Khi có sự chia hết thì mới có khái niệm ước và bội. Nếu $a\;\vdots\;b$ thì $a$ là bội của $b,$ còn $b$ là ước của $a.$
Ví dụ 1: Tìm các số tự nhiên $x$ sao cho:
a) $x\;\vdots\;15$ và $0 < x\leq 40.$
b) $16\;\vdots\;x$ và $x < 4.$
Giải:
a) Vì $x\;\vdots\;15$ nên $x\in B(15)=\{0; 15; 30; 45; …\}.$
Vì $0 < x\leq 40$ nên ta chỉ chọn các số $15$ và $30.$
Vậy $x=15$ hoặc $x=30.$
b) Vì $16\;\vdots\;x$ nên $x\in Ư(16)=\{1;2;4;8;16\}.$
Vì $x<4$ nên ta chỉ chọn các số $1$ và $2.$
Vậy $x=1$ hoặc $x=2.$
Ví dụ 2: Với $50$ chiếc bánh thì có thể chia được thành bao nhiêu hộp sao cho số bánh trong các hộp bằng nhau?
Giải:
Vì “số bánh trong các hộp bằng nhau” nên $50$ chia hết cho số hộp bánh. Do đó, gọi $x$ là số hộp bánh chia được thì $50\;\vdots\;x.$
Suy ra $x\in Ư(50)=\{1;2;5;10;25;50\}.$
Vậy với $50$ chiếc bánh thì có thể chia được thành $1$ hộp, hoặc $2$ hộp, hoặc $5$ hộp, hoặc $10$ hộp, hoặc $25$ hộp, hoặc $50$ hộp bánh (sao cho số bánh trong các hộp bằng nhau).
Ví dụ 3: Lớp của Phụng có khoảng từ $41$ đến $45$ học sinh và khi xếp thành $4$ hàng thì vừa hết. Hỏi lớp của Phụng có bao nhiêu học sinh?
Giải:
Gọi $x$ là số học sinh thuộc lớp của Phụng.
Theo đề bài, lớp của Phụng:
- “có khoảng từ $41$ đến $45$ học sinh” nên $41\leq x\leq 45.$
- “khi xếp thành $4$ hàng thì vừa hết” nên $x\;\vdots\;4.$
Do $x\;\vdots\;4$ nên $x\in B(4)=\{0;4;8;…;40;44;48;…\}.$
Do $41\leq x\leq 45$ nên ta chỉ chọn số $44.$ Do đó $x=44.$
Vậy lớp của Phụng có $44$ học sinh.
Nếu các số $a,b,c,…$ đều chia hết cho $x$ thì $x\in ƯC(a,b,c,…).$
Nếu $x$ chia hết cho tất cả các số $a,b,c,…$ thì $x\in BC(a,b,c,…).$
Ví dụ 4: Tìm các số tự nhiên $x$ thỏa mãn:
a) $36\;\vdots\;x,$ $24\;\vdots\;x$ và $x>3.$
b) $x\;\vdots\;4,$ $x\;\vdots\;6$ và $0 < x < 50.$
Giải:
a) Vì $36\;\vdots\;x$ và $24\;\vdots\;x$ nên $x\in ƯC(36,24).$
Ta có: $36=2^2\cdot 3^2$ và $24=2^3\cdot 3.$
Thừa số chung là $2$ và $3.$
Số mũ nhỏ nhất của $2$ là $2,$ của $3$ là $1.$ Do đó, $ƯCLN(36,24)=2^2\cdot 3=12.$
Suy ra $ƯC(36,24)=Ư(12)=\{1;2;3;4;6;12\}.$
Do $x > 3$ nên ta chỉ chọn các số $4;6;12.$
Vậy $x$ là một trong các số $4;6;12.$
b) Vì $x\;\vdots\;4$ và $x\;\vdots\;6$ nên $x\in BC(4,6).$
Ta có: $4=2^2$ và $6=2\cdot 3.$
Thừa số chung là $2,$ riêng là $3.$ Số mũ lớn nhất của $2$ là $2,$ của $3$ là $1.$ Do đó, $BCNN(4,6)=2^2\cdot 3=12.$
Suy ra $BC(4,6)=B(12)=\{0;12;24;36;48;60;…\}.$
Do $0 < x < 50$ nên ta chỉ chọn các số $12;24;36;48.$
Vậy $x$ là một trong các số $12;24;36;48.$
Ví dụ 5: Học sinh lớp 6C khi xếp thành $2$ hàng, $3$ hàng, $4$ hàng, $8$ hàng đều vừa hết. Tính số học sinh lớp 6C, biết lớp đó có khoảng từ $25$ đến $60$ học sinh.
Giải:
Gọi $x$ là số học sinh của lớp 6C.
Vì “khi xếp thành $2$ hàng, $3$ hàng, $4$ hàng, $8$ hàng đều vừa hết” nên $x$ chia hết cho $2;3;4;8.$ Do đó, $x\in BC(2,3,4,8).$
Vì “lớp đó có khoảng từ $25$ đến $60$ học sinh” nên $25\leq x\leq 60.$
Vậy ta cần tìm số $x$ sao cho $x\in BC(2,3,4,8)$ và $25\leq x\leq 60.$
Ta có: $2$ và $3$ là các số nguyên tố; $4=2^2$ và $8=2^3.$
Thừa số chung là $2,$ riêng là $3.$ Số mũ lớn nhất của $2$ là $3,$ của $3$ là $1.$
Do đó, $BCNN(2,3,4,8)=2^3\cdot 3=24.$
Suy ra $x\in BC(2,3,4,8)=B(24)=\{0;24;48;72;…\}.$
Vì $25\leq x\leq 60$ nên ta chọn $x=48.$
Kết luận: Lớp 6C có $48$ học sinh.
Ví dụ 6: Một lớp học có $28$ nam và $24$ nữ. Có bao nhiêu cách chia đều học sinh thành các tổ có cả nam và nữ, với số tổ nhiều hơn $1,$ sao cho số nam trong các tổ bằng nhau và số nữ trong các tổ bằng nhau? Cách chia nào để mỗi tổ có số học sinh ít nhất?
Hướng dẫn:
Đề bài hỏi “có bao nhiêu cách chia tổ” đồng nghĩa với “có thể chia được bao nhiêu tổ”. Do đó, ta gọi $x$ là số tổ chia được.
Vì “số tổ nhiều hơn $1$” nên $x>1.$
Vì “số nam trong các tổ bằng nhau” (tức là $28$ nam chia đều vào $x$ tổ) nên $28\;\vdots\;x.$
Vì “số nữ trong các tổ bằng nhau” nên $24\;\vdots\;x.$
Vậy ta cần tìm $x$ sao cho $24\;\vdots\;x,$ $28\;\vdots\;x$ và $x>1.$
Ta tìm được bao nhiêu số $x$ thì có bấy nhiêu cách chia tổ.
Để mỗi tổ có số học sinh ít nhất thì số tổ phải nhiều nhất.
Giải:
Gọi $x$ là số tổ chia được.
Vì “số nam trong các tổ bằng nhau và số nữ trong các tổ bằng nhau” nên $24$ và $28$ đều chia hết cho $x.$ Do đó, $x\in ƯC(24,28).$
Vì “số tổ nhiều hơn $1$” nên $x>1.$
Vậy cần tìm $x$ sao cho $x\in ƯC(24,28)$ và $x>1.$
Ta có: $24=2^3\cdot 3$ và $28=2^2\cdot 7.$
Thừa số chung là $2$ có số mũ nhỏ nhất là $2.$
Do đó: $ƯCLN(24,28)=2^2=4.$
Suy ra: $x\in ƯC(24,28)=Ư(4)=\{1;2;4\}.$
Vì $x>1$ nên ta chọn $x=2$ hoặc $x=4.$
Vậy có hai cách chia tổ thỏa mãn đề bài: chia thành $2$ tổ hoặc chia thành $4$ tổ.
Để mỗi tổ có số học sinh ít nhất thì số tổ phải nhiều nhất, tức là chia thành $4$ tổ.
Nếu yêu cầu “nhiều nhất” hoặc “ít nhất” thì có thể cần dùng đến ƯCLN hoặc BCNN.
Ví dụ 7: Một đội y tế có $24$ bác sĩ và $108$ y tá. Có thể chia đội y tế đó thành nhiều nhất là bao nhiêu tổ sao cho số bác sĩ và số y tá được chia đều vào các tổ?
Giải:
Gọi $x$ là số tổ nhiều nhất chia được.
Vì “số bác sĩ và số y tá được chia đều vào các tổ” nên $24$ và $108$ đều chia hết cho $x.$ Do đó, $x\in ƯC(24,108).$
Nhưng $x$ là “số tổ nhiều nhất” nên $x=ƯCLN(24,108).$
Ta có: $24=2^3\cdot 3$ và $108=2^2\cdot 3^3.$
Do đó: $x=ƯCLN(24,108)=2^2\cdot 3=12.$
Kết luận: Có thể chia được nhiều nhất là $12$ tổ thỏa mãn đề bài.
Ví dụ 8: Bạn Lan và Minh thường đến thư viện đọc sách. Lan cứ $8$ ngày lại đến thư viện một lần. Minh cứ $10$ ngày lại đến thư viện một lần. Vào một ngày nọ, hai bạn gặp nhau tại thư viện. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày nữa thì hai bạn ấy lại gặp nhau tại thư viện?
Giải:
Gọi $x$ là số ngày ít nhất để hai bạn ấy lại gặp nhau tại thư viện.
Vì “Lan cứ $8$ ngày lại đến thư viện một lần” nên $x\;\vdots\;8.$
Tương tự, vì “Minh cứ $10$ ngày lại đến thư viện một lần” nên $x\;\vdots\;10.$
Do $x\;\vdots\;8$ và $x\;\vdots\;10$ nên $x\in BC(8,10).$
Nhưng vì $x$ là số ngày ít nhất nên $x=BCNN(8,10).$
Ta có: $8=2^3$ và $10=2\cdot 5.$
Thừa số chung là $2,$ riêng là $5.$ Số mũ lớn nhất của $2$ là $3,$ của $5$ là $1.$
Do đó: $x=BCNN(8,10)=2^3\cdot 5=40.$
Kết luận: Sau ít nhất $40$ ngày nữa thì hai bạn ấy lại gặp nhau tại thư viện.
Bài tập:
1)- Tìm số tự nhiên $x$ thỏa mãn:
a) $6\;\vdots\;(x-1).$
b) $150\;\vdots\;x,$ $84\;\vdots\;x,$ $30\;\vdots\;x$ và $x>2.$
c) $x\;\vdots\;12,$ $x\;\vdots\;18$ và $x\leq 144.$
2)- Bình có $24$ cây bút chì màu. Bạn ấy muốn xếp chúng vào các hộp nhỏ sao cho số bút mỗi hộp bằng nhau và bằng một số lớn hơn $2.$ Hỏi Bình có thể dùng nhiều nhất bao nhiêu cái hộp, ít nhất bao nhiêu cái hộp?
3)- Số học sinh khối 6 của một trường học là một số có ba chữ số và khi các học sinh này xếp thành $18$ hàng, $21$ hàng hoặc $24$ hàng thì đều vừa hết. Tìm số học sinh khối 6 của trường đó.
4)- Học sinh lớp 6A được nhận phần thưởng của nhà trường và mỗi bạn được nhận phần thưởng như nhau. Cô hiệu trưởng đã chia hết $129$ quyển vở và $215$ bút chì màu. Hỏi lớp 6A có bao nhiêu học sinh?
5)- Cô giáo chủ nhiệm muốn chia $24$ quyển vở, $48$ bút bi và $36$ gói bánh thành một số phần thưởng như nhau để trao trong dịp sơ kết học kỳ I. Hỏi có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu phần thưởng? Khi đó, mỗi phần thưởng có bao nhiêu quyển vở, bút bi và gói bánh?
6)- Các cột điện trước đây cách nhau $60$ m, nay trồng lại, cách nhau $45$ m. Hỏi sau cột đầu tiên không trồng lại thì cột gần nhất không phải trồng lại là cột thứ mấy?
Giải:
1)-
a) Để $6\;\vdots\;(x-1)$ thì $(x-1)\in Ư(6)=\{1;2;3;6\}.$
Suy ra $x\in\{2;3;4;7\}.$
b) Để $150\;\vdots\;x,$ $84\;\vdots\;x,$ $30\;\vdots\;x$ thì $x\in ƯC(150,84,30).$
Ta có: $150=2\cdot 3\cdot 5^2;\;$ $84=2^2\cdot 3\cdot 7$ và $30=2\cdot 3\cdot 5.$
Do đó: $ƯCLN(150,84,30)=2\cdot 3=6.$
Suy ra: $x\in ƯC(150,84,30)=Ư(6)=\{1;2;3;6\}.$
Vì $x > 2$ nên ta chỉ chọn $x=3$ hoặc $x=6.$
c) Để $x\;\vdots\;12,$ $x\;\vdots\;18$ thì $x\in BC(12,18).$
Ta có: $12=2^2\cdot 3$ và $18=2\cdot 3^2.$
Do đó: $BCNN(12,18)=2^2\cdot 3^2=36.$
Suy ra: $x\in BC(12,18)=B(36)=\{0;36;72;108;144;180;…\}.$
Do $x\leq 144$ nên ta chỉ chọn các số $0;36;72;144.$
Vậy $x$ là một trong các số $0;36;72;144.$
2)- Các hộp có số bút bằng nhau nên ta gọi $x$ là số bút trong mỗi hộp. Khi đó, $24\;\vdots\;x.$ Do đó, $x\in Ư(24)=\{1;2;3;4;6;8;12;24\}.$
Vì số bút lớn hơn $2$ nên $x$ bằng một trong các số $3;4;6;8;12;24.$
Để số cái hộp nhiều nhất thì số bút trong mỗi hộp phải ít nhất, tức là $x=3$ (bút). Suy ra số cái hộp nhiều nhất có thể dùng là $24\;:\;3=8$ (hộp).
Để số cái hộp là ít nhất thì số bút trong mỗi hộp phải nhiều nhất, tức là $x=24$ (bút). Suy ra số cái hộp ít nhất có thể dùng là $24\;:\;24=1$ (hộp).
3)- Gọi $x$ là số học sinh khối 6 của trường đó.
Vì khi xếp thành $18$ hàng, $21$ hàng hoặc $24$ hàng thì đều vừa hết nên $x$ chia hết cho $18;21$ và $24.$ Do đó, $x\in BC(18,21,24).$
Ta có: $18=2\cdot 3^2;\;$ $21=3\cdot 7;\;$ $24=2^3\cdot 3.$
Do đó: $BCNN(18,21,24)=2^3\cdot 3^2\cdot 7=504.$
Suy ra: $x\in BC(18,21,24)=B(504)=\{0;504; 1\;008; …\}.$
Vì số học sinh của trường đó là số có ba chữ số nên ta chọn $x=504.$
Kết luận: Số học sinh khối 6 của trường đó là $504$ học sinh.
4)- Gọi $x$ là số học sinh của lớp 6A.
Vì “mỗi bạn nhận được phần thưởng như nhau”, tức là $129$ quyển vở và $215$ bút chì màu chia đều cho $x$ bạn, nên $129$ và $215$ chia hết cho $x.$ Do đó, $x\in ƯC(129,215).$
Ta có: $129=3\cdot 43$ và $215=5\cdot 43.$
Do đó: $ƯCLN(129,215)=43.$
Suy ra: $x\in ƯC(129,215)=Ư(43)=\{1;43\}.$
Một lớp học không thể nào chỉ có một học sinh nên ta chọn $x=43,$ tức là lớp 6A có $43$ học sinh.
5)- Gọi $x$ là số phần thưởng nhiều nhất có thể chia được.
Vì $24$ quyển vở, $48$ bút bi và $36$ gói bánh chia thành $x$ phần thưởng như nhau nên $24;$ $48$ và $36$ đều chia hết cho $x.$ Do đó, $x\in ƯC(24,48,36).$
Nhưng $x$ là số phần thưởng nhiều nhất nên $x=ƯCLN(24,48,36).$
Ta có: $24=2^3\cdot 3;\;$ $48=2^4\cdot 3;\;$ $36=2^2\cdot 3^2.$
Do đó: $x=ƯCLN(24,48,36)=2^2\cdot 3=12.$
Vậy chia được nhiều nhất $12$ phần thưởng.
Khi đó, mỗi phần thưởng có số quyển vở là $24\;:\;12=2$ (quyển); số bút bi là $48\;:\;12=4$ (bút); số gói bánh là $36\;:\;12=3$ (gói).
6)- Gọi $x$ là khoảng cách giữa hai cột gần nhất không phải trồng lại (đơn vị: mét).
Khi đó $x$ chia hết cho $60$ và $45.$ Do đó, $x\in BC(60,45).$
Vì hai cột gần nhất nên $x=BCNN(60,45).$
Ta có: $60=2^2\cdot 3\cdot 5$ và $45=3^2\cdot 5.$
Suy ra: $x=BCNN(60,45)=2^2\cdot 3^2\cdot 5=180.$
Vậy khoảng cách giữa hai cột gần nhất không phải trồng lại là $180$ m.