Số nguyên tố và Hợp số.
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn $1,$ chỉ có hai ước là $1$ và chính nó.
Hợp số là số tự nhiên lớn hơn $1,$ có ít nhất một ước khác $1$ và chính nó.
Chẳng hạn:
+) Số $5$ chỉ có hai ước là $1$ và $5$ (ngoài ra không còn ước nào khác). Do đó, $5$ là số nguyên tố.
+) Số $4$ có ước $2$ là ước khác $1$ và $4.$ Do đó, $4$ là hợp số.
Ví dụ 1:
a) Tìm tập hợp các ước của $13.$ Dựa vào đó cho biết số $13$ là số nguyên tố hay hợp số?
b) Tìm tập hợp các ước của $18.$ Dựa vào đó cho biết số $18$ là số nguyên tố hay hợp số?
Giải:
a) $Ư(13)=\{1;13\}.$
Ta thấy $13$ chỉ có hai ước là $1$ và $13.$ Do đó, $13$ là số nguyên tố.
b) $Ư(18)=\{1;2;3;6;9;18\}.$
Số $18,$ ngoài hai ước là $1$ và $18,$ nó còn các ước khác là $2;3;6;9.$ Do đó, $18$ là hợp số.
Mẹo: Xét số tự nhiên $a.$
+) Nếu $a$ chỉ chia hết cho $1$ và $a$ (ngoài ra không chia hết cho số tự nhiên nào khác nữa) thì $a$ là số nguyên tố.
+ Nếu $a$ chia hết cho số tự nhiên $b$ khác $1$ và $a$ thì $a$ là hợp số.
Ví dụ 2: Số $2\;022$ là số nguyên tố hay hợp số? Vì sao?
Giải:
Ta thấy $2\;022$ chia hết cho $2$ (khác $1$ và $2\;022).$ Do đó, $2\;022$ là hợp số.
Chú ý:
+) Số $0$ và số $1$ không phải là số nguyên tố, cũng không phải là hợp số.
+) Số $2$ là số nguyên tố nhỏ nhất và là số nguyên tố chẵn duy nhất. (Nghĩa là tất cả các số nguyên tố còn lại đều là số lẻ.)
+) Số $3$ là số nguyên tố lẻ nhỏ nhất.
Phân tích một số ra thừa số nguyên tố.
Phân tích một số lớn hơn $1$ ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các số nguyên tố. Chẳng hạn, $35=5\cdot 7.$
Ta quy ước: Dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của mỗi số nguyên tố là chính nó. Chẳng hạn, số $3$ là số nguyên tố và dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của nó là $3.$
Ví dụ 3: Viết $12=4\cdot 3$ có phải là đã phân tích số $12$ ra thừa số nguyên tố không? Nếu chưa phải, hãy phân tích số $12$ ra thừa số nguyên tố.
Giải:
Viết $12=4\cdot 3$ chưa phải là phân tích số $12$ ra thừa số nguyên tố, vì $4$ là hợp số (không phải số nguyên tố).
Ta vẫn còn phân tích tiếp được: $12=4\cdot 3=2\cdot 2\cdot 3.$ Vậy phân tích số $12$ ra thừa số nguyên tố, ta được: $12=2\cdot 2\cdot 3$ (có thể viết gọn lại là $2^2\cdot 3).$
Cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố.
Để phân tích số $a$ ra thừa số nguyên tố, ta lần lượt chia $a$ cho các ước là số nguyên tố của nó (nên theo thứ tự từ nhỏ đến lớn).
Chẳng hạn, để phân tích số $60$ ra thừa số nguyên tố, ta lần lượt chia $60$ cho các ước là số nguyên tố của nó.
Vậy $60=2^2\cdot 3\cdot 5.$
Ví dụ 4: Phân tích số $90$ ra thừa số nguyên tố.
Giải: Ta có:
Vậy $90=2\cdot 3^2\cdot 5.$
Ta có thể linh hoạt, viết số cần phân tích ra thừa số nguyên tố thành dạng tích của các số nhỏ hơn, rồi phân tích các số này ra thừa số nguyên tố. Chẳng hạn, $250=25\cdot 10=(5^2)\cdot (2\cdot 5)=2\cdot 5^3.$
Ví dụ 5:
a) Phân tích số $14$ ra thừa số nguyên tố.
b) Phân tích số $35$ ra thừa số nguyên tố.
c) Biết rằng $490=14\cdot 35.$ Hãy phân tích số $490$ ra thừa số nguyên tố.
Giải:
a) $14=2\cdot 7.$
b) $35=5\cdot 7.$
c) $490=14\cdot 35=(2\cdot 7)\cdot (5\cdot 7)=2\cdot 5\cdot 7^2.$
Bài tập:
1)- Phát biểu sau đây đúng hay sai: “Mọi số nguyên tố đều là số lẻ”?
2)- Số $2\;025$ là số nguyên tố hay hợp số? Vì sao?
3)- Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố: $84; 400; 1\;035.$
4)- Cho số $c=13\cdot 27.$ Hãy phân tích số $c$ ra thừa số nguyên tố.
5)- Biết rằng $2^5\cdot c=2^4\cdot 24.$ Hãy phân tích số $c$ ra thừa số nguyên tố.
6)-(*) Chứng minh rằng giá trị của biểu thức $25\cdot 2\;021+5^{2\;021}$ là một hợp số.
Hướng dẫn: Muốn chứng minh một số là hợp số, ta chứng minh số đó chia hết cho một số $b$ khác $1$ và chính nó. Vậy trong bài tập này, ta cần chứng minh hai ý:
Y1) $\left(25\cdot 2\;021+5^{2\;021}\right)\;\vdots\;5.$
Y2) $5\neq 1$ và $5\neq 25\cdot 2\;021+5^{2\;021}.$
Giải:
1)- SAI. Vì có số nguyên tố là số chẵn, đó là $2.$
2)- Số $2\;025$ chia hết cho $5$ (khác $1$ và $2\;025).$ Do đó, $2\;025$ là hợp số.
3)- $84=2^2\cdot 3\cdot 7;\;$ $400=2^4\cdot 5^2;\;$ $1\;035=3^2\cdot 5\cdot 23.$
4)- $c=13\cdot 27=13\cdot 3^3$ (vì $27=3^3).$
5)- Vì $2^5\cdot c=2^4\cdot 24$ nên $c=(2^4\cdot 24)\;:\;(2^5)=24\;:\;2=12=2^2\cdot 3.$ Vậy dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của $c$ là: $c=2^2\cdot 3.$
6)-(*) Ta có: $(25\cdot 2\;021)\;\vdots\;5$ (vì $25\;\vdots\;5)$ và $5^{2\;021}\;\vdots\;5.$ Do đó, $\left(25\cdot 2\;021+5^{2\;021}\right)\;\vdots\;5$ (do tính chất chia hết của một tổng).
Mặt khác, ta nhận thấy rằng $5\neq 1$ và $5\neq 25\cdot 2\;021+5^{2\;021}.$
Từ những điều trên ta suy ra $25\cdot 2\;021+5^{2\;021}$ là hợp số.