$\S\;$ 1.11. TÍNH MỘT CÁCH HỢP LÝ.
Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng, phép nhân
Trong một tổng hoặc một tích nhiều số hạng, ta có quyền đổi chỗ và nhóm các số để được các giá trị tròn chục, tròn trăm, … (áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng, phép nhân).
Ví dụ 1: Tính một cách hợp lý:
a) $1+3+5+7+9.$
b) $25\cdot 2\;022\cdot 4.$
Giải:
a) $1+3+5+7+9$ $=(1+9)+(3+7)+5$ $=10+10+5$ $=25.$
b) $25\cdot 2\;022\cdot 4$ $=(25\cdot 4)\cdot 2\;022$ $=100\cdot 2\;022$ $=202\;200.$
Ví dụ 2: Tính nhanh: $2\cdot 3\cdot 5+4\cdot 2\cdot 25+70.$
Hướng dẫn: Theo thứ tự thực hiện các phép tính, ta phải tính các cụm phép nhân trước (tức là $2\cdot 3\cdot 5$ và $4\cdot 2\cdot 25).$ Ở mỗi cụm phép nhân đó, ta đổi chỗ và nhóm các thừa số để được các giá trị tròn chục, tròn trăm, …
Cụ thể: $2\cdot 3\cdot 5=(2\cdot 5)\cdot 3=10\cdot 3=30$ và $4\cdot 2\cdot 25=(4\cdot 25)\cdot 2=100\cdot 2=200.$
Giải: Ta có: $2\cdot 3\cdot 5=(2\cdot 5)\cdot 3=10\cdot 3=30$ và $4\cdot 2\cdot 25=(4\cdot 25)\cdot 2=100\cdot 2=200.$
Do đó: $2\cdot 3\cdot 5+4\cdot 2\cdot 25+70$ $=30+200+70$ $=(30+70)+200$ $=100+200$ $=300.$
Lưu ý: Ta có thể trình bày bài giải theo cách như sau:
$2\cdot 3\cdot 5+4\cdot 2\cdot 25+70$ $=(2\cdot 5)\cdot 3+(4\cdot 25)\cdot 2+70$ $=10\cdot 3+100\cdot 2+70$ $=30+200+70$ $=(30+70)+200$ $=100+200=300.$
Ví dụ 3: Tính nhẩm: $3\cdot 16\cdot 125.$
Hướng dẫn: Ta đã biết $8\cdot 125=1\;000.$ Vậy ta tách $16=2\cdot 8$ để xuất hiện số $8$ (nhằm kết hợp với số $125$ phía sau).
Giải: $3\cdot 16\cdot 125$ $=3\cdot(2\cdot 8)\cdot 125$ $=(3\cdot 2)\cdot(8\cdot 125)$ $=6\cdot 1\;000$ $=6\;000.$
Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng (hoặc phép trừ)
Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng (hoặc phép trừ): $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c;$ $a\cdot(b-c)=a\cdot b-a\cdot c.$
Ví dụ 4: Tính một cách hợp lý:
a) $8\cdot 111+14\cdot 8.$
b) $2023\cdot 194-2023\cdot 94.$
Giải:
a) $8\cdot 111+14\cdot 8$ $=8\cdot(111+14)$ $=8\cdot 125$ $=1\;000.$
b) $2023\cdot 194-2023\cdot 94$ $=2023\cdot(194-94)$ $=2023\cdot 100$ $=202\;300.$
Lưu ý: Cách làm như $8\cdot 111+14\cdot 8=8\cdot(111+14)$ và $2023\cdot 194-2023\cdot 94=2023\cdot(194-94)$ được gọi là “đặt thừa số chung” (các tích $8\cdot 111$ và $14\cdot 8$ có thừa số chung là $8;$ tương tự, các tích $2023\cdot 194$ và $2023\cdot 94$ có thừa số chung là $2023).$
Ví dụ 5: Tính nhanh:
a) $17\cdot 3^2+17-50.$
b) $23\cdot 12+12\cdot 2.$
Giải:
a) $17\cdot 3^2+17-50$ $=17\cdot 9+17\cdot 1-50$ $=17\cdot(9+1)-50$ $=17\cdot 10-50$ $=170-50$ $=120.$
b) $23\cdot 36+36\cdot 2$ $=36\cdot(23+2)$ $=36\cdot 25$ $=(9\cdot 4)\cdot 25$ $=9\cdot(4\cdot 25)$ $=9\cdot 100$ $=900.$
Bài tập:
Tính một cách hợp lý (các bài tập từ 1 đến 6):
1)- a) $23+89+77.$
b) $8\cdot 17\cdot 125.$
c) $135+340+65+160.$
d) $5\cdot 4\cdot 27\cdot 25\cdot 2.$
2)- a) $2\cdot 3\cdot 5+25\cdot 8\cdot 4+70+4\cdot 2\cdot 25.$
b) $8\cdot 25+14\cdot 5.$
3)- a) $58\cdot 75+58\cdot 50-58\cdot 25.$
b) $37\cdot 30+8\cdot 60+37\cdot 70+8\cdot 40.$
c) $37\cdot(5+68)+5\cdot 63-68\cdot 37.$
4)- a) $5\cdot 205+3\cdot 200+3\cdot 5-8\cdot 105.$
b) $36\cdot 23+62\cdot 23+46.$
5)- a) $87\cdot 2\;023+250\cdot 13\cdot 8-23\cdot 87.$
b) $4\cdot 22\cdot 87+11\cdot 8\cdot 36-2\cdot 44\cdot 23.$
c) $35\cdot 12+65\cdot 13.$
6)- a) $12\cdot 62\cdot 3+6^2\cdot 38-125\;:\;5^2.$
b) $15\cdot 3+3^2\cdot 11-2^4\cdot 2^3.$
7)- a) Tính một cách hợp lý biểu thức sau: $1+2+3+…+9.$
b) Tính tổng tất cả các số có ba chữ số giống nhau.
Giải:
1)- a) $23+89+77$ $=(23+77)+89$ $=100+89$ $=189.$
b) $8\cdot 17\cdot 125$ $=(8\cdot 125)\cdot 17$ $=1\;000\cdot 17$ $=17\;000.$
c) $135+340+65+160$ $=(135+65)+(340+160)$ $=200+500$ $=700.$
d) $5\cdot 4\cdot 27\cdot 25\cdot 2$ $=(5\cdot 2)\cdot(4\cdot 25)\cdot 27$ $=10\cdot 100\cdot 27$ $=27\;000.$
2)- a) $2\cdot 3\cdot 5+25\cdot 8\cdot 4+70+4\cdot 2\cdot 25$ $=(2\cdot 5)\cdot 3+(25\cdot 4)\cdot 8+70+(4\cdot 25)\cdot 2$ $=10\cdot 3+100\cdot 8+70+100\cdot 2$ $=30+800+70+200$ $=(30+70)+(800+200)$ $=100+1\;000$ $=1\;100.$
b) $8\cdot 25+14\cdot 5$ $=(2\cdot 4)\cdot 25+(7\cdot 2)\cdot 5$ $=2\cdot(4\cdot 25)+7\cdot(2\cdot 5)$ $=2\cdot 100+7\cdot 10$ $=200+70$ $=270.$
3)- a) $58\cdot 75+58\cdot 50-58\cdot 25$ $=58\cdot(75+50-25)$ $=58\cdot(125-25)$ $=58\cdot 100$ $=5\;800.$
b) $37\cdot 30+8\cdot 60+37\cdot 70+8\cdot 40$ $=37\cdot 30+37\cdot 70+8\cdot 60+8\cdot 40$ $=37\cdot(30+70)+8\cdot(60+40)$ $=37\cdot 100+8\cdot 100$ $=100\cdot(37+8)$ $=100\cdot 45$ $=4\;500.$
c) $37\cdot(5+68)+5\cdot 63-68\cdot 37$ $=5\cdot 63+37\cdot(5+68)-68\cdot 37$ $=5\cdot 63+37\cdot(5+68-68)$ $=5\cdot 63+37\cdot 5$ $=5\cdot(63+37)$ $=5\cdot 100$ $=500.$
4)- a) $5\cdot 205+3\cdot 200+3\cdot 5-8\cdot 105$ $=5\cdot 205+3\cdot(200+5)-8\cdot 105$ $=5\cdot 205+3\cdot 205-8\cdot 105$ $=205\cdot(5+3)-8\cdot 105$ $=205\cdot 8-8\cdot 105$ $=8\cdot(205-105)$ $=8\cdot 100$ $=800.$
b) $36\cdot 23+62\cdot 23+46$ $=36\cdot 23+62\cdot 23+23\cdot 2$ $=23\cdot(36+62+2)$ $=23\cdot 100$ $=2\;300.$
5)- a) $87\cdot 2\;023+250\cdot 13\cdot 8-23\cdot 87$ $=250\cdot 13\cdot 8+87\cdot 2\;023-23\cdot 87$ $=250\cdot 8\cdot 13+87\cdot(2\;023-23)$ $=(250\cdot 8)\cdot 13+87\cdot 2\;000$ $=2\;000\cdot 13+87\cdot 2\;000$ $=2\;000\cdot (13+87)$ $=2\;000\cdot 100$ $=200\;000.$
b) $4\cdot 22\cdot 87+11\cdot 8\cdot 36-2\cdot 44\cdot 23$ $=88\cdot 87+88\cdot 36-88\cdot 23$ $=88\cdot(87+36-23)$ $=88\cdot 100$ $=8\;800.$
c) $35\cdot 12+65\cdot 13$ $=35\cdot 12+65\cdot(12+1)$ $=35\cdot 12+65\cdot 12+65$ $=12\cdot(35+65)+65$ $=12\cdot 100+65$ $=1\;200+65$ $=1\;265.$
6)- a) $12\cdot 62\cdot 3+6^2\cdot 38-125\;:\;5^2$ $=12\cdot 3\cdot 62+36\cdot 38-5^3\;:\;5^2$ $=36\cdot 62+36\cdot 38-5$ $=36\cdot(62+38)-5$ $=36\cdot 100-5$ $=3\;600-5$ $=3\;595.$
b) $15\cdot 3+3^2\cdot 11-2^4\cdot 2^3$ $=(5\cdot 3)\cdot 3+9\cdot 11-16\cdot 8$ $=5\cdot(3\cdot 3)+9\cdot 11-16\cdot 8$ $=5\cdot 9+9\cdot 11-16\cdot 8$ $=9\cdot(5+11)-16\cdot 8$ $=9\cdot 16-16\cdot 8$ $=16\cdot(9-8)$ $=16\cdot 1$ $=16.$
7)- a) $1+2+3+…+9$ $=(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+5$ $=10+10+10+10+5$ $=45.$
b) $111+222+333+…+999$ $=111+2\cdot 111+3\cdot 111+…+9\cdot 111$ $=111\cdot(1+2+3+…+9)$ $=111\cdot 45$ $=4\;995.$
