Bài tập TOÁN 6 (CT mới) – Chuyên đề DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 3, CHO 9.

a) Số chia hết cho $3$ là: $372;$ $261;$ $7\;371$ (vì tổng các chữ số của mỗi số này chia hết cho $3).$

b) Số chia hết cho $9$ là: $261;$ $7\;371$ (vì tổng các chữ số của mỗi số này chia hết cho $9).$

c) Số chia hết cho $9$ thì cũng chia hết cho $3.$ Do đó, số chia hết cho $9$ thì chia hết cho cả $3$ và $9.$ Vậy các số chia hết cho cả $3$ và $9$ là: $261;$ $7\;371.$

d) Số chia hết cho $3$ nhưng không chia hết cho $9$ là: $372.$

a) Một số chia hết cho $9$ thì chia hết cho $3$ (vì $9$ chia hết cho $3).$

b) Một số chia hết cho $3$ thì không thể kết luận nó chia hết cho $9$ được. Chẳng hạn, $12$ chia hết cho $3$ nhưng không chia hết cho $9.$

Trong những số từ $2\;022$ đến $2\;032,$

a) số chia hết cho $3$ là: $2\;022;$ $2\;025;$ $2\;028;$ $2\;031.$

b) số chia hết cho $9$ là: $2\;025.$

c) số chia hết cho cả $3$ và $9$ là: $2\;025.$

d) số chia hết cho $3$ nhưng không chia hết cho $9$ là: $2\;022;$ $2\;028;$ $2\;031.$

a) $120 + 75;$

Ta có:

+) $120\;\vdots\;3$ (vì $1+2+0 = 3\;\vdots\;3).$

+) $75\;\vdots\;3$ (vì $7+5=12\;\vdots\;3).$

Do đó: $120+75$ chia hết cho $3.$

b) $45\cdot 2\;023 – 2\;022;$

Ta có:

+) $45\cdot 2\;023 \;\vdots\;3$ (vì $45\;\vdots\;3).$

+) $2\;022\;\vdots\;3$ (vì $2+0+2+2=6\;\vdots\;3).$

Do đó: $45\cdot 2\;023 – 2\;022$ chia hết cho $3.$

c) $702 – 504 + 2\;023\cdot 15;$

Ta có:

+) $702\;\vdots\;3$ (vì $7+0+2=9\;\vdots\;3).$

+) $504\;\vdots\;3$ (vì $5+0+4=9\;\vdots\;3).$

+) $2\;023\cdot 15\;\vdots\;3$ (vì $15\;\vdots\;3).$

Do đó: $702 – 504 + 2\;023\cdot 15$ chia hết cho $3.$

d) $6^4 – 5^2$

Ta có:

+) $6^4 \;\vdots \;3$ (vì $6\;\vdots\;3).$

+) $5^2\;\not{\vdots}\;3$ (vì $5\;\not{\vdots}\;3.$

Do đó: $6^4 – 5^2$ không chia hết cho $3.$

Vì $6+9 = 15\;\not{\vdots}\;9$ nên $69\;\not{\vdots}\;9.$

Do đó, không thể xếp $69$ bạn thành $9$ hàng đều nhau được.

Vì $1+3+4+9+8 = 25\;\not{\vdots}\;9$ nên $13\;498\;\not{\vdots}\;9.$

Do đó, không thể xếp đội quân gồm $13\;498$ người thành đội hình chữ nhật mỗi hàng $9$ người được.

Số chia hết cho $2$ thì chữ số tận cùng phải là chữ số chẵn, đó là các số: $26;$ $198;$ $2\;022.$

Tuy nhiên, số đó cũng phải chia hết cho $3$ nên tổng các chữ số của nó phải chia hết cho $3,$ ta chọn ra các số: $198;$ $2;022.$

Vậy các số chia hết cho cả $2$ và $3$ là: $198;$ $2\;022.$

Số chia hết cho $5$ thì tận cùng phải là $0$ hoặc $5,$ đó là các số: $70;$ $135;$ $2\;025.$

Tuy nhiên, số đó cũng phải chia hết cho $3$ nên tổng các chữ số của nó phải chia hết cho $3,$ ta chọn ra các số: $135;$ $2\;025.$

Vậy các số chia hết cho cả $3$ và $5$ là: $135;$ $2\;025.$

Ta chỉ cần chọn ra các số chia hết cho $9$ thì nó cũng chia hết cho $3,$ đó là các số: $18;$ $45;$ $111\;222.$

Tuy nhiên, số cần chọn cũng phải chia hết cho $2,$ ta chọn được các số: $18;$ $111\;222.$

Vậy số chia hết cho cả $2;$ $3$ và $9$ là: $18;$ $111\;222.$

a) $\overline{6*7}$ chia hết cho $3$ khi tổng các chữ số chia hết cho $3,$ tức là $6+*+7 \;\vdots\;3,$ hay $13+* \;\vdots\;3.$

Suy ra: $*$ là $2,$ hoặc $5,$ hoặc $8.$

b) $\overline{1*8}$ chia hết cho $9$ khi tổng các chữ số chia hết cho $9,$ tức là $1+*+8 \;\vdots\;9,$ hay $9+*\;\vdots\;9.$

Suy ra: $*$ là $9.$

c) Số $\overline{21*}$ chia hết cho $3$ nên tổng các chữ số phải chia hết cho $3,$ tức là: $2+1+* \;\vdots\;3,$ hay $3+*\;\vdots\;3.$ Suy ra, $*\;\vdots\;3$ (vì $3\;\vdots\;3).$

Số $\overline{21*}$ cũng phải chia hết $5$ nên tận cùng bằng $0$ hoặc $5.$ Suy ra $*\;\in\left\{0; 5\right\}.$

Kết hợp hai điều trên, ta chọn $*$ là $0$ (vì $0\;\vdots\;3$ và $5\;\not{\vdots}\;3).$

a) Số $\overline{2002*}$ chia hết cho $3$ khi tổng các chữ số chia hết cho $3$ nhưng không chia hết cho $9,$ tức là $2+0+0+2+* = 4+*$ chia hết cho $3$ nhưng không chia hết cho $9.$

Để $4+*$ chia hết cho $3$ thì $*$ là $2,$ hoặc $5,$ hoặc $8.$

+) Nếu $*$ là $2$ thì $4+*=6 \;\not{\vdots}\;9$ (nhận)

+) Nếu $*$ là $5$ thì $4+*=9\;\vdots\;9$ (loại)

+) Nếu $*$ là $8$ thì $4+*=12\;\vdots\;9$ (nhận).

Vậy $*$ là $2,$ hoặc $8$ thì $\overline{2002*}$ chia hết cho $3$ nhưng không chia hết cho $9.$

b) Làm tương tự câu a) với lưu ý là $*$ khác $0.$

Kết quả: $*$ là $3,$ hoặc $9.$

a) Ta có: $9+7+2=18\;\vdots\;9$ nên $972\;\vdots\;9.$

Vì $972\;\vdots\;9$ và $972+\overline{200a}\;\vdots\;9$ nên $\overline{200a}\;\vdots\;9.$

Suy ra: $2+0+0+a\;\vdots\;9,$ hay $2+a\;\vdots\;9.$

Do đó $a=7.$

b) Ta có: $3+0+3+6 = 12\;\vdots\;3$ nên $3\;036\;\vdots\;3.$

Vì $3\;036\;\vdots\;3$ và $3\;036 + \overline{52a2a}\;\vdots\;3$ nên $\overline{52a2a}\;\vdots\;3.$

Suy ra: $5+2+a+2+a\;\vdots\;3,$ hay $9+2a\;\vdots\;3.$

Mà $9\;\vdots\;3$ nên $2a\;\vdots\;3.$

Vì $2$ và $3$ không cùng chia hết cho bất kỳ số tự nhiên khác $1$ nào nên $a\;\vdots\;3.$

Vậy $a$ là một trong các chữ số $0; 3; 6; 9.$

$n=\overline{456ab}$ chia hết cho $5$ nên $b=0$ hoặc $b=5.$

+) Nếu $b=0:$ Do $\overline{456ab}\;\vdots\;9$ nên $4+5+6+a+0\;\vdots\;9,$ hay $15+a\;\vdots\;9.$ Suy ra $a=3.$

+) Nếu $b=5:$ Do $\overline{456ab}\;\vdots\;9$ nên $4+5+6+a+5\;\vdots\;9,$ hay $20+a\;\vdots\;9.$ Suy ra $a=7.$

Vậy $a=3$ và $b=0;$ hoặc $a=7$ và $b=5.$

a) Xét số $\overline{aaa}.$

Ta có: $a+a+a=3a\;\vdots\;3.$

Suy ra: $\overline{aaa}\;\vdots\;3.$

Vậy số có ba chữ số giống nhau thì chia hết cho $3.$

b) Không thể kết luận được. Chẳng hạn $333$ không chia hết cho $6,$ nhưng $666$ lại chia hết cho $6.$

Xét số có ba chữ số giống nhau: $\overline{aaa}$ (với $a\neq 0).$

Để số $\overline{aaa}$ chia hết cho $9$ thì $a+a+a\;\vdots\;9,$ hay $3a\;\vdots\;9.$

Suy ra: $a\;\vdots\;3.$

Vậy $a$ là một trong các chữ số $3; 6; 9.$

Tất cả các số tự nhiên có ba chữ số giống nhau và chia hết cho $9$ là $333;$ $666;$ $999.$

a) Mỗi số hạng $111;$ $222;$ $333;…$ $999$ đều có ba chữ số giống nhau nên chia hết cho $3.$

Suy ra tổng của các số hạng đó cũng chia hết cho $3.$

Vậy $M$ chia hết cho $3.$

b) Các số hạng trong $M$ gồm có $5$ số lẻ và $4$ số chẵn. Suy ra tổng $M$ không chia hết cho $2.$ Do đó $M$ không chia hết cho $6.$ (vì chia hết cho $6$ thì phải chia hết cho $2)$

$\overline{a53b}$ chia hết cho cả $2$ và $5$ nên $b=0.$

$\overline{a53b}$ chia hết cho $9$ thì cũng chia hết cho $3$ nên ta chỉ cần $\overline{a53b}$ chia hết cho $9.$ Suy ra: $a+5+3+0\;\vdots\;9,$ hay $a+8\;\vdots\;9.$ Do đó $a=1.$

Vậy $a=1$ và $b=0.$

Số đó chia hết cho $3$ nên phải có tổng các chữ số chia hết cho $3.$ Ta chọn được các bộ ba số $7; 2; 0$ hoặc $2; 0; 1.$

Số đó chia hết cho $2$ nên phải có tận cùng là $0$ hoặc $2.$

+) Nếu tận cùng là $0$ thì ta có: $720;$ $270;$ $210;$ $120.$

+) Nếu tận cùng là $2$ thì ta có: $702;$ $102.$

Tóm lại ta có sáu số thỏa mãn yêu cầu đề bài: $720;$ $270;$ $210;$ $120;$ $702;$ $102.$

Ta thấy $0+1+3+5 = 9\;\vdots\;9$ nên số có bốn chữ số khác nhau lập được từ bốn chữ số $0; 1; 3; 5$ luôn chia hết cho $3$ và $9.$

Số được lập còn phải chia hết cho $2$ và $5$ nên phải có chữ số tận cùng là $0.$

Các số đó là: $1350;$ $1530;$ $3150;$ $3510;$ $5130;$ $5310.$

a) Số $\overline{67ab}$ chia hết cho $2$ và $5$ nên $b = 0.$

Số này còn chia hết cho $3$ nên $(6+7+a+0)\;\vdots\;3$ hay $(13+a) \;\vdots\;3.$ Suy ra $a$ là một trong các chữ số $2;$ $5;$ $8.$

Vậy ta được các số $6720;$ $6750;$ $6780.$

b) Số $\overline{67ab}$ chia hết cho $5$ nhưng không chia hết cho $2$ nên $b = 5.$

Ngoài ra, số này còn chia hết cho $3$ nên $(6+7+a+5)\;\vdots\;3$ hay $(18+a)\;\vdots\;3.$ Suy ra $a$ là một trong các chữ số $0; 3; 6; 9.$

Vậy ta được các số $6705;$ $6735;$ $6765;$ $6795.$

a) $A = 100…01$ (với $2\;021$ chữ số $0$ ở giữa)

Tổng các chữ số của $A$ bằng $2$ nên $A$ không chia hết cho $3.$

b) $B = 100…02$ (với $2\;022$ chữ số $0$ ở giữa)

Tổng các chữ số của $B$ bằng $3$ nên $B$ chia hết cho $3.$

a) $A = 100…07$ (với $2\;021$ chữ số $0$ ở giữa)

Tổng các chữ số của $A$ bằng $8$ nên $A$ không chia hết cho $9.$

b) $B= 100…08$ (với $2022$ chữ số $0$ ở giữa)

Tổng các chữ số của $B$ bằng $9$ nên $B$ chia hết cho $9.$

Để có thể tách đều thành từng nhóm $3$ người hoặc $5$ người thì tổng số người phải chia hết cho cả $3$ và $5.$

Số nhỏ nhất khác $0$ chia hết cho cả $3$ và $5$ là $15.$

Vậy cần ít nhất $15$ người để thành lập nhóm nhảy như vậy.

a) Vì $\overline{25a2b} \;\vdots\;36$ nên $\overline{25a2b}$ chia hết cho $4$ và $9.$ (vì $36=4\cdot 9)$

Do $\overline{25a2b}\;\vdots\;4$ nên $\overline{2b}\;\vdots\;4.$ Suy ra: $b$ là một trong các chữ số $0; 4; 8.$

+) Nếu $b=0:$ Do $\overline{25a2b} \;\vdots\;9$ nên $(2+5+a+2+0)\;\vdots\;9$ hay $(9+a)\;\vdots\;9.$ Suy ra $a$ là $0$ hoặc $9.$

+) Nếu $b = 4:$ Do $\overline{25a2b}\;\vdots\;9$ nên $(2+5+a+2+4)\;\vdots\;9$ hay $(13+a)\;\vdots\;9.$ Suy ra $a = 5.$

+) Nếu $b = 8:$ Do $\overline{25a2b}\;\vdots\;9$ nên $(2+5+a+2+8)\;\vdots\;9$ hay $(17+a)\;\vdots\;9.$ Suy ra $a=1.$

Vậy ta được các cặp số $(a; b)$ là: $(0; 0),$ $(9; 0),$ $(5; 4),$ $(1; 8).$

Tương ứng với các số chia hết cho $36$ là: $25020;$ $25920;$ $25540;$ $25128.$

b) Vì $\overline{a378b}\;\vdots\;72$ nên $\overline{a378b}$ chia hết cho $8$ và $9.$ (do $72 = 8\cdot 9)$

Do $\overline{a378b}\;\vdots\;8$ nên $\overline{78b}\;\vdots\;8.$ Suy ra $b = 4.$

Do $\overline{a378b}\;\vdots\;9$ nên $(a+3+7+8+4)\;\vdots\;9$ hay $(a+22)\;\vdots\;9.$ Suy ra $a = 5.$

Vậy khi $a=5$ và $b=4$ thì $\overline{a378b}\;\vdots\;72.$

Gọi số cần tìm là $\overline{a97b}$ (với $a\neq 0).$

Số đó chia hết cho $5$ nên $b=0$ hoặc $b=5.$

Số đó chia hết cho $27$ nên cũng chia hết cho $9$ (vì $27$ chia hết cho $9).$

+) Nếu $b=0:$ Để $\overline{a97b}$ chia hết cho $9$ thì $a+9+7+0 \;\vdots\;9,$ hay $a+16\;\vdots\;9.$ Suy ra $a = 2.$ Ta được số $2970.$ Số này chia hết cho $27$ nên ta nhận trường hợp này làm đáp án.

+) Nếu $b=5:$ Để $\overline{a97b}$ chia hết cho $9$ thì $a+9+7+5\;\vdots\;9,$ hay $a+21\;\vdots\;9.$ Suy ra $a = 6.$ Ta được số $6975.$ Số này không chia hết cho $27$ nên ta loại trường hợp này.

Vậy số tự nhiên cần tìm là $2\;970.$

a) Do $a-b=4$ nên $a=b+4\geq 4$ (vì $b\geq 0).$

Vậy $4\leq a \leq 9,$ hay $a\in\left\{4; 5; 6; 7; 8; 9\right\}.$

+) Nếu $a = 4$ thì $b = a-4 = 0.$ Khi đó $\overline{7a5b1}= 74501 \;\not{\vdots}\;3.$ Do đó ta loại trường hợp này.

+) Nếu $a = 5$ thì $b = a-4 = 1.$ Khi đó $\overline{7a5b1}= 75511 \;\not{\vdots}\;3.$ Do đó ta loại trường hợp này.

+) Nếu $a = 6$ thì $b = a-4 = 2.$ Khi đó $\overline{7a5b1}= 76521 \;\vdots\;3.$ Do đó ta nhận trường hợp này làm đáp án.

+) Nếu $a = 7$ thì $b = a-4 = 3.$ Khi đó $\overline{7a5b1}= 77531 \;\not{\vdots}\;3.$ Do đó ta loại trường hợp này.

+) Nếu $a = 8$ thì $b = a-4 = 4.$ Khi đó $\overline{7a5b1}= 78541 \;\not{\vdots}\;3.$ Do đó ta loại trường hợp này.

+) Nếu $a = 9$ thì $b = a-4 = 5.$ Khi đó $\overline{7a5b1}= 79551 \;\vdots\;3.$ Do đó ta nhận trường hợp này làm đáp án.

Tóm lại, $a=6$ và $b=2;$ hoặc $a=9$ và $b=5.$

b) Do $a-b=6$ nên $a=b+6\geq 6$ (vì $b\geq 0).$

Vậy $6\leq a\leq 9,$ hay $a\in\left\{6; 7; 8; 9\right\}.$

Ngoài ra, để $\overline{4a7}+\overline{1b5}$ chia hết cho $9$ thì $4+a+7+1+b+5\;\vdots\;9,$ hay $17+a+b\;\vdots\;9.$

+) Nếu $a=6$ thì $b=a-6=0.$ Khi đó $17+a+b= 17+6+0=23\;\not{\vdots}\;9.$ Do đó ta loại trường hợp này.

+) Nếu $a=7$ thì $b=a-6=1.$ Khi đó $17+a+b= 17+7+1=25\;\not{\vdots}\;9.$ Do đó ta loại trường hợp này.

+) Nếu $a=8$ thì $b=a-6=2.$ Khi đó $17+a+b= 17+8+2=27\;\vdots\;9.$ Do đó ta nhận trường hợp này làm đáp án.

+) Nếu $a=9$ thì $b=a-6=3.$ Khi đó $17+a+b= 17+9+3=29\;\not{\vdots}\;9.$ Do đó ta loại trường hợp này.

Tóm lại, $a=8$ và $b=2.$

Xét số tự nhiên có ba chữ số $\overline{abc}.$

Chữ số hàng chục bằng trung bình cộng của hai chữ số kia nên $b=(a+c):2,$ hay $2b=a+c.$

Suy ra: $3b = a+b+c.$

Vì số đó chia hết cho $9$ nên $a+b+c$ chia hết cho $9.$

Vậy $3b\;\vdots\;9.$

Suy ra: $b\;\vdots\;3.$

Vì số đó chia hết cho $5$ nên $c=0$ hoặc $c=5.$

+) Nếu $c=0$ thì $2b=a.$ Vì $b\;\vdots\;3$ nên $2b\;\vdots\;6,$ hay $a\;\vdots\;6.$ Do đó, $a=6.$

Suy ra, $b=a:2 = 3.$ Ta được số: $630.$

+) Nếu $c=5$ thì $2b=a+5.$ Vì $b\;\vdots\;3$ nên $2b\;\vdots\;6,$ hay $a+5\;\vdots\;6.$ Do đó, $a=1$ hoặc $a=7.$ Vì $1$ và $7$ đều không chia hết cho $3$ nên ta loại cả hai giá trị này.

Tóm lại, số cần tìm là $630.$

Ta có: $A = 10111213…9899.$

Xét $90$ số tự nhiên liên tiếp: $10; 11; …; 99.$

+) Hàng chục của các số đó là một trong các chữ số từ $1$ đến $9,$ mỗi chữ số dùng $10$ lần (chẳng hạn, chữ số $1$ ở hàng chục được dùng cho $10$ số từ $11$ đến $19;$ chữ số $2$ ở hàng chục được dùng cho $10$ số từ $20$ đến $29;…).$ Do đó, tổng các chữ số hàng chục là: $(1+2+3+…+9)\cdot 10 = 450.$

+) Hàng đơn vị của các số đó là một trong các chữ số từ $0$ đến $9,$ mỗi chữ số được dùng $9$ lần (chẳng hạn, chữ số $0$ ở hàng đơn vị được dùng cho $9$ số gồm $10;$ $20;$ $30;…$ $90;$ chữ số $1$ ở hàng đơn vị được dùng cho $9$ số gồm $11;$ $21;$ $31;…$ $91).$ Do đó, tổng các chữ số hàng đơn vị là: $(0+1+2+3+…+9)\cdot 9 = 405.$

Từ đó suy ra tổng các chữ số của $A$ là: $450 + 405 = 855.$

Mà $855 \;\vdots\;9$ nên $A$ chia hết cho $9.$

Vì số trừ và số bị trừ đều được viết bởi cùng ba chữ số (theo thứ tự ngược nhau) nên tổng các chữ số của số trừ và tổng các chữ số của số bị trừ là bằng nhau. Do đó, số trừ và số bị trừ có cùng số dư khi chia cho $9.$

Suy ra, hiệu là một số chia hết cho $9.$

Số $188$ không chia hết cho $9$ nên bạn An đã tính sai.

a) Ta có: $10^{28}+8 = 10…008$ (với $27$ chữ số $0$ ở giữa)

Vì $10…008$ tận cùng là $008$ nên chia hết cho $8.$

Vì $10…008$ có tổng các chữ số bằng $9$ nên chia hết cho $9.$

Vậy $10…008$ chia hết cho cả $8$ và $9.$ Mà $8$ và $9$ không cùng chia hết cho số tự nhiên khác $1$ nào, nên $10…008$ chia hết cho $8\cdot 9 = 72.$

Vậy $10^{28}+8$ chia hết cho $72.$

b) Ta có: $M = 11110…008.$ (với $2\;019$ chữ số $0$ ở giữa)

$M$ chia hết cho $8$ vì tận cùng là $008.$

$M$ chia hết cho $3$ vì tổng các chữ số bằng $12$ chia hết cho $3.$

Vậy $M$ chia hết cho cả $8$ và $3,$ nên $M$ chia hết cho $24.$

Số $b$ có được bằng cách đổi chỗ các chữ số của số $a$ nên tổng các chữ số của $b$ bằng với tổng các chữ số của $a.$

Theo đề, $b = 3a$ (1)

Suy ra $b\;\vdots\;3.$

Do đó tổng các chữ số của $b$ chia hết cho $3.$

Suy ra tổng các chữ số của $a$ cũng chia hết cho $3.$

Do đó $a\;\vdots\;3.$

Lại kết hợp với (1) ta suy ra: $b\;\vdots\;9.$

Do đó tổng các chữ số của $b$ chia hết cho $9.$

Suy ra tổng các chữ số của $a$ cũng chia hết cho $9.$

Do đó $a\;\vdots\;9.$

Số dư khi chia một số cho $9$ bằng với số dư khi chia tổng các chữ số của số đó cho $9.$ Áp dụng tương tự khi tìm số dư khi chia cho $3.$

+) Tổng các chữ số của $365$ là $3+6+5 = 14$ khi chia cho $9$ thì dư $5,$ và khi chia cho $3$ thì dư $2.$

Do đó $365$ chia $9$ dư $5$ và chia $3$ dư $2.$

+) Tổng các chữ số của $5\;420$ là $5+4+2+0 = 11$ khi chia cho $9$ thì dư $2,$ và khi chia cho $3$ thì dư $2.$

Do đó $5\;420$ chia cho $9$ hay cho $3$ đều được số dư là $2.$

+) Tổng các chữ số của số $\underset{9\;chữ\;số\;0}{\underbrace{10…0}}$ là $1$ nên số đó chia cho $9$ hay cho $3$ đều dư $1.$

Một số và tổng các chữ số của nó có cùng số dư trong phép chia cho $9,$ do đó hiệu của chúng chia hết cho $9.$

Như vậy, gọi $k$ là tổng các chữ số của $a$ và của $4a,$ ta có:

$a – k \;\vdots\; 9;$

$4a – k \;\vdots\;9.$

Suy ra: $(4a-k) – (a-k) \;\vdots\;9$

Do đó: $3a\;\vdots\;9$ hay $a\;\vdots\;3.$

Gọi $k$ là tổng các chữ số của $a$ và của $6a.$

Ta có:

$a-k \;\vdots\;9;$

$6a – k\;\vdots\;9.$

Suy ra: $(6a-k)-(a-k)\;\vdots\;9$

Do đó: $5a\;\vdots\;9.$

Vì $5$ và $9$ không cùng chia hết cho bất kỳ số tự nhiên nào khác $1$ nên ta suy ra: $a\;\vdots\;9.$

Ta có: $\underset{n\;chữ\;số}{\underbrace{11…1}} – 10n$ $= \left(\underset{n\;chữ\;số}{\underbrace{11…1}} – n\right) -9n.$

Một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó có cùng số dư khi chia cho $9$ nên hiệu của chúng chia hết cho $9.$ Do đó: $ \left(\underset{n\;chữ\;số}{\underbrace{11…1}} – n\right) \;\vdots\;9.$

Ta lại có $9n\;\vdots\;9$ vì tích có chứa thừa số $9.$

Suy ra: $ \left(\underset{n\;chữ\;số}{\underbrace{11…1}} – n\right) -9n \;\vdots\;9$ hay $ \underset{n\;chữ\;số}{\underbrace{11…1}} – 10n \;\vdots\;9.$

Ta có: $10^n+18n-1$ $= (10^n-1) + 18n$ = $ \underset{n\;chữ\;số}{\underbrace{999…9}} + 18n$ $= 9\cdot\underset{n\;chữ\;số}{\underbrace{1111..1}} -9n + 27n$ $= 9\cdot\left( \underset{n\;chữ\;số}{\underbrace{1111..1}} -n\right) + 27n$

Vì $ \left( \underset{n\;chữ\;số}{\underbrace{1111..1}} -n\right) \;\vdots\;9$ nên $ 9\cdot\left( \underset{n\;chữ\;số}{\underbrace{1111..1}} -n\right) \;\vdots\;27.$

Lại có $27n\;\vdots\;27$ vì tích có chứa thừa số $27.$

Suy ra: $ 9\cdot\left( \underset{n\;chữ\;số}{\underbrace{1111..1}} -n\right) + 27n $ chia hết cho $27.$

Vậy $10^n+18n-1$ chia hết cho $27.$