Giải Toán 6 (t1) [Chương 1] Bài 13 – BỘI CHUNG. BỘI CHUNG NHỎ NHẤT. (bộ Chân trời sáng tạo)

Giải

a) ĐÚNG

Vì 20 ⋮ 4 nên 20 là bội của 4.

Vì 20 ⋮ 10 nên 20 là bội của 10..

Vậy 20 vừa là bội của 4, lại vừa là bội của 10, nên 20 là một (trong những) bội chung của 4 và 10.

Suy ra “20[nbsp]∈[nbsp]BC(4,[nbsp]10)” là một khẳng định đúng.

b) SAI

Vì 36 ⋮̸ 14 nên 36 không phải là bội của 14.

Suy ra 36[nbsp]∉[nbsp]BC(14,[nbsp]18)

c) ĐÚNG

Vì 72 ⋮ 12 nên 72 là bội của 12.

Vì 72 ⋮ 18 nên 72 là bội của 18.

Vì 72 ⋮ 36 nên 72 là bội của 36.

Vậy 72 vừa là bội của 12, vừa là bội của 18, lại vừa là bội của 36 nên 72 là một (trong những) bội chung của 12; 18 và 36.

Suy ra “72[nbsp]∈[nbsp]BC(12[nbsp]18[nbsp]36)” là một khẳng định đúng.

Hướng dẫn

a) Về cách tìm bội của một số a (tức là tìm tập hợp B(a)), hãy click vào đây để xem lại.

b) Cách tìm bội chung của hai số a và b (tức là viết tập hợp BC(a; b)):

• Bước 1: Viết tập hợp các bội của a và các bội của b: B(a), B(b).
• Bước 2: Tìm những phần tử chung của B(a) và B(b).

Giải

a) B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36; 39; 42; 45; 48; 51…}

B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; 52…}

B(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72; 80;…}

b) Ta có:

B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36; 39; 42; 45; 48; 51; 54; 57; 60; 63; 66; …}

B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; 52; 56; 60; 64; …}

Do đó:

BC(3,[nbsp]4) = {0; 12; 24; 36; 48; 60; …}.

Tuy nhiên, đề yêu cầu viết tập hợp M các số tự nhiên nhỏ hơn 50 là bội chung của 3 và 4, nên:

M = {0; 12; 24; 36; 48}

c) Làm tương tự câu b), ta được:

K = {0; 24; 48}

Hướng dẫn

Bội chung nhỏ nhất của a và b (ký hiệu là BCNN(a,[nbsp]b)) là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp BC(a,[nbsp]b).

Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số mà ước chung lớn nhất của chúng bằng 1:

a và b nguyên tố cùng nhau nếu ƯCLN(a,[nbsp]b) = 1.

Giải

☀ Ta có:

B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; 52; 56; …}

B(7) = {0; 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63; 70; 77; …}

Suy ra: BC(4,[nbsp]7) = {0; 28; 56; … }

Do đó: BCNN(4,[nbsp]7)[nbsp]=[nbsp]28, vì 28 là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của 4 và 7.

☀ Muốn biết 4 và 7 có là hai số nguyên tố cùng nhau hay không, ta tìm ƯCLN(4,[nbsp]7). Nếu ƯCLN(4,[nbsp]7)[nbsp]=[nbsp]1 thì 4 và 7 nguyên tố cùng nhau; ngược lại, nếu ƯCLN(4,[nbsp]7)[nbsp]≠[nbsp]1 thì 4 và 7 không nguyên tố cùng nhau.

Ta có: 4 = 2² và 7 là một số nguyên tố.

Vậy khi phân tích 4 và 7 ra thừa số nguyên tố thì chúng không có thừa số nguyên tố chung.

Suy ra: ƯCLN(4,[nbsp]7)[nbsp]=[nbsp]1.

Do đó: 4 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Nhận xét

Ta thấy: BCNN(4,[nbsp]7) = 28[nbsp]=[nbsp]4[nbsp].[nbsp]7

Lại để ý 4 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Ta có điều tổng quát hơn sau đây:

“Nếu a và b là hai số nguyên tố cùng nhau thì BCNN(a,[nbsp]b)[nbsp]=[nbsp]a[nbsp].[nbsp]b (trong khi đó, ƯCLN(a,[nbsp]b)[nbsp]=[nbsp]1).

Hướng dẫn

Cách tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

• Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
• Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.
• Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó.

Giải

☀ Tìm BCNN(24,[nbsp]30):

B1 – Phân tích 24 và 30 ra thừa số nguyên tố:

• 24 = 2³ . 3;
• 30 = 2 . 3 . 5

B2 – Các thừa số nguyên tố chung và riêng là: 2; 3 và 5. Số mũ lớn nhất của 2 là 3, số mũ lớn nhất của 3 và của 5 là 1.

B3 – Lập tích các thừa số vừa chọn được, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó, ta được:

BCNN(24,[nbsp]30) =[nbsp]2³[nbsp].[nbsp]3[nbsp].[nbsp]5[nbsp]=[nbsp]120.

☀ Tìm BCNN(3,[nbsp]7,[nbsp]8):

B1 – Phân tích 3; 7 và 8 ra thừa số nguyên tố:

• 3 là số nguyên tố nên dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của nó là chính nó.
• 7 là số nguyên tố nên dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của nó là chính nó.
• 8 = 2³

B2 – Các thừa số nguyên tố chung và riêng là: 3; 7 và 2. Số mũ lớn nhất của 3 là 1, của 7 là 1 và của 2 là 3.

B3 – Lập tích các thừa số vừa chọn được, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó, ta được:

BCNN(3,[nbsp]7,[nbsp]8) =[nbsp]3[nbsp].[nbsp]7[nbsp]. 2³[nbsp]=[nbsp]168.

☀ Tìm BCNN(12,[nbsp]16,[nbsp]48):

B1 – Phân tích 12; 16 và 48 ra thừa số nguyên tố:

• 12 = 2² . 3
• 16 = 2⁴
• 48 = 2⁴ . 3

B2 – Các thừa số nguyên tố chung và riêng là: 2 và 3. Số mũ lớn nhất của 2 là 4, số mũ lớn nhất của 3 là 1.

B3 – Lập tích các thừa số vừa chọn được, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó, ta được:

BCNN(12,[thsp]16,[thsp]48) =[nbsp]2⁴[nbsp].[nbsp]3[nbsp]=[nbsp]48.

Nhận xét

☀ Các số 3; 7; 8 từng đôi một nguyên tố cùng nhau; trùng hợp với điều đó, ta lại có:

BCNN(3,[thsp]7,[thsp]8) =[nbsp]3[nbsp].[nbsp]7[nbsp].[nbsp]8[nbsp]=[nbsp]168

“Nếu các số đã cho từng đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN của chúng là tích của các số đó”.

☀ Số 48 là bội của 12 và 16; trùng hợp với điều đó, ta lại có:

BCNN(12,[thsp]16,[thsp]48)[nbsp]=[nbsp]48

“Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho chính là số lớn nhất ấy”.

Giải

☀ Tìm BCNN(2,[nbsp]5,[nbsp]9):

Ta có: ƯCLN(2,[nbsp]5) = 1 nên 2 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Tương tự, vì ƯCLN(5,[nbsp]9) = 1 nên 5 và 9 nguyên tố cùng nhau.

Vì ƯCLN(9,[nbsp]2) = 1 nên 9 và 2 nguyên tố cùng nhau.

Vậy các số 2; 5 và 9 từng đôi một nguyên tố cùng nhau.

Suy ra: BCNN(2,[nbsp]5,[nbsp]9) =[nbsp]2[nbsp].[nbsp]5[nbsp].[nbsp]9[nbsp]=[nbsp]90

☀ Tìm BCNN(10,[thsp]15,[thsp]30):

Ta có: 30 là bội của 10 và cũng là bội của 15.

Suy ra: BCNN(10,[nbsp]15,[nbsp]30)[nbsp]=[nbsp]30

Lưu ý

Bài giải trên đây chỉ là “cách làm tắt”, ngoài cách giải vừa nêu, ta vẫn có thể tìm BCNN bằng cách thông thường (với 3 bước như trong Thực hành 4).

Hướng dẫn

Muốn quy đồng mẫu số nhiều phân số, ta có thể làm như sau:

• Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu số (thường là BCNN) để làm mẫu số chung.
• Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu số (bằng cách chia mẫu số chung cho từng mẫu số riêng).
• Bước 3: Nhân tử và mẫu số của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.

Giải

1) Quy đồng mẫu số các phân số:

Bước 1: Tìm bội chung của các mẫu số: BCNN(12,[nbsp]30)[nbsp]=[nbsp]60

Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu số:

60[nbsp]:[nbsp]12[nbsp]=[nbsp]5 và 60[nbsp]:[nbsp]30[nbsp]=[nbsp]2

Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng:

BCNN(2,[nbsp]5,[nbsp]8)[nbsp]=[nbsp]40;

40[nbsp]:[nbsp]2[nbsp]=[nbsp]20; 40[nbsp]:[nbsp]5[nbsp]=[nbsp]8; 40[nbsp]:[nbsp]8[nbsp]=[nbsp]5

Do đó:

2) Thực hiện các phép tính:

Trước tiên, ta quy đồng mẫu số các phân số trước:

Ta có: BCNN(6,[nbsp]8)[nbsp]=[nbsp]24;

24[nbsp]:[nbsp]6[nbsp]=[nbsp]4; 24[nbsp]:[nbsp]8[nbsp]=[nbsp]3

Do đó:

Vậy:

Ta có: BCNN(24,[nbsp]30)[nbsp]=[nbsp]120

120[nbsp]:[nbsp]24[nbsp]=[nbsp]5; 120[nbsp]:[nbsp]30[nbsp]=[nbsp]4

Do đó:

Vậy:

Giải

a) Tìm BC(6,[nbsp]14)

Cách 1:

Ta có: B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; 60; 66; 72; 78; 84; 90; 96; 102; 108; 114; …}

B(14) = {0; 14; 28; 42; 56; 70; 84; 98; 112; …}

Suy ra: BC(6,[nbsp]14) = {0; 42; 84; …}

Cách 2:

Dựa vào nhận xét: “Tất cả các bội chung của a và b đều là bội của BCNN(a,[nbsp]b).”

Ta có: BCNN(6,[nbsp]14)[nbsp]=[nbsp]42

Suy ra: BC(6,[nbsp]14) = {0; 42; 84; 126;…} (là các bội của 42)

b) Tìm BC(6,[thsp]20,[thsp]30)

Cách 1:

Ta có: B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; 60; 66; 72; 78; 84; 90; 96; 102; 108; 114; 120; 124; …}

B(20) = {0; 20; 40; 60; 80; 100; 120; 140; …}

B(30) = {0; 30; 60; 90; 120; 150; …}

Suy ra: BC(6,[nbsp]20,[nbsp]30) = {0; 60; 120; …}

Cách 2:

Ta có: BCNN(6,[nbsp]20,[nbsp]30)[nbsp]=[nbsp]60

Suy ra: BC(6,[nbsp]20,[nbsp]30)[nbsp]=[nbsp]B(60)[nbsp]= {0; 60; 120; 180; 240;…}

c) BCNN(1,[thsp]6) = 6

d) Tìm BCNN(10,[thsp]1,[thsp]12)

Ta có: BCNN(10,[nbsp]1,[nbsp]12)[nbsp]=[nbsp]BCNN(10,[nbsp]12)

Phân tích 10 và 12 ra thừa số nguyên tố, ta được 10[nbsp]=[nbsp]2[nbsp].[nbsp]5 và 12[nbsp]=[nbsp]2²[nbsp].[nbsp]3

Suy ra: BCNN(10,[thsp]12) =[nbsp]2²[nbsp].[nbsp]3[nbsp].[nbsp]5[nbsp]=[nbsp]60.

Tóm lại: BCNN(10,[nbsp]1,[nbsp]12) = BCNN(10,[nbsp]12) = 60

e) Tìm BCNN(5,[thsp]14):

Ta có: ƯCLN(5,[nbsp]14) = 1 nên 5 và 14 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Suy ra: BCNN(5,[nbsp]14) =[nbsp]5[nbsp].[nbsp]14 =[nbsp]70

Giải

a) Tập hợp các bội của 48 là: A = {0; 48; 96; 144; 192;…}

Tập hợp BC(12,[nbsp]16) cũng chính là tập hợp A.

b) Tìm các tập hợp bội chung:

i. 24 và 30:

Ta có: 24[nbsp]=[nbsp]2³[nbsp].[nbsp]3 và 30[nbsp]=[nbsp]2[nbsp].[nbsp]3[nbsp].[nbsp]5

Suy ra: BCNN(24,[nbsp]30) =[nbsp]2³[nbsp].[nbsp]3[nbsp].[nbsp]5 =[nbsp]120

Các bội của BCNN(24,[nbsp]30) là các bội chung của 24 và 30, do đó:

BC(24,[thsp]30) = B(120) = {0; 120; 240; 360; 480; …}

ii. 42 và 60.

Ta có: 42[nbsp]=[nbsp]2[nbsp].[nbsp]3[nbsp].[nbsp]7 và 60[nbsp]=[nbsp]2²[nbsp].[nbsp]3[nbsp].[nbsp]5

Suy ra: BCNN(42,[nbsp]60) =[nbsp]2²[nbsp].[nbsp]3[nbsp].[nbsp]5[nbsp].[nbsp]7 =[nbsp]420

Các bội của BCNN(42,[nbsp]60) là các bội chung của 42 và 60, do đó:

BC(42,[thsp]60) = B(420) = {0; 420; 840; 1260;…}

iii. 60 và 150

Ta có: 60[nbsp]=[nbsp]2²[nbsp].[nbsp]3[nbsp].[nbsp]5 và 150[nbsp]=[nbsp]2[nbsp].[nbsp]3[nbsp].[nbsp]5²

Suy ra: BCNN(60,[nbsp]150) =[nbsp]2²[nbsp].[nbsp]3[nbsp].[nbsp]5² =[nbsp]300

Các bội của BCNN(60,[nbsp]150) là các bội chung của 60 và 150, do đó:

BC(60,[thsp]150) = B(300) =  {0; 300; 600; 900; 1200;…}

iv. 28 và 35

Ta có: 28[nbsp]=[nbsp]2²[nbsp].[nbsp]7 và 35[nbsp]=[nbsp]5[nbsp].[nbsp]7

Suy ra: BCNN(28,[nbsp]35) =[nbsp]2²[nbsp].[nbsp]5[nbsp].[nbsp]7 =[nbsp]140

Các bội của BCNN(28,[nbsp]35) là các bội chung của 28 và 35, do đó:

BC(28,[thsp]35) = B(140) =  {0; 140; 280; 420; 560;…}

Giải

a) Ta có: 16[nbsp]=[nbsp]2⁴ và 24[nbsp]=[nbsp]2³[nbsp].[nbsp]3

Suy ra: BCNN(16,[nbsp]24) =[nbsp]2⁴[nbsp].[nbsp]3[nbsp]=[nbsp]48

48 : 16 = 3 ; 48[nbsp]:[nbsp]24[nbsp]=[nbsp]2

Do đó:

b) Ta có: 20 = 2² . 5 ; 30[nbsp]=[nbsp]2[nbsp].[nbsp]3[nbsp].[nbsp]5 và 15[nbsp]=[nbsp]3[nbsp].[nbsp]5

Suy ra: BCNN(20,[nbsp]30,[nbsp]15) =[nbsp]2²[nbsp].[nbsp]3[nbsp].[nbsp]5 =[nbsp]60

60[nbsp]:[nbsp]20[nbsp]=[nbsp]3; 60[nbsp]:[nbsp]30[nbsp]=[nbsp]2; 60[nbsp]:[nbsp]15[nbsp]=[nbsp]4

Do đó:

Giải

a) Ta có: BCNN(15,[nbsp]10)[nbsp]=[nbsp]30

30[nbsp]:[nbsp]15[nbsp]=[nbsp]2 ; 30[nbsp]:[nbsp]10[nbsp]=[nbsp]3

Do đó:

Vậy:

b) Ta có: BCNN(6,[nbsp]9,[thsp]12)[nbsp]=[nbsp]36

36 : 6 = 6 ; 36[nbsp]:[nbsp]9[nbsp]=[nbsp]4 ; 36[nbsp]:[nbsp]12[nbsp]=[nbsp]3

Do đó:

Vậy:

c) Ta có: BCNN(24,[nbsp]21)[nbsp]=[nbsp]168

168 : 24 = 7 ; 168[nbsp]:[nbsp]21[nbsp]=[nbsp]8

Do đó:

Vậy:

d) Ta có: BCNN(36,[nbsp]24)[nbsp]=[nbsp]72

72 : 36 = 2 ; 72[nbsp]:[nbsp]24[nbsp]=[nbsp]3

Do đó:

Vậy:

Giải

Nếu chị Hòa bó số bông mình có thành các bó gồm 3 bông, 5 bông, hay 7 bông thì đều vừa hết.

Suy ra: số bông chị Hòa có sẽ chia hết cho 3, chia hết cho 5 và chia hết cho 7.

Do đó: số bông chị Hòa có là bội chung của 3; 5 và 7.

Ta có: 3; 5; 7 là các số nguyên tố cùng nhau, nên:

BCNN(3,[nbsp]5,[nbsp]7) =[nbsp]3[nbsp].[nbsp]5[nbsp].[nbsp]7 =[nbsp]105

Suy ra: BC(3,[nbsp]5,[nbsp]7) = B(105) = {0; 105; 210; 315;…}

Mặt khác, theo đề bài, chị Hòa có khoảng từ 200 đến 300 bông.

Do đó, chị Hòa có 210 bông sen.