$\S\;$ 1.7. LŨY THỪA.
Cộng nhiều số giống nhau lại thì được một tích, chẳng hạn: $3+3+3+3=3\cdot 4.$
Khi nhân nhiều số giống nhau lại thì được một lũy thừa, chẳng hạn: $3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=3^4.$
Khái niệm lũy thừa
Lũy thừa bậc $n$ của $a$ là tích của $n$ thừa số $a$
(với $a\in\mathbb{N}$ và $n\in\mathbb{N}^*).$
Chẳng hạn: $3^2=3\cdot 3=9;$ $5^3=5\cdot 5\cdot 5=125;…$
Ví dụ 1: Tính các lũy thừa sau: $3^3; 7^2.$
Giải: $3^3=3\cdot 3\cdot 3=27;$ $7^2=7\cdot 7=49.$
Ví dụ 2: Viết các tích sau dưới dạng lũy thừa: $6\cdot 6;$ $7\cdot 7\cdot 7\cdot 7.$
Giải: $6\cdot 6=6^2;$ $7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7=7^4.$
Trong lũy thừa $a^n,$ ta gọi $a$ là cơ số và $n$ là số mũ.
Chẳng hạn: $3^7$ có cơ số là $3$ và số mũ là $7.$
Ví dụ 3: Xác định cơ số và số mũ của $123^{51}.$
Giải: $123^{51}$ có cơ số là $123$ và số mũ là $51.$
$a^n$ được đọc là “$a$ mũ $n$”, hoặc “$a$ lũy thừa $n$”, hoặc “lũy thừa bậc $n$ của $a$”.
Đặc biệt:
- $a^2$ còn được đọc là “$a$ bình phương” hoặc “bình phương của $a$”.
- $a^3$ còn được đọc là “$a$ lập phương” hoặc “lập phương của $a$”.
Ví dụ 4: Đọc lũy thừa sau: $98^4.$
Giải: $98^4$ được đọc là “$98$ mũ $4$” hoặc “$98$ lũy thừa $4$” hoặc “lũy thừa bậc $4$ của $98$”.
Chú ý: Người ta quy ước $a^0=1$ và $a^1=a$ với mọi số tự nhiên $a.$
Nhân hai lũy thừa cùng cơ số
Khi nhân hai lũy thừa có cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ.
Chẳng hạn: $5^3\cdot 5^7=5^{3+7}=5^{10}.$
Ví dụ 5: Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng một lũy thừa: $2^4\cdot 2^9;$ $10^2\cdot 10^6.$
Giải: $2^4\cdot 2^9=2^{4+9}=2^{13}.$
$10^2\cdot 10^6=10^{2+6}=10^8.$
Chia hai lũy thừa cùng cơ số
Khi chia hai lũy thừa có cùng cơ số (khác $0),$ ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ: $a^m\;:\;a^n=a^{m-n}\;\;\;(a\neq 0, m\geq n).$
Chẳng hạn: $7^6\;:\;7^4=7^{6-4}=7^2.$
Ví dụ 6: Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng một lũy thừa: $3^9\;:\;3^2;$ $10^5\;:\;10^3.$
Giải: $3^9\;:\;3^2=3^{9-2}=3^7.$
$10^5\;:\;10^3=10^{5-3}=10^2.$
Ví dụ 7: Tính $9^5\;:\;9^5.$
Giải: $9^5\;:\;9^5=9^{5-5}=9^0=1.$
Bài tập:
1)- Tính giá trị các lũy thừa sau: $2^2; 2^3; 2^4; 3^2; 3^3; 5^2.$
2)- Viết mỗi số sau thành bình phương của một số tự nhiên: $4; 9; 16; 25; 36; 64; 100.$
3)- Viết mỗi số sau thành lập phương của một số tự nhiên: $8; 27; 64; 125.$
4)- Tính các lũy thừa sau: $10^1; 10^2; 10^3; 10^4.$ Rút ra nhận xét về cách tính lũy thừa cơ số $10.$
5)- Sử dụng lũy thừa để viết công thức tính:
a) diện tích hình vuông có độ dài cạnh là $a.$
b) thể tích hình lập phương có độ dài cạnh là $b.$
6)- Điền vào dấu $(?)$
a) $x+x+x=(?).$
b) $x\cdot x\cdot x=(?).$
c) $2x=(?).$
d) $x^2=(?).$
e) $x\cdot 0=(?).$
f) $x^0=(?).$
7)- Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng một lũy thừa:
a) $5^7\cdot 5^{10}.$
b) $32^8\;:\;32^3.$
c) $100^{23}\;:\;100^{23}.$
Giải:
1)- $2^2=2\cdot 2=4;$ $2^3=2\cdot 2\cdot 2=8;$ $2^4=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16;$ $3^2=3\cdot 3=9;$ $3^3=3\cdot 3\cdot 3=27;$ $5^2=5\cdot 5=25.$
2)- $4=2^2;$ $9=3^2;$ $16=4^2;$ $25=5^2;$ $36=6^2;$ $64=8^2;$ $100=10^2.$
3)- $8=2^3;$ $27=3^3;$ $64=4^3;$ $125=5^3.$
4)- $10^1=10;$ $10^2=10\cdot 10=100;$ $10^3=10\cdot 10\cdot 10=1\;000;$ $10^4=10\cdot 10\cdot 10\cdot 10=10\;000.$ Nhận xét: $10^n=1\underset{n\;chữ\;số\;0}{\underbrace{00…0}}.$
5)- a) $S=a\cdot a=a^2.$ b) $V=b\cdot b\cdot b=b^3.$
6)- a) $x+x+x=3x.$ b) $x\cdot x\cdot x=x^3.$ c) $2x=x+x.$ d) $x^2=x\cdot x.$ e) $x\cdot 0=0.$ f) $x^0=1.$
7)- a) $5^7\cdot 5^{10}=5^{7+10}=5^{17}.$ b) $32^8\;:\;32^3=32^{8-3}=32^5.$ c) $100^{23}\;:\;100^{23}=100^{23-23}=100^0=1.$
