Phép nhân.
Phép nhân hai số tự nhiên $a$ và $b$ (ký hiệu là $a\times b$ hoặc $a\cdot b)$ cho ta kết quả là một số tự nhiên. Kết quả này được gọi là tích của $a$ và $b$ (trong đó, $a,b$ được gọi là các thừa số).
Nếu các thừa số đều bằng chữ, hoặc chỉ có một thừa số bằng số thì ta có thể không viết dấu nhân giữa các thừa số. Chẳng hạn, $a\cdot b=ab,$ $2\cdot m=2m,…$
Ta thường hiểu tích $a\cdot b$ như là tổng của $a$ lần số $b$ (tức là có $a$ lần số $b$ cộng lại). Chẳng hạn, $4\cdot 7=7+7+7+7.$
Tính chất của phép nhân:
- Giao hoán: $a\cdot b=b\cdot a.$
- Kết hợp: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c).$
- Nhân với số $1$ thì bằng chính nó: $a\cdot 1=1\cdot a=a.$
- Phân phối đối với phép cộng và phép trừ: $a\cdot(b\pm c)=a\cdot b\pm a\cdot c.$
Chú ý rằng, vì $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$ (tính chất kết hợp) nên ta có thể định nghĩa $a\cdot b\cdot c=(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c).$ Tương tự như vậy cho một tích có nhiều thừa số hơn.
Ví dụ 1: Tính nhẩm:
a) $2\cdot 2023\cdot 5.$
b) $6\cdot 25\cdot 20.$
Giải:
a) $2\cdot 2023\cdot 5$ $=2023\cdot 2\cdot 5$ $=2023\cdot (2\cdot 5)$ $=2023\cdot 10$ $=20230.$
b) $6\cdot 25\cdot 20$ $=(2\cdot 3)\cdot 25\cdot (4\cdot 5)$ $=3\cdot (2\cdot 5)\cdot (4\cdot 25)$ $=3\cdot 10\cdot 100$ $=3000.$
Nhận xét:
a) Ta đã áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp để tính nhẩm cho ví dụ này.
b) Cần nhớ: $2\cdot 5=10;$ $4\cdot 25=100;$ $8\cdot 1000;…$ Áp dụng kỹ thuật tách, đổi chỗ, nhóm các thừa số một cách hợp lý.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng số $111222$ có thể viết được thành dạng tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
Giải:
$111222=111\cdot 1000+222$ $=111\cdot 1000+111\cdot 2$ $=111\cdot (1000+2)$ $=111\cdot 1002$ $=111\cdot 3\cdot 334$ $=333\cdot 334.$
Nhận xét:
– Trong bài giải trên, ta có sử dụng tính chất phân phối của phép nhân và phép cộng khi tính: $111\cdot 1000+111\cdot 2=111\cdot (1000+2).$ Đây còn được gọi là kỹ thuật “đặt thừa số chung“.
– Ta tách $1002=3\cdot 334$ vì ta biết rằng $1002$ chia hết cho $3$ (dấu hiệu chia hết cho $3).$
Ví dụ 3: Cho $A=1990\cdot 1990$ và $B=1992\cdot 1988.$ Hãy so sánh $A$ và $B$ mà không tính giá trị cụ thể của $A$ và $B.$
Giải:
Ta có:
+) $A=1990\cdot 1990$ $=1990\cdot(1988+2)$ $=1990\cdot 1988+1990\cdot 2.$
+) $B=1992\cdot 1988$ $=(1990+2)\cdot 1988$ $=1990\cdot 1988+1988\cdot 2.$
Vì $1990 > 1988$ nên $1990\cdot 2 > 1988\cdot 2.$
Suy ra $1990\cdot 1988+1990\cdot 2 > 1990\cdot 1988+1988\cdot 2.$
Vậy $A > B.$
Lưu ý:
Với $a,b,c$ là các số tự nhiên (khác $0,)$ nếu $a < b$ thì $a+c < b+c$ và $a\cdot c < b\cdot c.$
Phép chia.
Phép chia $a:b$ có thể là chia hết hoặc chia có dư (với $a,b\in\mathbb{N}$ và $b\neq 0).$
+) Trường hợp chia hết: Nếu có số tự nhiên $q$ sao cho $a=b\cdot q$ thì ta có phép chia hết $a:b=q.$
(Lúc này, ta gọi $a,b,q$ lần lượt là số bị chia, số chia và thương của phép chia.)
Chẳng hạn: Ta có $12=3\cdot 4$ nên $12:3=4.$
+) Trường hợp chia có dư: Nếu có hai số tự nhiên $q$ và $r$ (với $0\neq r < q)$ sao cho $a=b\cdot q+r$ thì ta có phép chia có dư $a:b=q$ (dư $r).$
(Lúc này, ta gọi $a,b,q,r$ lần lượt là số bị chia, số chia, thương và số dư của phép chia.)
Chẳng hạn: Ta có $14=3\cdot 4+2$ nên $14:3=4$ (dư $2).$
Ví dụ 4: Một trường học tổ chức cho học sinh đi du lịch Sa Pa. Cần ít nhất bao nhiêu xe $16$ chỗ cho chuyến đi đó, nếu số người tham gia là:
a) $288$ người?
b) $300$ người?
Giải:
a) Ta có $288:16=18.$
Vậy cần ít nhất $18$ xe $16$ chỗ để chở hết $288$ người.
b) Ta có $300:16=18$ (dư 12).
Do đó, ta dùng $18$ xe $16$ chỗ để chở $288$ người và dùng thêm $1$ xe nữa để chở $12$ người còn lại.
Vậy cần dùng ít nhất $19$ xe $16$ chỗ để chở hết $300$ người.
Ví dụ 5: Trong một phép chia, số bị chia là $100$ và số dư là $9.$ Tìm số chia và thương.
Hướng dẫn:
Bài đề cập đến phép chia có dư.
Trong phép chia có dư, gọi số bị chia, số chia, thương, số dư lần lượt là $a,b,q,r$ thì $a=b\cdot q+r.$
(Trong đó, $r < b$ vì số dư luôn nhỏ hơn số chia.)
Đề cho số bị chia là $100$ và số dư là $9,$ tức là $a=100$ và $r=9.$
- Từ $a=b\cdot q+r,$ ta được $100=b\cdot q+9.$ Suy ra $b\cdot q=100-9=91\;\;\;(i).$
- Từ $r < b,$ ta được $9 < b$ hay $b > 9\;\;\;(ii).$
Do $(i)$ nên ta cần phân tích $91$ thành dạng tích của hai số tự nhiên. Kết hợp với $(ii)$ để chọn ra các giá trị $b$ và $q$ phù hợp.
Giải:
Gọi số bị chia, số chia, thương, số dư lần lượt là $a,b,q,r.$
Ta có: $a=bq+r$ (với $a,b,q,r\in\mathbb{N}$ và $r < b).$
Theo đề, số bị chia là $100$ và số dư là $9$ nên $a=100$ và $r=9.$
Vậy $100=bq+9$ (với $b > 9).$
Do đó, $bq=100-9=91.$
Do $b > 9$ và $91=1\cdot 91=7\cdot 13$ nên ta chọn $b=91, q=1$ hoặc $b=13,q=7.$
Vậy số chia là $91$ và thương là $1;$ hoặc số chia là $13$ và thương là $7.$
Ví dụ 6: Tìm thương của một phép chia, biết rằng nếu thêm $9$ vào số bị chia và thêm $3$ vào số chia thì thương và số dư không đổi.
Hướng dẫn:
Gọi số bị chia, số chia, thương và số dư của phép chia ban đầu lần lượt là $a,b,q,r$ (với $a,b,q,r\in\mathbb{N}$ và $r < b).$ Ta có: $a=bq+r\;\;\;(i)$
Thêm $9$ vào số bị chia (thành $a+9)$ và thêm $3$ vào số chia (thành $b+3)$ thì thương và số dư không đổi (vẫn là $q, r),$ nên ta có: $a+9=(b+3)q+r\;\;\;(ii)$
Đề bài yêu cầu tìm thương (tức là tìm $q)$ nên ta tìm cách khử (loại bỏ) $a,b,r$ dựa vào $(i)$ và $(ii).$ Muốn vậy, ta thay $a=bq+r$ vào $(ii)$ và giản lược (loại bỏ) các phần tử giống nhau của hai vế.
Giải:
Gọi số bị chia, số chia, thương và số dư của phép chia ban đầu lần lượt là $a,b,q,r$ (với $a,b,q,r\in\mathbb{N}$ và $r < b).$ Ta có: $a=bq+r\;\;\;(i)$
Thêm $9$ vào số bị chia và thêm $3$ vào số chia thì thương và số dư không đổi, nên ta có: $a+9=(b+3)q+r\;\;\;(ii)$
Ta có $(b+3)q+r=bq+3q+r=(bq+r)+3q.$
Vậy từ $(ii)$ ta được: $a+9=(bq+r)+3q.$
Kết hợp với $(i)$ ta được: $a+9=a+3q.$
Suy ra: $9=3q,$ hay $q=9:3=3.$
Vậy thương của phép chia là $3.$
Bài tập:
1)- Hãy chứng tỏ rằng hiệu sau có thể viết được thành một tích của hai thừa số bằng nhau: $11111111-2222.$
2)- Chứng minh rằng số $444222$ có thể viết được thành tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
3)- Chứng minh rằng $19991999\cdot 1998=19981998\cdot 1999.$
4)- So sánh $A$ và $B$ trong mỗi trường hợp sau mà không tính giá trị cụ thể của chúng:
a) $A=2000\cdot 2023$ và $B=2003\cdot 2020.$
b) $A=23\cdot 24242$ và $B=24\cdot 23232.$
c) $A=25\cdot 75-20$ và $B=71\cdot 26+10.$
5)- Trong một năm, có ít nhất bao nhiêu ngày Chủ Nhật, có nhiều nhất bao nhiêu ngày Chủ Nhật?
6)- Ngày $19/08/2002$ là thứ Hai. Tính xem ngày $19/08/1945$ là thứ mấy trong tuần?
Giải:
1)- Ta có: $11111111-2222=1111\cdot 10001-1111\cdot 2$ $=1111\cdot(10001-2)$ $=1111\cdot 9999$ $=1111\cdot(3\cdot 3333)$ $=(1111\cdot 3)\cdot 3333$ $=3333\cdot 3333.$
2)- Ta có: $444222=222\cdot 2001$ $=222\cdot (3\cdot 667)$ $=(222\cdot 3)\cdot 667$ $=666\cdot 667.$
3)- Ta có:
+) $19991999\cdot 1998=(1999\cdot 10001)\cdot 1998$ $=1998\cdot 1999\cdot 10001.$
+) $19981998\cdot 1999=(1998\cdot 10001)\cdot 1999$ $=1998\cdot 1999\cdot 10001.$
Suy ra $19991999\cdot 1998=19981998\cdot 1999$ (vì đều bằng $1998\cdot 1999\cdot 10001).$
4)- So sánh $A$ và $B$ trong mỗi trường hợp sau mà không tính giá trị cụ thể của chúng:
a) $A=2000\cdot 2023=2000\cdot (2020+3)=2000\cdot 2020+2000\cdot 3.$
$B=2003\cdot 2020=(2000+3)\cdot 2020=2000\cdot 2020+2020\cdot 3.$
Vì $2000 < 2020$ nên $2000\cdot 3 < 2020\cdot 3.$ Do đó, $2000\cdot 2020+2000\cdot 3 < 2000\cdot 2020+2020\cdot 3.$
Vậy $A < B.$
b) $A=23\cdot 24242=23\cdot (24240+2)=23\cdot(24\cdot1010+2)=23\cdot 24\cdot 1010+23\cdot 2.$
$B=24\cdot 23232=24\cdot(23230+2)=24\cdot(23\cdot 1010+2)=23\cdot 24\cdot 1010+24\cdot 2.$
Vì $23 < 24$ nên $23\cdot 2 < 24\cdot 2.$ Do đó, $23\cdot 24\cdot 1010+23\cdot 2 < 23\cdot 24\cdot 1010+24\cdot 2.$
Vậy $A < B.$
c) $A=25\cdot 75-20=25\cdot (71+4)-20=25\cdot 71+25\cdot 4-20=25\cdot 71+100-20=25\cdot 71+80.$
$B=71\cdot 26+10=71\cdot(25+1)+10=25\cdot 71+71+10=25\cdot 71+81.$
Vì $80 < 81$ nên $25\cdot 71+80 < 25\cdot 71+81.$
Vậy $A < B.$
5)- Một năm gồm có $365$ ngày (năm thường) hoặc $366$ ngày (năm nhuận).
Vì mỗi tuần gồm $7$ ngày (bao gồm $1$ ngày Chủ Nhật trong đó) nên ta thực hiện phép chia số ngày của năm cho $7.$
Ta thấy $365:7=52$ (dư $1)$ và $366:7=52$ (dư $2).$
Suy ra mỗi năm bao gồm $52$ tuần và dư $1$ ngày (đối với năm thường) hoặc dư $2$ ngày (đối với năm nhuận).
Do đó, mỗi năm bao gồm ít nhất là $52$ ngày Chủ Nhật. Và nếu ngày dư ra của năm (1 hoặc 2 ngày) rơi vào ngày Chủ Nhật thì ta được thêm một ngày Chủ Nhật nữa.
Tóm lại, mỗi năm gồm ít nhất là $52$ ngày Chủ Nhật và nhiều nhất là $53$ ngày Chủ Nhật.
6)- Từ $19/08/1945$ đến $19/08/2002$ có $57$ năm, trong đó có $14$ năm nhuận, gồm $365\cdot 7+14= 20819$ ngày, tức $2974$ tuần và lẻ $1$ ngày.
Vậy $19/08/1945$ vào Chủ Nhật.