Tính chất chia hết của một tổng.
Trường hợp chia hết: Nếu tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.
Chẳng hạn:
+) Ta có $15$ và $75$ đều chia hết cho $5$ nên tổng $15+75$ chia hết cho $5.$
+) Ta có $12; 36$ và $54$ đều chia hết cho $6$ nên tổng $12+36+54$ chia hết cho $6.$
Trường hợp không chia hết: Nếu có một số hạng của tổng không chia hết cho một số đã cho, mà các số hạng còn lại đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó.
Chẳng hạn:
+) Ta có $17$ không chia hết cho $3,$ và $75$ chia hết cho $3$ nên $17+75$ không chia hết cho $3.$
+) Ta có $8$ không chia hết cho $7,$ và các số $35;63$ đều chia hết cho $7$ nên $8+35+63$ không chia hết cho $7.$
Ví dụ 1: Không thực hiện phép tính, hãy cho biết mỗi tổng sau có chia hết cho $4$ không? Vì sao?
a) $44+80.$
b) $60+42.$
Giải:
a) Ta có $44\;\vdots\;4$ và $80\;\vdots\;4$ nên $(44+80)\;\vdots\;4.$
b) Ta có $60\;\vdots\;4$ và $42\;\not{\vdots}\;4$ nên $(60+42)\;\not{\vdots}\;4.$
Lưu ý: Tính chất chia hết của một tổng cũng đúng đối với hiệu.
Chẳng hạn:
+) Ta có $24\;\vdots\;3$ và $12\;\vdots\;3$ nên $(24-12)\;\vdots\;3.$
+) Ta có $425\;\vdots\;5;$ $75\;\vdots\;5$ và $15\;\vdots\;5$ nên $(425+75-15)\;\vdots\;5.$
+) Ta có $321\;\not{\vdots}\;2;$ $12\;\vdots\;2$ và $196\;\vdots\;2$ nên $(321-12-196)\;\not{\vdots}\;2.$
Ví dụ 2: Không thực hiện phép tính, hãy cho biết mỗi biểu thức sau có chia hết cho $5$ không? Vì sao?
a) $325-80+75.$
b) $490+57-65.$
Giải:
a) Ta có $325\;\vdots\;5;$ $80\;\vdots\;5$ và $75\;\vdots\;5$ nên $(325-80+75)\;\vdots\;5.$
b) Ta có $490\;\vdots\;5;$ $57\;\not{\vdots}\;5$ và $65\;\vdots\;5$ nên $(490+57-65)\;\not{\vdots}\;5.$
Chú ý: Nếu trong tổng (hiệu) có ít nhất hai số hạng đều không chia hết cho một số thì không thể kết luận tổng (hiệu) không chia hết cho số đã cho đó.
Chẳng hạn:
+) Ta có $3$ và $5$ đều không chia hết cho $2$ nhưng tổng $3+5=8$ lại chia hết cho $2.$
+) Ta có $2;4;9$ đều không chia hết cho $5$ nhưng tổng $2+4+9=15$ lại chia hết cho $5.$
+) Tổng $17+3-2=18$ chia hết cho $3$ nhưng trong tổng đó lại chứa đến hai số hạng không chia hết cho $3$ (là $17$ và $2).$
Tính chất chia hết của một tích.
Nếu có ít nhất một thừa số của tích chia hết cho một số đã cho thì tích chia hết cho số đã cho đó.
Chẳng hạn, ta biết $24\;\vdots\;12$ nên $(24\cdot 2\;023)\;\vdots\;12.$
Ví dụ 3: Không thực hiện phép tính, hãy giải thích vì sao các tích sau đều chia hết cho $13.$
a) $2\;023\cdot 39.$
b) $17\cdot 13\cdot 425.$
Giải:
a) Ta có $39\;\vdots\;13$ nên $(2\;023\cdot 39)\;\vdots\;13.$
b) Ta có $13\;\vdots\;13$ nên $(17\cdot 13\cdot 425)\;\vdots\;13.$
Ví dụ 4: Không thực hiện phép tính, hãy cho biết mỗi biểu thức sau đây có chia hết cho $7$ không? Vì sao?
a) $23+7\cdot 92.$
b) $203\cdot 14-7^2.$
Giải:
a) Ta có:
- $23\;\not{\vdots}\;7$
- $(7\cdot 92)\;\vdots\;7$ vì $7\;\vdots\;7$ (tính chất chia hết của tích).
Do đó, $(23+7\cdot 92)\;\not{\vdots}\;7$ (tính chất chia hết của tổng).
b) Ta có:
- $(203\cdot 14)\;\vdots\;7$ vì $14\;\vdots\;7$ (tính chất chia hết của tích).
- $7^2=(7\cdot 7)\;\vdots\;7$ vì $7\;\vdots\;7$ (tính chất chia hết của tích).
Do đó, $(203\cdot 14-7^2)\;\vdots\;7$ (tính chất chia hết của tổng).
Bài tập:
1)- Hãy xét xem mỗi tổng (hiệu) sau có chia hết cho $6$ không?
a) $36+42.$
b) $54-13.$
c) $9+12+48.$
d) $24+54-18.$
2)- Trong các tích sau, tích nào chia hết cho $3?$
a) $25\cdot 6.$
b) $5\cdot 7\cdot 15.$
3)- Mỗi biểu thức sau có chia hết cho $7$ không?
a) $7\cdot 218+49.$
b) $28\cdot 12+7^5.$
c) $105\cdot 7+13.$
d) $7^4+2\;023.$
4)- Hãy giải thích vì sao tích $1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5$ chia hết cho $10.$
5)- Cho tổng $A=12+x,$ với $x\in\mathbb{N}.$ Tìm điều kiện của $x$ để:
a) $A$ chia hết cho $2.$
b) $A$ không chia hết cho $2.$
6)- Cho tổng $S=15+x+3,$ với $x\in\mathbb{N}.$ Tìm điều kiện của $x$ để:
a) $S\;\vdots\;3.$
b) $S\;\not{\vdots}\;3.$
7)- Tìm điều kiện của $x$ để giá trị biểu thức $25\cdot 29+x$ chia hết cho $5$ (với $x$ là số tự nhiên).
Giải:
1)-
a) Ta có $36\;\vdots\;6$ và $42\;\vdots\;6$ nên $(36+42)\;\vdots\;6.$
b) Ta có $54\;\vdots\;6$ và $13\;\not{\vdots}\;6$ nên $(54-13)\;\not{\vdots}\;6.$
c) Ta có $9\;\not{\vdots}\;6;$ $12\;\vdots\;6$ và $48\;\vdots\;6$ nên $(9+12+48)\;\not{\vdots}\;6.$
d) Ta có $24\;\vdots\;6;$ $54\;\vdots\;6$ và $18\;\vdots\;6$ nên $(24+54-18)\;\vdots\;6.$
2)-
a) Vì $6\;\vdots\;3$ nên $(25\cdot 6)\;\vdots\;3.$
b) Vì $15\;\vdots\;3$ nên $(5\cdot 7\cdot 15)\;\vdots\;3.$
3)-
a) Ta có $(7\cdot 218)\;\vdots\;7$ (vì $7\;\vdots\;7)$ và $49\;\vdots\;7$ nên $(7\cdot 218+49)\;\vdots\;7.$
b) Ta có $(28\cdot 12)\;\vdots\;7$ và $7^5\;\vdots\;7$ nên $(28\cdot 12+7^5)\;\vdots\;7.$
c) Ta có $(105\cdot 7)\;\vdots\;7$ và $13\;\not{\vdots}\;7$ nên $(105\cdot 7+13)\;\not{\vdots}\;7.$
d) Ta có $7^4\;\vdots\;7$ và $2\;023\;\not{\vdots}\;7$ nên $(7^4+2\;023)\;\not{\vdots}\;7.$
4)- Ta có $1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5$ $=(1\cdot 3\cdot 4)\cdot(2\cdot 5)$ $=(1\cdot 3\cdot 4)\cdot 10$ chia hết cho $10$ (tính chất chia hết của một tích).
5)- Vì $12\;\vdots\;2$ nên
a) Để $A=12+x$ chia hết cho $2$ thì $x\;\vdots\;2.$
b) Để $A=12+x$ không chia hết cho $2$ thì $x\;\not{\vdots}\;2.$
6)- Vì $15\;\vdots\;3$ và $3\;\vdots\;3$ nên
a) Để $S=(15+x+3)\;\vdots\;3$ thì $x\;\vdots\;3.$
b) Để $S=(15+x+3)\;\not{\vdots}\;3$ thì $x\;\not{\vdots}\;3.$
7)- Ta có $(25\cdot 29)\;\vdots\;5$ (vì $25\;\vdots\;5).$
Do đó, để giá trị biểu thức $25\cdot 29+x$ chia hết cho $5$ thì $x$ chia hết cho $5.$