Chứng minh QUY TẮC BẰNG NHAU của PHÂN SỐ.
Muốn kiểm tra hai phân số có bằng nhau hay không, ta có thể dựa vào Quy tắc bằng nhau của hai phân số sau đây:
Xét hai phân số $\Large \frac{a}{b}$ và $\Large \frac{c}{d}$.
🤔 (1) Nếu $\Large \frac{a}{b}$ = $\Large \frac{c}{d}$ thì $a \cdot d = b \cdot c$.
🤔 (2) Ngược lại, nếu $a \cdot d = b \cdot c$ thì $\Large \frac{a}{b}$ = $\Large \frac{c}{d}$.
Bây giờ ta đi lý giải quy tắc trên!!!
Chứng minh điều (1):
Cho $\Large \frac{a}{b}$ = $\Large \frac{c}{d}$. Cần chứng minh: $a \cdot d = b \cdot c$.
Đặt $\Large \frac{a}{b}$ = $x$. Suy ra:$a : b = x$, nên $a = x \cdot b$.
Vì ta đã có $\Large \frac{a}{b}$ = $\Large \frac{c}{d}$ nên $\Large \frac{c}{d}$ = $x$.
Suy ra: $c : d = x$, nên $c = x \cdot d$.
Vậy: $a \cdot d = (x \cdot b) \cdot d = b \cdot (x \cdot d) = b \cdot c$.
Tóm lại: $a \cdot d = b \cdot c$.
Chứng minh điều (2):
Cho $a \cdot d = b \cdot c$. Cần chứng minh: $\Large \frac{a}{b}$ = $\Large \frac{c}{d}$.
Đặt $\Large \frac{a}{b}$ = $x$. Ta cần chứng minh $\Large \frac{c}{d}$ = $x$.
(Khi đó ta có thể suy ra: $\Large \frac{a}{b}$ = $\Large \frac{c}{d}$ = $x$.)
Vì $\Large \frac{c}{d}$ = $c : d$ nên nếu muốn $\Large \frac{c}{d}$ = $x$ thì cần phải có: $c = d \cdot x$.
Vì $\Large \frac{a}{b}$ = $x$ nên $a : b = x$. Do đó: $a = x \cdot b$.
Mặt khác, ta đã có: $a \cdot d = b \cdot c$ nên $x\cdot b \cdot d = b \cdot c$.
Do đó: $x \cdot d = c$.
