$\S\;$ 1.3. TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN.
Khái niệm tập hợp
Một nhóm các đối tượng nhất định (con người, đồ vật, con số, chữ cái, …) tạo thành một tập hợp (gọi tắt là tập).
Chẳng hạn:
- Trong lớp, các bạn của tổ 1 tạo thành “tập hợp tổ 1”; các bạn của tổ 2 tạo thành “tập hợp tổ 2”.
- Một nhóm các con số cũng tạo thành một tập hợp. Chẳng hạn, nhóm $\{2; 7; 9; 5\}$ tạo thành một tập hợp.
Tập hợp thường được ký hiệu (đặt tên) bằng các chữ cái in hoa $A, B, C, …$
Nếu tập hợp $A$ có chứa đối tượng $x$ thì ta nói “$x$ là một phần tử của $A$”, hoặc “$x$ thuộc $A$”, ký hiệu là $x\in A.$
Nếu tập hợp $A$ không chứa đối tượng $y$ thì ta nói “$y$ không là phần tử của $A$”, hoặc “$y$ không thuộc $A$”, ký hiệu là $y\notin A.$
Ví dụ 1: Ký hiệu $A$ là tập hợp các chữ số trong số $2023.$ Trong hai chữ số $1$ và $2,$ chữ số nào là phần tử của $A?$ Dùng ký hiệu $\in$ hoặc $\notin$ để trả lời.
Giải: $1$ không phải là phần tử của $A;$ $2$ là phần tử của $A.$ Ta viết: $1\notin A;$ $2\in A.$
Cách mô tả (viết) một tập hợp
Mô tả một tập hợp là làm cho người ta hiểu tập hợp đó gồm những gì. Thông thường, có hai cách để mô tả (còn gọi là viết hay cho) một tập hợp:
Cách 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp. Theo cách này, các phần tử của tập hợp được viết theo thứ tự tùy ý (phân cách bởi dấu chấm phẩy “;”) vào bên trong cặp dấu ngoặc nhọn $\{\;\};$ mỗi phần tử chỉ được viết một lần (không lặp lại). Chẳng hạn, $X=\{0;6;9;3\}$ là tập hợp bao gồm các phần tử $0;6;9;3.$
Cách 2: Nêu dấu hiệu (tính chất) đặc trưng cho các phần tử của tập hợp. Chẳng hạn,
$Y=\{m\;|\;m$ là số tự nhiên, $m<5\}$
là tập hợp gồm các số tự nhiên nhỏ hơn $5,$ nó bao gồm các phần tử là $0;1;2;3;4.$
Ví dụ 2: Viết tập hợp $C$ các chữ cái có mặt trong từ “TOÁN HỌC”.
Giải: $C=\{$T; O; A; N; H; C$\}.$
Chú ý: Mặc dù chữ O xuất hiện hai lần nhưng ta chỉ liệt kê một lần (không lặp lại).
Ví dụ 3: Gọi $D$ là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn $10.$ Viết tập hợp $D$ bằng hai cách.
Giải: Các số tự nhiên nhỏ hơn $10$ gồm: $0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10.$ Ta viết tập hợp $D$ bằng hai cách là:
Cách 1: (Liệt kê các phần tử)
$D=\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}.$
Cách 2: (Nêu dấu hiệu đặc trưng)
$D=\{n\;|\;n$ là số tự nhiên, $n<10\}.$
Tập hợp các số tự nhiên
Dùng ký hiệu $\mathbb{N}$ để chỉ tập hợp các số tự nhiên, tức là: $\mathbb{N}=\{0;1;2;3;4;5;…\}.$
Dùng ký hiệu $\mathbb{N}^*$ để chỉ tập hợp các số tự nhiên khác $0,$ tức là $\mathbb{N}^*=\{1;2;3;4;5;…\}.$
Chẳng hạn, viết $n\in\mathbb{N}$ có nghĩa “$n$ là một số tự nhiên”. Do đó, tập hợp $M$ các số tự nhiên nhỏ hơn $5$ có thể viết là $M=\{n\;|\;n\in\mathbb{N}, n<5\}$ hoặc $M=\{n\in\mathbb{N}\;|\;n<5\}.$
Ví dụ 4: Viết lại các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của chúng: $A=\{n\in\mathbb{N}\;|\;n<5\}$ và $B=\{n\in\mathbb{N}^*\;|\;n<5\}.$
Giải: $A=\{0;1;2;3;4\}$ và $B=\{1;2;3;4\}.$
Bài tập:
1)- Để viết tập hợp $E$ gồm các chữ số có mặt trong số $2023,$
+) bạn An viết $E=\{2;0;2;3\},$
+) bạn Bình viết: $E=\{2;0;3\},$
+) bạn Nam viết: $E=\{0;3;2\}.$
Bạn nào viết đúng? Vì sao?
2)- Viết tập hợp $A$ các chữ cái tiếng Việt trong từ “PHƯƠNG PHÁP”.
3)- Viết tập hợp $B$ tên các tháng (dương lịch) có $30$ ngày.
4)- Viết tập hợp $C$ các số tự nhiên có một chữ số.
5)- Viết tập hợp $X$ gồm các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn $12$ bằng hai cách.
Giải:
1)- An viết sai vì phần tử $2$ bị lặp lại. Bình và Nam đều viết đúng (vì khi liệt kê, các phần tử được viết theo thứ tự tùy ý).
2)- $A$ = {P; H; Ư; Ơ; N; G; A}.
3)- $B$ = {tháng Tư; tháng Sáu; tháng Chín; tháng Mười Một}.
4)- $C=\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}.$
5)- Cách 1: $X=\{1; 3; 5; 7; 9; 11\}.$
Cách 2: $X=\{x\in\mathbb{N}\;|\;x$ là số lẻ, $x<12\}.$
