Khái niệm ước, bội.
Nếu $a$ chia hết cho $b,$ ta nói $b$ là ước của $a$ và $a$ là bội của $b.$ (Trong đó, $a,b$ là các số tự nhiên, $b\neq 0).$
Chẳng hạn:
+) Ta có $24\;\vdots\;6$ nên $6$ là ước của $24$ và $24$ là bội của $6.$
+) Vì $34\;\not{\vdots}\;5$ nên $5$ không phải là ước của $34$ (và $34$ không phải là bội của $5).$
Ví dụ 1:
a) Số nào là ước của $90$ trong các số sau đây: $7; 18; 3; 26; 15.$
b) Số nào là bội của $4$ trong các số sau đây: $8; 25; 0; 42.$
Giải:
a) Trong các số đã cho, ta thấy $90$ chia hết cho $18; 3; 15.$ Do đó, các số $18; 3; 15$ là các ước của $90.$
b) Trong các số đã cho, ta thấy $8;0$ chia hết cho $4.$ Do đó, các số $8; 0$ là các bội của $4.$
Ví dụ 2: Bạn Nguyệt muốn chia $50$ viên kẹo thành các phần bằng nhau. Gọi $x$ là số viên kẹo trong mỗi phần. Em hãy giải thích vì sao $x$ là ước của $50.$
Giải:
Do $50$ viên kẹo chia thành các phần bằng nhau, mỗi phần có $x$ viên kẹo nên $50\;\vdots\;x.$
Suy ra, $x$ là ước của $50.$
Ví dụ 3: Giả sử các học sinh trong một trường học khi xếp thành các hàng $20$ người thì vừa hết (chẵn hàng, không lẻ người nào). Gọi $x$ là số học sinh của trường đó. Em hãy giải thích vì sao $x$ là bội của $20.$
Giải:
Trường đó có $x$ học sinh xếp thành $20$ hàng thì vừa hết nên $x\;\vdots\;20.$
Do đó, $x$ là bội của $20.$
Chú ý:
+) Số $0$ không là ước của bất kỳ số tự nhiên nào (vì không có phép chia cho số $0).$
+) Số $0$ là bội của mọi số tự nhiên khác $0$ (vì $0$ chia hết cho mọi số tự nhiên khác $0).$
Cách tìm ước.
Ký hiệu $Ư(a)$ là tập hợp các ước của $a.$ Do đó, nếu $x$ là một ước của $a$ thì ta viết $x\in Ư(a).$
Chẳng hạn, vì $6$ là một ước của $24$ nên ta viết $6\in Ư(24).$
Cách tìm ước: Muốn tìm các ước của $a\;(a>1),$ ta lần lượt chia $a$ cho các số tự nhiên từ $1$ đến $a,$ nếu $a$ chia hết cho số nào thì số đó là ước của $a.$
Chẳng hạn, muốn tìm các ước của $10,$ ta lần lượt chia $10$ cho các số từ $1$ đến $10.$ Nhận thấy $10$ chỉ chia hết cho $1;2;5;10.$ Do đó, $Ư(10)=\{1;2;5;10\}.$
Ví dụ 4: Tìm tập hợp $Ư(25).$
Giải:
Lần lượt chia $25$ cho các số tự nhiên từ $1$ đến $25.$ Ta thấy $25$ chỉ chia hết cho $1;5;25.$ Do đó, $Ư(25)=\{1;5;25\}.$
Cách tìm bội.
Ký hiệu $B(b)$ là tập hợp các bội của $b.$ Do đó, nếu $y$ là một bội của $b$ thì ta viết $y\in B(b).$
Chẳng hạn, vì $24$ là một bội của $6$ nên ta viết $24\in B(6).$
Cách tìm bội: Ta có thể tìm các bội của một số tự nhiên $b \;(b\neq 0)$ bằng cách nhân số đó với $0;1;2;3;…$ Khi đó, các kết quả nhận được đều là bội của $b.$
Chẳng hạn, để tìm các bội của $6,$ ta lấy $6$ nhân lần lượt với $0;1;2;3; …,$ ta được $0;6;12;18;…$ Do đó, $B(6)=\{0;6;12;18;…\}.$
Nhận xét: Luôn có dấu ba chấm “…” khi viết tập hợp $B(b).$
Ví dụ 5: Tìm tập hợp $B(5).$
Giải:
Lấy $5$ nhân lần lượt với $0;1;2;3;…,$ ta được $0;5;10;15;…$
Do đó, $B(5)=\{0;5;10;15;…\}.$
Ví dụ 6: Hãy tìm tất cả các bội nhỏ hơn $20$ của $3.$
Giải:
Lấy $3$ nhân lần lượt với $0;1;2;3;4;5;6;7…$ ta được $0;3;6;9;12;15;18;21…$ Do đó, tập hợp các bội của $3$ là $B(3)=\{0;3;6;9;12;15;18;21;…\}.$
Suy ra tất cả các bội nhỏ hơn $20$ của $3$ là: $0;3;6;9;12;15;18.$
Bài tập:
1)- Thay $(?)$ bởi ký hiệu $\in$ hoặc $\notin$ phù hợp:
a) $5\;(?)\;Ư(705).$
b) $3\;(?)\;Ư(209).$
c) $2\;023\;(?)\;B(2).$
d) $3\;456\;(?)\;B(9).$
2)- Viết các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử:
a) Tập hợp các ước của $12.$
b) Tập hợp các bội của $9.$
3)- Tìm các số tự nhiên $n$ sao cho $10\;\vdots\;n.$
4)- Tìm các số tự nhiên $x$ sao cho:
a) $x\;\vdots\;15$ và $0 < x\leq 40.$
b) $16\;\vdots\;x$ và $x < 4.$
5)- Cô Lan có một số chiếc bánh mà khi xếp vào $3$ hộp thì vừa hết (số chiếc bánh trong mỗi hộp là như nhau).
a) Hãy giải thích vì sao số chiếc bánh mà cô Lan có là bội của $3.$
b) Biết rằng cô Lan có khoảng từ $16$ đến $20$ chiếc bánh. Tìm số chiếc bánh mà cô Lan có.
6)- Có bao nhiêu cách xếp $45$ học sinh thành các hàng dọc đều nhau (số học sinh của các hàng bằng nhau)?
Giải:
1)-
a) $5\;\in\;Ư(705).$
Giải thích: Vì $705\;\vdots\;5$ nên $5$ là ước của $705$ $\Rightarrow 5\in Ư(705).$
b) $3\;\notin\;Ư(209).$
Giải thích: Vì $209\;\not{\vdots}\;3$ nên $3$ không là ước của $209$ $\Rightarrow 3\notin Ư(209).$
c) $2\;023\;\notin\;B(2).$
Giải thích: Vì $2\;023\;\not{\vdots}\;2$ nên $2\;023$ không là bội của $2$ $\Rightarrow 2\;023\notin B(2).$
d) $3\;456\;\in\;B(9).$
Giải thích: Vì $3+4+5+6=18\;\vdots\;9$ nên $3\;456\;\vdots\;9.$ Do đó, $3\;456$ là bội của $9,$ hay $3\;456\in B(9).$
2)-
a) Lấy $12$ chia cho các số từ $1$ đến $12,$ ta thấy $12$ chỉ chia hết cho $1;2;3;4;6;12.$ Do đó, tập hợp các ước của $12$ là: $Ư(12)=\{1;2;3;4;6;12\}.$
b) Lấy $9$ nhân với các số $0;1;2;3;…$ ta được $0;9;18;27;…$ Do đó, tập hợp các bội của $9$ là $B(9)=\{0;9;18;27;…\}.$
3)- Để $10\;\vdots\;n$ thì $n$ là ước của $10.$
Vậy tập hợp các số tự nhiên $n$ sao cho $10\;\vdots\;n$ là $Ư(10)=\{1;2;5;10\}.$
4)-
a) Để $x\;\vdots\;15$ thì $x$ là bội của $15.$ Vậy $x\in B(15)=\{0;15;30;45;…\}.$
Mà $0 < x\leq 40$ nên $x$ là $15$ hoặc $30.$
b) Để $16\;\vdots\;x$ thì $x$ là ước của $16.$ Vậy $x\in Ư(16)=\{1;2;4;8;16\}.$
Mà $x < 4$ nên $x$ là $1$ hoặc $2.$
5)- Cô Lan có một số chiếc bánh mà khi xếp vào $3$ hộp thì vừa hết (số chiếc bánh trong mỗi hộp là như nhau).
a) Số chiếc bánh mà cô Lan có chia hết cho $3$ nên là bội của $3.$
b) Tập hợp các bội của $3$ là $B(3)=\{0;3;6;…;15;18;21;…\}.$
Do cô Lan có khoảng từ $16$ đến $20$ chiếc bánh nên cô Lan có $18$ chiếc bánh.
6)- Gọi $x$ là số hàng dọc xếp được.
Vì $45$ học sinh xếp được thành $x$ hàng dọc đều nhau nên $45\;\vdots\;x.$ Do đó, $x$ là ước của $45.$
Suy ra tập hợp các giá trị của $x$ là $Ư(45)=\{1;3;5;9;15;45\}.$
Vậy $45$ học sinh có thể xếp thành $1$ hàng, $3$ hàng, $5$ hàng, $9$ hàng, $15$ hàng, hoặc $45$ hàng. Tóm lại có $6$ cách xếp $45$ học sinh thành các hàng đều nhau.