Cho các số tự nhiên a, b và m. Trong đó, m ≠ 0.
Chúng ta đã biết về hai tính chất chia hết của một tổng đã được học ở một bài học khác:
Tính chất 1: Nếu a ⋮ m và b ⋮ m thì (a+b) ⋮ m.
Tính chất 2: Nếu a ⋮̸ m và b ⋮ m thì (a+b) ⋮̸ m.
Bây giờ chúng ta sẽ đi giải thích lý do vì sao ta có hai tính chất vừa nêu.
Chứng minh tính chất chia hết 1
Cho a, b và m là các số tự nhiên (m ≠ 0), sao cho a ⋮ m và b ⋮ m.
Ta cần chứng minh rằng: (a+b) ⋮ m.
Theo định nghĩa về sự chia hết, ta thấy:
- vì a ⋮ m nên có một số tự nhiên ka sao cho a = m.ka
- vì b ⋮ m nên có một số tự nhiên kb sao cho b = m.kb
Bây giờ, để chứng minh (a+b) ⋮ m, ta phải đi tìm một số tự nhiên ka+b nào đó sao cho a+b = m.ka+b
Ta có: a+b = m.ka + m.kb = m.(ka+kb)
Đặt ka+b = ka+kb thì a+b = m.ka+b
Suy ra (a+b) ⋮ m
Chú ý rằng trong chứng minh vừa nêu thì ka+b là một số tự nhiên vì nó là tổng của hai số tự nhiên ka và kb.
Mở rộng: Bằng cách tương tự, (bạn hãy tự chứng minh ??!) ta cũng có tính chất tương tự cho một hiệu: Nếu a ⋮ m và b ⋮ m thì (a-b) ⋮ m
Chứng minh tính chất chia hết 2
Cho a, b và m là các số tự nhiên (m ≠ 0), sao cho a ⋮̸ m và b ⋮ m.
Ta cần chứng minh: (a+b) ⋮̸ m.
Vấn đề này phức tạp hơn, vì ta không có định nghĩa về “không chia hết”.
Để giải quyết, ta sẽ chứng minh bằng phương pháp phản chứng.
Giả sử (a+b) ⋮ m.
Suy ra, có một số ka+b sao cho a+b = m.ka+b
Mặt khác, vì b ⋮ m nên có một số kb sao cho b = m.kb
Vậy: a = m.ka+b – b = m.ka+b – m.kb = m.(ka+b – kb)
Đặt ka = ka+b – kb thì a = m.ka
Suy ra a ⋮ m. Điều này trái ngược với dữ kiện ban đầu là a ⋮̸ m → Mâu thuẫn!
Vậy (a+b) ⋮̸ m.
Chú ý: Trong chứng minh vừa rồi, ta vẫn chưa biết là khi đặt ka = ka+b – kb thì ka có là số tự nhiên hay không. (Bạn hãy chứng minh ka là một số tự nhiên ??!).
Gợi ý: ka là một số tự nhiên khi hiệu ka+b – kb tồn tại. Điều kiện để hiệu tồn tại trong phạm vi số tự nhiên là ka+b ≥ kb.
Xem Bài 6 – Phép trừ và phép chia để rõ hơn.