Sau đây là Hướng dẫn và lời giải chi tiết các bài tập của Bài tập ôn tập cuối năm, trong sách giáo khoa môn Toán lớp 6 – tập 2, thuộc bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống.
Số và Đại số
Bài tập 1 (Trang 108 / Toán 6 – tập 2 / Kết nối tri thức) Số tự nhiên $n$ có sáu chữ số phân biệt, hai chữ số cạnh nhau luôn là hai số tự nhiên liên tiếp. Hãy tìm số $n,$ biết rằng trong sáu chữ số của nó, chữ số $4$ có giá trị bằng $4\;000.$ Em tìm được mấy số như vậy?
Giải
Vì chữ số $4$ có giá trị bằng $4\;000$ nên nó nằm ở hàng nghìn.
Mặt khác, số $n$ có sáu chữ số nên nó có dạng: $\overline{ab4def},$ với $a, b, d, e, f$ là các số tự nhiên và $a$ khác $0.$
Vì hai chữ số cạnh nhau là hai số tự nhiên liên tiếp nên $d = 3$ hoặc $d = 5$.
+) Nếu $d = 3$:
Vì sáu chữ số là phân biệt (tức là khác nhau) và hai chữ số cạnh nhau luôn là hai số tự nhiên liên tiếp nên: $e = 2,$ $f = 1,$ $b = 5,$ $a = 6.$
Do đó, số tự nhiên $n$ là $654\;321$
+) Nếu $d = 5$:
Vì sáu chữ số là phân biệt (tức là khác nhau) và hai chữ số cạnh nhau luôn là hai số tự nhiên liên tiếp nên: $e = 6,$ $f = 7,$ $b = 3,$ $a = 2.$
Do đó, số tự nhiên $n$ là $234\;567$
Tóm lại: ta đã tìm được hai số $n$ thỏa mãn đề bài là: $654\;321$ và $234\;567.$
Bài tập 2 (Trang 108 / Toán 6 – tập 2 / Kết nối tri thức) Hai bạn An và Bình mua một số sách. Khi trả tiền, Bình nhận thấy An đưa cho người bán hàng $2$ tờ $100$ nghìn đồng, $4$ tờ $10$ nghìn đồng và $6$ tờ $1$ nghìn đồng. Hãy biểu diễn số tiền sách (đơn vị nghìn đồng) mà An đã trả dưới dạng tổng giá trị các chữ số của nó rồi so sánh với số tờ các loại tiền mà An dùng để trả và nêu nhận xét.
Giải
Số tiền sách mà An đã trả là:
$2\cdot 100 + 4\cdot 10 + 6 = 246$ (nghìn đồng)
Nhận xét: Số tờ các loại tiền mà An dùng để trả chính là các chữ số của số tiền sách.
Bài tập 3 (Trang 108 / Toán 6 – tập 2 / Kết nối tri thức) Tính giá trị của các biểu thức sau rồi phân tích kết quả ra thừa số nguyên tố.
$\mathbf{a)}\; 160 – (2^3 \cdot 5^2 -6 \cdot 25);$
$\mathbf{b)}\; 37 \cdot 3 + 225 : 15^2;$
$\mathbf{c)}\; 5\;871 : 103 – 64 : 2^5;$
$\mathbf{d)}\; (1+2+3+4+5+6+7+8)\cdot 5^2 -850 : 2.$
Giải
$\mathbf{a)}\; 160 – (2^3 \cdot 5^2 -6 \cdot 25)$
$\;\;\; = 160 – (8 \cdot 25 – 6 \cdot 25)$
$\;\;\; = 160 – 25 \cdot (8 – 6)$
$\;\;\; = 160 – 25 \cdot 2$
$\;\;\; = 160 – 50 = 110$
Phân tích ra thừa số nguyên tố: $110 = 2 \cdot 5 \cdot 11$
$\mathbf{b)}\; 37 \cdot 3 + 225 : 15^2$
$\;\;\;= 37 \cdot 3 + 225 : 225$
$\;\;\; = 111 + 1 = 112$
Phân tích ra thừa số nguyên tố: $112 = 2^4 \cdot 7$
$\mathbf{c)}\; 5\;871 : 103 – 64 : 2^5$
$\;\;\; = 5\;871 : 103 – 64 : 32$
$\;\;\; = 57 – 2 = 55$
Phân tích ra thừa số nguyên tố: $55 = 5 \cdot 11$
$\mathbf{d)}\; (1+2+3+4+5+6+7+8)\cdot 5^2 -850 : 2$
Ta có:
$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8$
$= (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6 ) + (4 + 5)$
$= 9 + 9 + 9 + 9$
$= 9 \cdot 4 = 36$
Do đó:
$(1+2+3+4+5+6+7+8)\cdot 5^2 -850 : 2$
$= 36 \cdot 5^2 – 850 : 2$
$= 36 \cdot 25 – 850 : 2$
$= 900 – 425 = 475$
Phân tích ra thừa số nguyên tố: $475 = 5^2 \cdot 19$
Bài tập 4 (Trang 108 / Toán 6 – tập 2 / Kết nối tri thức) Một phân xưởng có $30$ công nhân. Dự kiến mỗi giờ mỗi công nhân làm được $100$ sản phẩm. Khi đó phân xưởng sẽ hoàn thành một đơn hàng trong $24$ giờ. Hãy viết biểu thức số biểu thị (không cần tính giá trị của biểu thức):
a) Tổng số sản phẩm mà phân xưởng phải hoàn thành theo đơn hàng;
b) Số sản phẩm mà mỗi công nhân phải làm để hoàn thành đơn hàng.
Giải
a) Mỗi giờ phân xưởng làm được: $30 \cdot 100$ sản phẩm.
Tổng số sản phẩm mà phân xưởng hoàn thành theo đơn hàng là: $24 \cdot 30 \cdot 100$ (sản phẩm).
b) Số sản phẩm mà mỗi công nhân phải làm để hoàn thành đơn hàng là: $24 \cdot 100$ (sản phẩm)
Bài tập 5 (Trang 108 / Toán 6 – tập 2 / Kết nối tri thức) Khoảng $3\; 000$ người tham gia một lễ niệm. Nếu họ xếp hàng $7,$ hàng $8,$ hàng $9$ hay hàng $10$ thì đều còn dư ra $6$ người. Hỏi chính xác có bao nhiêu người tham gia?
Giải
Giả sử chính xác số người tham gia lễ kỷ niệm là $n$ $(n\in \mathbb{N}^*, n \leq 3\;000).$
Ta có $n$ chia $7, 8, 9$ và $10$ đều dư $6,$ nên $n – 6$ chia hết cho $7, 8, 9$ và $10.$
Suy ra $n – 6$ chia hết cho $BCNN(7, 8, 9, 10).$
Ta có $BCNN(7, 8, 9, 10) = 7 \cdot 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 2\;520$
Từ đó suy ra $n – 6 = 2\;520$ hay $n = 2\;520 + 6 = 2\;526$
Vậy chính xác có $2\;526$ người tham gia.
Bài tập 6 (Trang 108 / Toán 6 – tập 2 / Kết nối tri thức) Tính giá trị của các biểu thức sau (tính hợp lý, nếu có thể):
$$\mathbf{a)}\; \frac{-3}{7} \cdot \frac{2}{5} + \frac{2}{5} \cdot \left( -\frac{5}{14} \right) – \frac{18}{35}$$
$$\mathbf{b)}\; \left( \frac{2}{3} – \frac{5}{11} + \frac{1}{4} \right) : \left(1 + \frac{5}{12} – \frac{7}{11} \right)$$
$$\mathbf{c)}\; (13,6 – 37,8) \cdot (-3,2)$$
$$\mathbf{d)}\; (-25,4) \cdot (18,5 + 43,6 – 16,8) : 12,7$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; \frac{-3}{7} \cdot \frac{2}{5} + \frac{2}{5} \cdot \left( -\frac{5}{14} \right) – \frac{18}{35}$$
$$\;\;\; = \frac{-3}{7} \cdot \frac{2}{5} + \frac{2}{5} \cdot \frac{-5}{14} – \frac{18}{35} $$
$$\;\;\; = \frac{2}{5} \cdot \left( \frac{-3}{7} + \frac{-5}{14} \right) – \frac{18}{35}$$
$$\;\;\; = \frac{2}{5} \cdot \left( \frac{-6}{14} + \frac{-5}{14} \right) – \frac{18}{35}$$
$$\;\;\; = \frac{2}{5} \cdot \frac{-11}{14} – \frac{18}{35}$$
$$\;\;\; = \frac{-11}{35} – \frac{18}{35}$$
$$\;\;\; = \frac{-29}{35}$$
$$\mathbf{b)}\; \left( \frac{2}{3} – \frac{5}{11} + \frac{1}{4} \right) : \left(1 + \frac{5}{12} – \frac{7}{11} \right)$$
$$\;\;\; = \left( \frac{88}{132} – \frac{60}{132} + \frac{33}{132} \right) : \left(\frac{132}{132} + \frac{55}{132} – \frac{84}{132} \right)$$
$$\;\;\; = \frac{61}{132} : \frac{103}{132}$$
$$\;\;\;= \frac{61}{132} \cdot \frac{132}{103}$$
$$\;\;\;= \frac{61}{103}$$
$$\mathbf{c)}\; (13,6 – 37,8) \cdot (-3,2)$$
$$\;\;\; = (-24,2) \cdot (-3,2) = 77,44$$
$$\mathbf{d)}\; (-25,4) \cdot (18,5 + 43,6 – 16,8) : 12,7$$
$$\;\;\;= (-25,4) \cdot 45,3 : 12,7$$
$$\;\;\; = (-2) \cdot 45,3$$
$$\;\;\;= -90,6$$
Bài tập 7 (Trang 108 / Toán 6 – tập 2 / Kết nối tri thức) Tính giá trị của các biểu thức sau (tính hợp lý, nếu có thể):
$$\mathbf{a)}\; \left( \frac{7}{3} + 3,5 \right) : \left( -\frac{25}{6} + \frac{22}{7} \right) + 0,5$$
$$\mathbf{b)}\; \frac{38}{7} + (-3,25) – \frac{17}{7} + 4,55$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; A = \left( \frac{7}{3} + 3,5 \right) : \left( -\frac{25}{6} + \frac{22}{7} \right) + 0,5$$
Ta có:
$$\frac{7}{3} + 3,5 = \frac{7}{3} + \frac{7}{2}$$
$$\;\;\; = 7\cdot \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right) = \frac{7 \cdot 5}{6}$$
$$-\frac{25}{6} + \frac{22}{7} = $$
$$\;\;\; = -4 + \frac{-1}{6} + 3 + \frac{1}{7}$$
$$\;\;\; = -1 – \frac{1}{42} = \frac{-43}{42}$$
Suy ra:
$$A = \frac{7 \cdot 5}{6} : \frac{-43}{42} + 0,5$$
$$\;\;\; = \frac{7\cdot 5}{6} \cdot \frac{-42}{43} + \frac{1}{2}$$
$$\;\;\; = \frac{-245}{43} + \frac{1}{2} = \frac{-447}{86}$$
$$\mathbf{b)}\; \frac{38}{7} + (-3,25) – \frac{17}{7} + 4,55$$
$$\;\;\; = \left(\frac{38}{7} – \frac{17}{7} \right) + ( 4,55 – 3,25)$$
$$\;\;\; = \frac{21}{7} + 1,3$$
$$\;\;\; = 3 + 1,3 = 4,3$$
Bài tập 8 (Trang 108 / Toán 6 – tập 2 / Kết nối tri thức) Tìm $x,$ biết:
$$\mathbf{a)}\; x : 1\frac{2}{7} = -3,5;$$
$$\mathbf{b)} \; 0,4 \cdot x – \frac{1}{5} \cdot x = \frac{3}{4}$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; x : 1\frac{2}{7} = -3,5;$$
$$x : \frac{9}{7} = \frac{-7}{2}$$
$$x = \frac{-7}{2} \cdot \frac{9}{7}$$
$$x = \frac{-9}{2} = -4,5$$
$$\mathbf{b)} \; 0,4 \cdot x – \frac{1}{5} \cdot x = \frac{3}{4}$$
$$x \cdot \left( 0,4 – \frac{1}{5} \right) = \frac{3}{4}$$
$$x \cdot \left(\frac{2}{5} – \frac{1}{5} \right) = \frac{3}{4}$$
$$x \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{4}$$
$$x = \frac{3}{4} : \frac{1}{5}$$
$$x = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{1} = \frac{15}{4}$$
Bài tập 9 (Trang 109 / Toán 6 – tập 2 / Kết nối tri thức) Bốn thửa ruộng thu hoạch được tất cả $10,5$ tấn thóc. Số thóc thu hoạch ở ba thửa ruộng đầu lần lượt bằng $0,2;$ $15\%$ và $\frac{2}{7}$ tổng số thóc thu được ở cả bốn thửa ruộng. Tính số thóc thu được ở thửa ruộng thứ tư.
Giải
Ta có:
$$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}; 15\% = \frac{15}{100} = \frac{3}{20}$$
Số thu được ở thửa rộng thứ tư bằng:
$1 – \left(\frac{1}{5} + \frac{3}{20} + \frac{2}{7} \right) = \frac{51}{140}$ (tổng số thóc ở cả bốn thửa ruộng)
Vì vậy, số thóc thu được ở thửa ruộng thứ tư là:
$\frac{51}{140} \cdot 10,5 = 3,825$ (tấn)
Bài tập 10 (Trang 109 / Toán 6 – tập 2 / Kết nối tri thức) Một người bán một tấm vải. Ngày thứ nhất, người đó bán được $25\%$ tấm vải và $15\; m;$ ngày thứ hai bán được $\frac{1}{3}$ số vải còn lại sau ngày thứ nhất và còn lại $28\; m.$ Hỏi tấm vải đó dài bao nhiêu mét?
Giải
Ngày thứ hai bán được $\frac{1}{3}$ số vải còn lại sau ngày thứ nhất và còn lại $28\; m.$
Số vải còn lại sau ngày thứ nhất là:
$$28 : \left( 1 – \frac{1}{3} \right) = 28 : \frac{2}{3} = 42 \;(m)$$
Đổi $25\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}.$
Chiều dài tấm vải ban đầu là:
$$(42 + 15) : \left(1 -\frac{1}{4}\right) = 57 : \frac{3}{4} = 76 \;(m)$$
Hình học và đo lường
Bài tập 11 (Trang 109 / Toán 6 – tập 2 / Kết nối tri thức) Có tất cả bao nhiêu đường thẳng đi qua ít nhất 2 trong 5 điểm dưới đây? Em hãy kể tên các đường thẳng đó.
Giải
Có 5 đường thẳng. Đó là các đường thẳng: AB, CB, DB, EB, AE.
Bài tập 12 (Trang 109 / Toán 6 – tập 2 / Kết nối tri thức) Một mảnh đất hình chữ nhật có kích thước $50\;m \times 30\;m.$ Trên mảnh đất đó, người ta làm một lối đi xung quanh rộng $2\;m,$ diện tích còn lại dùng để trồng rau. Hỏi diện tích trồng rau là bao nhiêu mét vuông?
Giải
Diện tích trồng rau là một hình chữ nhật có:
- Chiều rộng là: $30 – 2\cdot 2 = 26\;(m);$
- Chiều dài là: $50 – 2\cdot 2 = 46\;(m);$
Do đó, diện tích trồng rau là: $26 \cdot 46 = 1\;196\;(m^2)$
Bài tập 13 (Trang 109 / Toán 6 – tập 2 / Kết nối tri thức)
a) Em hãy vẽ một tam giác tuỳ ý rồi dùng thước đo góc để đo các góc của tam giác đó;
b) Tính tổng số đo của ba góc vừa đo và so sánh với kết quả của các bạn khác.
Giải
a) HS tự vẽ tam giác và đo các góc của tam giác đó bằng thước đo góc (đo độ).
b) Tổng số đo của ba góc trong một tam giác bất kỳ luôn bằng 180o.
Thống kê và xác suất
Bài tập 14 (Trang 109 / Toán 6 – tập 2 / Kết nối tri thức) Hai người cùng chơi một trò chơi như sau: mỗi người chơi lần lượt quay một tấm bìa có gắn một mũi tên ở tâm (như hình vẽ bên dưới).
Nếu mũi tên chỉ vào số chẵn thì người chơi đầu thắng, nếu mũi tên chỉ vào số lẻ thì người chơi sau thắng.
a) Em và bạn quay miếng bìa 20 lần. Ghi lại xem trong 20 lần chơi có bao nhiêu lần em thắng, bao nhiêu lần bạn em thắng.
b) Tính xác suất thực nghiệm của các sự kiện: “Em thắng”, “Bạn em thắng”.
c) Vẽ biểu đồ cột biểu diễn số lần thắng của mỗi người.
Giải
a) Hai HS tự tiến hành chơi trò chơi 20 lần.
b) Giả sử em thắng 9 lần và bạn em thắng 11 lần. Khi đó, xác suất thực nghiệm:
- của sự kiện “Em thắng” là: $\frac{9}{20}$
- của sự kiện “Bạn em thắng” là: $\frac{11}{20}$
c) Biểu đồ cột (với ví dụ em thắng 9 lần và bạn em thắng 11 lần):
