Dấu hiệu chia hết cho $2.$
Các số có chữ số tận cùng là $0,2,4,6,8$ thì chia hết cho $2,$ và chỉ những số đó mới chia hết cho $2.$
Chẳng hạn:
+) $256$ có chữ số tận cùng là $6$ nên chia hết cho $2.$
+) $7\;143$ có chữ số tận cùng là $3$ nên không chia hết cho $2.$
Ví dụ 1: Số nào chia hết cho $2$ trong các số sau đây: $94;$ $387;$ $708;$ $2\;025?$
Giải:
Các số $94$ và $708$ đều chia hết cho $2$ (vì có chữ số tận cùng lần lượt là $4$ và $8).$
Các số $387$ và $2\;025$ đều không chia hết cho $2$ (vì có chữ số tận cùng lần lượt là $7$ và $5).$
Dấu hiệu chia hết cho $5.$
Các số có chữ số tận cùng là $0$ hoặc $5$ thì chia hết cho $5,$ và chỉ những số đó mới chia hết cho $5.$
Chẳng hạn:
+) $845$ có chữ số tận cùng là $5$ nên chia hết cho $5.$
+) $907$ có chữ số tận cùng là $7$ nên không chia hết cho $5.$
Ví dụ 2: Số nào chia hết cho $5$ trong các số sau đây: $502;$ $125;$ $860;$ $709?$
Giải:
Các số $125$ và $860$ đều chia hết cho $5$ (vì có chữ số tận cùng lần lượt là $5$ và $0).$
Các số $502$ và $709$ đều không chia hết cho $5$ (vì có chữ số tận cùng lần lượt là $2$ và $9).$
Dấu hiệu chia hết cho $3.$
Các số có tổng các chữ số chia hết cho $3$ thì chia hết cho $3,$ và chỉ những số đó mới chia hết cho $3.$
Chẳng hạn:
+) $123$ có tổng các chữ số là $1+2+3=6\;\vdots\;3$ nên $123\;\vdots\;3.$
+) $703$ có tổng các chữ số là $7+0+3=10\;\not{\vdots}\;3$ nên $703\;\not{\vdots}\;3.$
Ví dụ 3: Số nào chia hết cho $3$ trong các số sau đây: $201;$ $1\;092;$ $4\;123?$
Giải:
Ta có $2+0+1=3\;\vdots\;3$ nên $201\;\vdots\;3.$
Ta có $1+0+9+2=12\;\vdots\;3$ nên $1\;092\;\vdots\;3.$
Ta có $4+1+2+3=10\;\not{\vdots}\;3$ nên $4\;123\;\not{\vdots}\;3.$
Dấu hiệu chia hết cho $9.$
Các số có tổng các chữ số chia hết cho $9$ thì chia hết cho $9,$ và chỉ những số đó mới chia hết cho $9.$
Chẳng hạn:
+) $891$ có tổng các chữ số là $8+9+1=18\;\vdots\;9$ nên $891\;\vdots\;9.$
+) $1\;009$ có tổng các chữ số là $1+0+0+9=10\;\not{\vdots}\;9$ nên $1\;009\;\not{\vdots}\;9.$
Ví dụ 4: Số nào chia hết cho $9$ trong các số sau đây: $319;$ $105;$ $3\;087?$
Giải:
Ta có $3+1+9=13\;\not{\vdots}\;9$ nên $319\;\not{\vdots}\;9.$
Ta có $1+0+5=6\;\not{\vdots}\;9$ nên $105\;\not{\vdots}\;9.$
Ta có $3+0+8+7=18\;\vdots\;9$ nên $3\;087\;\vdots\;9.$
Bài tập:
1)- Cho các số: $15;$ $22;$ $23;$ $27;$ $18;$ $2\;021;$ $2\;022;$ $7\;980.$ Trong các số đó, tìm các số:
a) chia hết cho $2.$
b) chia hết cho $5.$
c) chia hết cho $2$ nhưng không chia hết cho $5.$
d) chia hết cho cả $2$ và $5.$
2)- Cho các số: $372;$ $261;$ $4\;262;$ $3\;772;$ $5\;426;$ $65\;426;$ $7\;371.$ Trong các số đó, tìm các số:
a) chia hết cho $3.$
b) chia hết cho $9.$
c) chia hết cho cả $3$ và $9.$
d) chia hết cho $3$ nhưng không chia hết cho $9.$
3)- Có thể xếp $792$ bạn học sinh thành $9$ hàng đều nhau không?
4)- Cho số $A=\overline{287*}.$ Thay dấu $*$ bởi chữ số nào để:
a) $A$ chia hết cho $2?$
b) $A$ chia hết cho $5$ nhưng không chia hết cho $2.$
c) $A$ chia hết cho $3.$
d) $A$ chia hết cho cả $2$ và $3.$
5)- Không thực hiện phép tính, hãy cho biết tổng (hiệu) sau có chia hết cho $5$ hay không?
a) $2\;020+2\;021.$
b) $2\;025^3-2\;020^3.$
Giải:
1)-
a) Các số chia hết cho $2$ là $22;$ $18;$ $2\;022;$ $7\;980$ (vì chữ số tận cùng của chúng lần lượt là $2; 8; 2; 0).$
b) Các số chia hết cho $5$ là $15;$ $7\;980$ (vì chữ số tận cùng của chúng lần lượt là $5;0).$
c) Các số chia hết cho $2$ nhưng không chia hết cho $5$ là $22;$ $18;$ $2\;022.$
d) Số chia hết cho cả $2$ và $5$ là $7\;980.$
2)- Tính tổng các chữ số của các số đã cho:
+) $372$ có tổng các chữ số là $3+7+2=12.$
+) $261$ có tổng các chữ số là $2+6+1=9.$
+) $4\;262$ có tổng các chữ số là $4+2+6+2=14.$
+) $3\;772$ có tổng các chữ số là $3+7+7+2=19.$
+) $5\;426$ có tổng các chữ số là $5+4+2+6=17.$
+) $65\;426$ có tổng các chữ số là $6+5+4+2+6=23.$
+) $7\;371$ có tổng các chữ số là $7+3+7+1=18.$
a) Các số $372;$ $261;$ $7\;371$ có tổng các chữ số lần lượt là $12;$ $9;$ $18$ đều chia hết cho $3.$ Do đó, các số $372;$ $261;$ $7\;371$ chia hết cho $3.$
b) Các số $261;$ $7\;371$ có tổng các chữ số lần lượt là $9;$ $18$ đều chia hết cho $9.$ Do đó, các số $261;$ $7\;371$ chia hết cho $9.$
c) Các số $261;$ $7\;371$ chia hết cho cả $3$ và $9.$
d) Số $372$ chia hết cho $3$ nhưng không chia hết cho $9.$
3)- Ta có $7+9+2=18\;\vdots\;9$ nên $792\;\vdots\;9.$ Do đó, có thể xếp $792$ bạn học sinh thành $9$ hàng đều nhau được.
4)- Ta nhận thấy $*$ là chữ số tận cùng của $A=\overline{287*}.$
a) Để $A$ chia hết cho $2$ thì chữ số tận cùng của nó phải là $0;2;4;6;8.$ Vậy $*$ là một trong các chữ số $0;2;4;6;8.$
b) Để $A$ chia hết cho $5$ nhưng không chia hết cho $2$ thì chữ số tận cùng của nó phải bằng $5.$ Vậy $*=5$ thì $A$ chia hết cho $5.$
c) Để $A$ chia hết cho $3$ thì tổng các chữ số của nó phải chia hết cho $3.$ Tức là $2+8+7+*$ chia hết cho $3.$ Do đó, $(17+*)\;\vdots\;3$ (vì $2+8+7+*=17+*).$
Thử thay $*$ lần lượt bằng $0;1;2;3;4;5;6;7;8;9$ ta thấy để $(17+*)\;\vdots\;3$ thì $*$ bằng $1;4;7.$
Vậy $*$ bằng một trong các chữ số $1;4;7$ thì $A$ chia hết cho $3.$
d) Kết hợp câu a) và c), để $A$ chia hết cho cả $2$ và $3$ thì $*=4.$
5)-
a) Các số $2\;020; 2\;021$ có chữ số tận cùng lần lượt là $0;1.$ Do đó: $2\;020\;\vdots\;5$ và $2\;021\;\not{\vdots}\;5.$
Suy ra: $(2\;020+2\;021)\;\not{\vdots}\;5$ (tính chất chia hết của một tổng).
b) $2\;025^3-2\;020^3.$
Các số $2\;025;2\;020$ có chữ số tận cùng lần lượt là $5;0.$ Do đó, $2\;025$ và $2\;020$ đều chia hết cho $5.$
Suy ra: $2\;025^3\;\vdots\;5$ và $2\;020^3\;\vdots\;5$ (tính chất chia hết của một tích).
Suy ra: $(2\;025^3-2\;020^3)\;\vdots\;5.$