.$

c) Số có hai chữ số tận cùng hợp thành số chia hết cho $4$ thì chia hết cho $4.$

Gọi số trăm là $A$ và hai chữ số tận cùng là $a, b.$ Số đã cho bằng $A\cdot 100 + \overline{ab}.$

Ta có:

+) $A\cdot 100 \;\vdots\;4$ vì $100\;\vdots\;4.$

+) $\overline{ab}\;\vdots\;4$ theo đề.

Do đó: $A\cdot 100 + \overline{ab}$ chia hết cho $4.$

Vậy số có hai chữ số tận cùng hợp thành số chia hết cho $4$ thì chia hết cho $4.$

d) Số có ba chữ số tận cùng hợp thành số chia hết cho $8$ thì chia hết cho $8.$

Gọi số nghìn là $A$ và ba chữ số tận cùng là $a, b, c.$ Số đã cho bằng $A\cdot 1000 + \overline{abc}.$

Ta có:

+) $A\cdot 1000 \;\vdots\;8$ vì $1000\;\vdots\;8.$

+) $\overline{abc}\;\vdots\;8$ theo đề.

Do đó: $A\cdot 1000 + \overline{abc}$ chia hết cho $4.$

Vậy số có ba chữ số tận cùng hợp thành số chia hết cho $8$ thì chia hết cho $8.$

a) Có. Chẳng hạn: Nhóm I gồm $3; 5; 7; 11; 13; 15$ và Nhóm II gồm $1; 9; 17.$

b) Tổng chín số đã cho bằng $81$ không chia hết cho $2.$ Do đó, không thể phân chia chín số đó thành hai nhóm có tổng bằng nhau được.

Sau khi bán một rổ xoài, gọi $a$ là số quả xoài còn lại và $b$ là số quả cam còn lại thì tổng số quả cam và xoài còn lại là $a+b.$ Theo đề thì số cam còn lại gấp $3$ lần số xoài còn lại nên ta có: $b = 3a.$

Suy ra, tổng số cam và xoài còn lại là: $a+b = a + 3a = 4a.$

Do đó, tổng số cam và xoài còn lại là số chia hết cho $4.$

Mặt khác, tổng số quả trong năm rổ lúc đầu là: $20 + 27 + 29 + 35 + 49 = 160$ chia hết cho $4.$

Suy ra số quả xoài bị bán đi phải là số chia hết cho $4.$

Trong năm số đã cho thì chỉ có số $20$ là chia hết cho $4.$ Vậy rổ xoài lấy đi có $20$ quả.

Do đó tổng số cam và xoài còn lại là $160 – 20 = 140$ (quả).

Suy ra: $4a = 140$ hay $a = 140 : 4 = 35.$

Suy ra: $b = 3a = 3\cdot 35 =105.$

Vậy số quả cam lúc đầu là $135$ quả.

Ta có:

$1+2+2^2+2^3 + … + 2^{11}$

$= (1+2+2^2+2^3) + (2^4+2^5+2^6+2^7) +(2^8+2^9+2^{10}+2^{11})$

$= (1+2+2^2+2^3) + 2^4\cdot(1+2+2^2+2^3) + 2^8\cdot (1+2+2^2+2^3)$

$= 15+2^4\cdot 15 + 2^8\cdot 15$

$= 15\cdot (1+2^4+2^8)$

Đây là tích của $15$ với một số nên chia hết cho $15,$ do đó cũng chia hết cho cả $3$ và $5.$

Ta có:

$M = 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + … + 3^{2019} + 3^{2020}$

$= 3\cdot (1+3) + 3^3\cdot (1+3) + … + 3^{2019}\cdot (1+3)$

$= 3\cdot 4 + 3^3\cdot 4 + … + 3^{2019}\cdot 4$

$= 4\cdot (3 + 3^3 + … + 3^{2019})$

Đây là tích của $4$ với một số nên chia hết cho $4.$

Vậy $M$ chia hết cho $4.$