Tập hợp và phần tử.
Trong cuộc sống cũng như trong toán học, nếu ta quan tâm đến một số đối tượng nào đó (như đồ vật, con người, số, chữ cái, …) thì ta gọi chúng là các phần tử.
Một nhóm các phần tử thì tạo thành một tập hợp (gọi tắt là tập).
Chẳng hạn:
- Trong lớp em, mỗi bạn học sinh là một phần tử. Các bạn của tổ 1 tạo thành “tập hợp tổ 1”; các bạn của tổ 2 tạo thành “tập hợp tổ 2”; …
- Nếu ta quan tâm đến các con số thì ta xem các con số là các phần tử. Khi đó, một nhóm các con số nào đó tạo thành một tập hợp, chẳng hạn, nhóm $\{2;7;9;5\}$ là một tập hợp.
Các ký hiệu $\in$ và $\notin.$
Tập hợp thường được ký hiệu (gọi tên) bằng chữ cái in hoa $(A, B, C, D, …).$
Phần tử thường được ký hiệu bằng chữ cái in thường $(a, b, c, d, …).$
Nếu tập hợp $A$ bao gồm phần tử $x$ thì ta nói “$x$ là một phần tử của $A$” hoặc “$x$ thuộc $A$”, ký hiệu là $x\in A.$
Nếu tập hợp $A$ không bao gồm phần tử $y$ thì ta nói “$y$ không là phần tử của $A$” hoặc “$y$ không thuộc $A$”, ký hiệu là $y\notin A.$
Ví dụ 1: Gọi $A$ là tập hợp các chữ số trong số $2023.$
a) Em hãy cho biết trong hai chữ số $1$ và $2,$ số nào là phần tử của tập hợp $A?$
b) Em hãy xác định xem mỗi cách viết sau đúng hay sai?
$2\in A,$ $0\notin A,$ $1\notin A,$ $23\in A.$
Phân tích:
Số $2023$ bao gồm các chữ số $2;0;3.$
Vậy tập hợp $A$ bao gồm các phần tử là $2;0;3.$ Các chữ số khác đều không phải là phần tử của tập hợp $A.$
Giải:
a) Chữ số $2$ là phần tử của tập hợp $A.$
Chữ số $1$ không phải là phần tử của tập hợp $A.$
b) Các cách viết đúng là: $2\in A,$ $1\notin A.$
Cách viết $0\notin A$ là sai vì $0$ là một phần tử của $A$ (phải viết là $0\in A$ mới đúng).
Cách viết $23\in A$ là sai, vì $23$ không phải là chữ số (từ $0$ đến $9)$ nên không thể thuộc tập hợp $A$ được.
Chú ý: Tập hợp không có phần tử nào được gọi là tập rỗng, ký hiệu là $\varnothing.$
Chẳng hạn, tập hợp các số tự nhiên lớn hơn $8$ nhưng nhỏ hơn $9$ là tập rỗng $(\varnothing),$ vì không có số tự nhiên nào nằm giữa hai số tự nhiên liên tiếp $8$ và $9$ cả.
Cách viết (mô tả) một tập hợp.
Thông thường, có hai cách viết (mô tả) một tập hợp:
Cách 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp.
Theo cách này, các phần tử của tập hợp được viết một lần, phân cách nhau bởi dấu chấm phẩy, theo thứ tự tùy ý vào bên trong cặp dấu ngoặc nhọn $\{\;\}.$
Chẳng hạn, $X=\{0;6;9;3\}$ là tập hợp bao gồm các phần tử $0;6;9;3.$
Cách 2: Nêu dấu hiệu (tính chất) đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.
Chẳng hạn, $Y=\{m\;|\;m$ là số tự nhiên, $m<5\}$ là tập hợp gồm các số tự nhiên nhỏ hơn $5,$ nó bao gồm các phần tử $0;1;2;3;4.$
Ví dụ 2: Gọi $C$ là tập hợp các chữ cái trong từ “THANH THẢN”.
Hãy viết tập hợp $C$ bằng cách liệt kê các phần tử của nó.
Giải:
$C$ = {T; H; A; N}.
Lưu ý:
– Mặc dù mỗi chữ cái T, H, A, N xuất hiện nhiều lần nhưng ta chỉ liệt kê một lần duy nhất.
– Do các phần tử được viết theo thứ tự tùy ý nên ta cũng được quyền viết $C$ = {A; N; H; T} hoặc $C$ = {H; A; T; N}, …
Ví dụ 3: Gọi $D$ là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn $10.$
Hãy viết tập hợp $D$ bằng hai cách.
Giải:
Cách 1: $D=\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10\}.$
Cách 2: $D=\{n\;|\;n$ là số tự nhiên, $n < 10\}.$
Tập hợp các số tự nhiên.
Các số $0;1;2;3;4;…$ là các số tự nhiên, chúng hình thành nên tập hợp các số tự nhiên.
Người ta dùng ký hiệu $\mathbb{N}$ để chỉ tập hợp các số tự nhiên, và ký hiệu $\mathbb{N}^*$ để chỉ tập hợp các số tự nhiên khác $0.$ Tức là:
$\mathbb{N}=\{0;1;2;3;4;…\},$
$\mathbb{N}^*=\{1;2;3;4;…\}.$
Vậy nếu viết “$n\in\mathbb{N}$” thì có nghĩa “$n$ là một số tự nhiên”. Do đó, tập hợp $D$ các số tự nhiên nhỏ hơn $5$ có thể được viết là $D=\{n\in\mathbb{N}\;|\;n < 5\}.$
Bài tập:
1)- Viết tập hợp $A$ các chữ cái tiếng Việt trong từ “SÔNG HỒNG”.
2)- Viết tập hợp $B$ các số tự nhiên có hai chữ số đều chẵn.
3)- Viết tập hợp $C$ các số tự nhiên lớn hơn $5$ và nhỏ hơn $12$ bằng hai cách.
4)- Viết tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà tổng các chữ số bằng $5$ (chẳng hạn, số $23$ có tổng các chữ số là $2+3=5).$
5)- Cho các tập hợp $A=\{a;b;2;8\},$ $B=\{b;8;12\}$ và $C=\{c;1;2\}.$
a) Viết tập hợp $M$ các phần tử vừa thuộc $A$ vừa thuộc $B.$
b) Viết tập hợp $N$ các phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B.$
c) Viết tập hợp $K$ các phần tử vừa thuộc $B$ vừa thuộc $C.$
6)- Gọi $A$ là tập hợp các tháng (dương lịch) của Quý II và $B$ là tập hợp các tháng có $30$ ngày. Hãy viết tập hợp $C$ các phần tử vừa thuộc $A$ vừa thuộc $B.$
Giải:
1)- $A$ = {S;Ô;N;G;H}.
2)- $B$ = {20; 22; 24; 26; 28; 40; 42; 44; 46; 48; 60; 62; 64; 66; 68; 80; 82; 84; 86; 88}.
Lưu ý: Nếu đề bài yêu cầu “hai chữ số khác nhau” thì ta phải lược bỏ các số 22, 44, 66, 88.
3)-
Cách 1: $C=\{6;7;8;9;10;11\}.$
Cách 2: $C=\{n\in\mathbb{N}\;|\;5 < n < 12\}.$
4)- $\{14; 23; 32; 41; 50\}.$
Gợi ý: Ta tìm chữ số hàng chục trước rồi dựa vào đó để tìm chữ số hàng đơn vị. Vì tổng hai chữ số bằng $5$ nên:
- Chữ số hàng chục không thể lớn hơn $5.$ Do đó, nó chỉ có thể là $1;2;3;4;5$ (nó phải khác $0$ theo nguyên tắc thành lập số tự nhiên).
- Chữ số hàng đơn vị được tìm bằng cách lấy $5$ trừ cho chữ số hàng chục.
5)- Cho các tập hợp $A=\{a;b;2;8\},$ $B=\{b;8;12\}$ và $C=\{c;1;2\}.$
a) $M=\{b;8\}.$
b) $N=\{a;2\}.$
c) Không có phần tử nào vừa thuộc $B$ vừa thuộc $C$ nên $K=\varnothing.$
Lưu ý: Ta không được viết $K=\{\varnothing\}$ vì $\varnothing$ là ký hiệu cho một tập hợp chứ không phải phần tử.
6)- $A$ = {tháng Tư; tháng Năm; tháng Sáu}.
$B$ = {tháng Tư; tháng Sáu; tháng Chín; tháng Mười Một}.
$C$ = {tháng Tư}.
Nhận xét: Trong bài tập này, mỗi phần tử là một tháng dương lịch.