Muốn kiểm tra hai phân số có bằng nhau hay không, ta có thể dựa vào Quy tắc bằng nhau của hai phân số sau đây:
Xét hai phân số $\Large \frac{a}{b}$ và $\Large \frac{c}{d}$.
🤔 (1) Nếu $\Large \frac{a}{b}$ = $\Large \frac{c}{d}$ thì $a \cdot d = b \cdot c$.
🤔 (2) Ngược lại, nếu $a \cdot d = b \cdot c$ thì $\Large \frac{a}{b}$ = $\Large \frac{c}{d}$.
Bây giờ ta đi lý giải quy tắc trên!!!
Chứng minh điều (1):
Cho $\Large \frac{a}{b}$ = $\Large \frac{c}{d}$. Cần chứng minh: $a \cdot d = b \cdot c$.
Đặt $\Large \frac{a}{b}$ = $x$. Suy ra:$a : b = x$, nên $a = x \cdot b$.
Vì ta đã có $\Large \frac{a}{b}$ = $\Large \frac{c}{d}$ nên $\Large \frac{c}{d}$ = $x$.
Suy ra: $c : d = x$, nên $c = x \cdot d$.
Vậy: $a \cdot d = (x \cdot b) \cdot d = b \cdot (x \cdot d) = b \cdot c$.
Tóm lại: $a \cdot d = b \cdot c$.
Chứng minh điều (2):
Cho $a \cdot d = b \cdot c$. Cần chứng minh: $\Large \frac{a}{b}$ = $\Large \frac{c}{d}$.
Đặt $\Large \frac{a}{b}$ = $x$. Ta cần chứng minh $\Large \frac{c}{d}$ = $x$.
(Khi đó ta có thể suy ra: $\Large \frac{a}{b}$ = $\Large \frac{c}{d}$ = $x$.)
Vì $\Large \frac{c}{d}$ = $c : d$ nên nếu muốn $\Large \frac{c}{d}$ = $x$ thì cần phải có: $c = d \cdot x$.
Vì $\Large \frac{a}{b}$ = $x$ nên $a : b = x$. Do đó: $a = x \cdot b$.
Mặt khác, ta đã có: $a \cdot d = b \cdot c$ nên $x\cdot b \cdot d = b \cdot c$.
Do đó: $x \cdot d = c$.