Phép nhân và phép chia phân số.
Khi cộng và trừ phân số, ta thường phải quy đồng mẫu số. Nhưng khi nhân và chia phân số, ta không cần quy đồng mẫu số.
Cách NHÂN phân số
🤔 Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau:
$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$
Ví dụ 1:
$$\frac{2}{5} \cdot \frac{7}{3}= \frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 3} = \frac{14}{15}$$
$$\frac{-1}{3} \cdot \frac{-5}{2} = \frac{(-1) \cdot (-5)}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6}$$
Câu hỏi 1: Tính:
$$\mathbf{a)}\; \frac{-7}{9} \cdot \frac{2}{3}$$
$$\mathbf{b)}\; \frac{-5}{12} \cdot \frac{1}{-2}$$
$$\mathbf{c)}\; \frac{7}{6} \cdot (-5)$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; \frac{-7}{9} \cdot \frac{2}{3} = \frac{(-7) \cdot 2}{9 \cdot 3} = \frac{-14}{27}$$
$$\mathbf{b)}\; \frac{-5}{12} \cdot \frac{1}{-2} = \frac{(-5) \cdot 1}{12 \cdot (-2)} = \frac{-5}{-24}$$
$$\mathbf{c)}\; \frac{7}{6} \cdot (-5) = \frac{7}{6} \cdot \frac{-5}{1} = \frac{-35}{6}$$
Ta có:
$$m \cdot \frac{a}{b} = \frac{m}{1} \cdot \frac{a}{b} = \frac{m \cdot a}{b}$$
$$\frac{a}{b} \cdot n = \frac{a}{b} \cdot \frac{n}{1} = \frac{a \cdot n}{b}$$
Do đó, ta rút ra nhận xét:
🤔 Muốn nhân một số nguyên với một phân số (hoặc một phân số với một số nguyên), ta nhân số nguyên với tử của phân số và giữ nguyên mẫu của phân số đó.
Ví dụ 2:
$$7 \cdot \frac{5}{6} = \frac{7 \cdot 5}{6} = \frac{35}{6}$$
$$\frac{-13}{5} \cdot (-11) = \frac{(-13) \cdot (-11)}{5} = \frac{141}{5}$$
Câu hỏi 2: Tính tích và viết kết quả ở dạng phân số tối giản:
$$\mathbf{a)}\; 12 \cdot \frac{-7}{6}$$
$$\mathbf{b)}\; \frac{4}{-9} \cdot (-3)$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; 12 \cdot \frac{-7}{6} = \frac{12 \cdot (-7)}{6} = \frac{-84}{6} = -14$$
$$\mathbf{b)}\; \frac{4}{-9} \cdot (-3) = \frac{4 \cdot (-3)}{-9} = \frac{-12}{-9} = \frac{4}{3}$$
Rút gọn (đơn giản) tích
Chia số ở tử và số ở mẫu (trong tích các phân số) cho cùng một số nguyên để đơn giản tích đó.
Ví dụ 3: Quan sát tích: $\Large \frac{2}{5} \cdot \frac{10}{3}$.
Phía trên tử gồm các số 2 và 10. Phía dưới mẫu gồm các số 5 và 3.
Số 10 (ở tử) và số 5 (ở mẫu) đều chia hết cho 5, nên ta sẽ chia cả hai số này cho 5 để đơn giản tích.
$$\frac{2}{\mathbf{5}} \cdot \frac{\mathbf{10}}{3} = \frac{2}{\mathbf{1}} \cdot \frac{\mathbf{2}}{3}$$
$$=\frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{4}{3}$$
Câu hỏi 3: Đơn giản tích:
$$\mathbf{a)}\; \frac{7}{8} \cdot \frac{4}{21}$$
$$\mathbf{b)}\; \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{5} \cdot {4}{3}$$
$$\mathbf{c)}\; \frac{-2}{15} \cdot \frac{6}{-7} \cdot \frac{5}{4}$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; \frac{7}{8} \cdot \frac{4}{21} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$$
$$= \frac{1}{6}$$
$$\mathbf{b)}\; \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{5} \cdot {4}{3}$$
$$= \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{5}$$
$$\mathbf{c)}\; \frac{-2}{15} \cdot \frac{6}{-7} \cdot \frac{5}{4}$$
$$= \frac{-1}{1} \cdot \frac{1}{-7} \cdot \frac{5}{1}$$
$$= \frac{-5}{-7} = \frac{5}{7}$$
Tính chất của phép nhân phân số
Tính chất của phép nhân phân số giống với tính chất của phép nhân số tự nhiên:
🤔 Phép nhân phân số cũng có các tính chất: giao hoán, kết hợp, nhân với số 1, phân phối của phép nhân đối với phép cộng và phép trừ.
Câu hỏi 4: Tính một cách hợp lý:
$$\frac{7}{20} \cdot \left(\frac{-4}{21} – \frac{8}{3}\right)$$
Giải
$$\frac{7}{20} \cdot \left(\frac{-4}{21} – \frac{8}{3}\right)$$
$$=\frac{7}{20} \cdot \frac{-4}{21} – \frac{7}{20} \cdot \frac{8}{3}$$
$$= \frac{1 \cdot (-1)}{5 \cdot 3} – \frac{7 \cdot 2}{5 \cdot 3}$$
$$= \frac{-1}{15} – \frac{14}{15}$$
$$= \frac{(-1) – 14}{15} = \frac{-15}{15} = -1$$
Cách CHIA phân số
🤔 Muốn chia một phân số cho một phân số khác 0, ta nhân số bị chia với phân số nghịch đảo của số chia.
$$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$$
Ví dụ 4:
$$\frac{2}{3} : \frac{5}{6} = \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{5}$$
$$= \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$$
Câu hỏi 5: Tính:
$$\mathbf{a)}\; \frac{-6}{5} : \frac{4}{3}$$
$$\mathbf{b)}\; \frac{-5}{6} : \frac{-7}{8}$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; \frac{-6}{5} : \frac{4}{3} = \frac{-6}{5} \cdot \frac{3}{4}$$
$$=\frac{-18}{20} = \frac{-9}{10}$$
$$\mathbf{b)}\; \frac{-5}{6} : \frac{-7}{8} = \frac{-5}{6} \cdot \frac{8}{-7}$$
$$= \frac{-40}{-42} = \frac{20}{21}$$
🤔 Ta thực hiện phép chia giữa phân số với số nguyên bằng cách viết số nguyên dưới dạng phân số.
Câu hỏi 6: Tính:
$$\mathbf{a)}\; \frac{9}{-13} : 3$$
$$\mathbf{b)}\; (-28) : \frac{-7}{5}$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; \frac{9}{-13} : 3 = \frac{9}{-13} : \frac{3}{1}$$
$$= \frac{9}{-13} \cdot \frac{1}{3} = \frac{9}{-39}$$
$$\mathbf{b)}\; (-28) : \frac{-7}{5} = \frac{-28}{1} \cdot \frac{5}{-7}$$
$$\frac{4}{1} \cdot \frac{5}{1} = 20$$
🤔 Thứ tự thực hiện phép tính trong một biểu thức có chứa phân số giống với khi thực hiện với các số tự nhiên.
Câu hỏi 7: Tính:
$$\mathbf{a)}\; \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{2}{5} : \frac{3}{4}$$
$$\mathbf{b)}\; \frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-4}{3} – \frac{2}{3}\right) : \frac{7}{-5}$$
Giải
$$\mathbf{a)}\; \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{2}{5} : \frac{3}{4}$$
$$= \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 5} + \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{3}$$
$$= \frac{1}{15} + \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 3}$$
$$= \frac{1}{15} + \frac{8}{15}$$
$$=\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$$
$$\mathbf{b)}\; \frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-4}{3} – \frac{2}{3}\right) : \frac{7}{-5}$$
$$= \frac{-1}{6} \cdot \frac{(-4) -2}{3} : \frac{7}{-5}$$
$$= \frac{-1}{6} \cdot \frac{-6}{3} : \frac{7}{-5}$$
$$= \frac{(-1) \cdot (-6)}{6 \cdot 3} : \frac{7}{-5}$$
$$= \frac{1}{3} : \frac{7}{-5}$$
$$= \frac{1}{3} \cdot \frac{-5}{7}$$
$$= \frac{-5}{21}$$
