Chúng ta đã được học về ước và bội trong tập hợp số tự nhiên. Hôm nay, chúng ta học về ước và bội trong trong tập hợp số nguyên. Nhưng trước tiên, chúng ta cần nắm được khái niệm “chia hết” giữa hai số nguyên.
Phép chia hết
Cho hai số nguyên a và b (với b ≠ 0). Nếu phần số tự nhiên của a chia hết cho phần số tự nhiên của b thì ta nói số nguyên a chia hết cho số nguyên b.
Ví dụ 1: Các số (-25) và 5 có phần số tự nhiên lần lượt là 25 và 5. Mà 25 chia hết cho 5 nên số nguyên (-25) chia hết cho số nguyên 5.
Sau đây là cách thực hiện phép chia hết trong tập hợp số nguyên:
Sau đây là cách thực hiện phép chia hết trong tập hợp số nguyên:
Cách tính a : b
Cho số nguyên a chia hết cho số nguyên b. Khi đó, muốn tính a : b, ta làm hai bước:
🤔 Bước 1: Xác định dấu của a : b.
+) Nếu a và b cùng dấu thì a : b mang dấu dương ( + ).
+) Nếu a và b khác dấu thì a : b mang dấu âm ( – ).
🤔 Bước 2: Lấy phần số tự nhiên của a chia cho phần số tự nhiên của b, rồi đặt dấu đã tìm được ở Bước 1 vào trước kết quả.
Nhận xét: Các bước thực hiện phép chia gần giống với khi nhân hai số nguyên, ta chỉ thay đổi “nhân” thành “chia” mà thôi.
Ví dụ 2: Để tính (-45) : 9 ta làm hai bước:
Bước 1: Xác định dấu của (-45) : 9.
Ta thấy (-45) và 9 khác dấu nên (-45) : 9 mang dấu âm ( – ).
Bước 2:
Lấy phần số tự nhiên của (-45) chia cho phần số tự nhiên của 9, ta được: 45 : 9.
Đặt dấu đã tìm được ở Bước 1 vào kết quả, ta được: -(45 : 9).
Vậy (-45) : 9 = -(45 : 9) = -5.
Chú ý: Khi trình bày, ta chỉ cần ghi như sau:
(-45) : 9 = -(45 : 9) = -5.
Ví dụ 3: Để tính (-32) : (-2), ta làm hai bước:
Bước 1: Xác định dấu của (-32) : (-2).
Ta thấy (-32) và (-2) cùng dấu nên (-32) : 2 mang dấu dương ( + ).
Bước 2:
Lấy phần số tự nhiên của (-32) chia cho phần số tự nhiên của (-2), ta được: 32 : 2
Đặt dấu đã tìm được ở Bước 1 vào trước kết quả, ta được: +(32 : 2) hoặc có thể ghi là 32 : 2.
Vậy (-32) : (-2) = 32 : 2 = 16.
Chú ý: Khi trình bày, ta chỉ cần ghi:
(-32) : (-2) = 32 : 2 = 16.
Câu hỏi 1: Tính:
a) (-35) : 5;
b) 121 : (-11);
c) 64 : 8;
d) (-90) : (-2).
Giải
a) (-35) : 5 = -(35 : 5) = -7.
b) 121 : (-11) = -(121 : 11) = -12.
c) 64 : 8 = 8.
d) (-90) : (-2) = 90 : 2 = 45.
Chú ý
🤔 Nếu a : b = q thì các số nguyên a, b, q lần lượt được gọi là số bị chia, số chia và thương (giống như trong tập hợp số tự nhiên).
🤔 Nếu số nguyên a chia hết cho số nguyên b thì ta ký hiệu a ⋮ b (tương tự như trong tập hợp số tự nhiên).
🤔 Trong phép chia a : b thì b phải khác 0 (còn a thì được quyền bằng 0).
Ước và bội của một số nguyên
Cho hai số nguyên a và b (với b ≠ 0). Nếu a ⋮ b thì ta nói a là bội của b và b là ước của a.
Nhận xét:
🤔 Nếu a là bội của b thì -a cũng là bội của b.
Do đó, để tìm các bội của số nguyên b ( b ≠ 0), ta tìm các bội không âm của b cùng với các số đối của chúng.
🤔 Nếu b là ước của a thì -b cũng là ước của a.
Do đó, để tìm các ước của số nguyên a, ta tìm các ước dương của a cùng với các số đối của chúng.
Câu hỏi 2: Tìm tất cả các ước của 6.
Giải
Ta có các ước dương của 6 là 1; 2; 3; 6. Do đó, tất cả các ước của 6 là: 1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; -6.
Câu hỏi 3: Tìm tất cả các ước của -9.
Giải
Các ước dương của 9 là 1; 3; 9. Do đó, tất cả các ước của 9 là 1; -1; 3; -3; 9; -9.
Câu hỏi 4: Tìm các bội của 7.
Giải
Lần lượt nhân 7 với 0; 1; 2; 3; … ta được các bội không âm của 7 là 0; 7; 14; 21; … Do đó, các bội của 7 là 0; 7;; -7; 14; -14; 21; -21; …
Lưu ý
Ta nên sắp xếp các bội lại theo thứ tự từ nhỏ đến lớn để dễ quản lý:
…; -21; -14; -7; 0; 7; 14; 21; …
(Lưu ý phải có các dấu ba chấm ( … ) ở đầu và ở cuối)
Câu hỏi 5: Tìm các bội của 4 lớn hơn -20 và nhỏ hơn 20.
Giải
Các bội không âm của 4 là: 0; 4; 8; 12; 16; 20; …
Do đó, các bội của 4 là: …; -20; -16; -12; -8; -4; 0; 4; 8; 12; 16; 20; …
Suy ra, các bội của 4 lớn hơn -20 và nhỏ hơn 20 là: -16; -12; -8; -4; 0; 4; 8; 12; 16.
Bài tập áp dụng
Bài tập 1: Tính:
a) 312 : (-3);
b) (-425) : (-25);
c) (-630) : 90.
Bài tập 2: Tìm tất cả các ước của -15.
Bài tập 3: Tìm các bội của -5 lớn hơn -30 và nhỏ hơn 30.