Ước chung.
Ước chung (ƯC) của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
Chẳng hạn:
+) Ta thấy $8$ là ước của $16$ (vì $16\;\vdots\;8),$ và $8$ cũng là ước của $32$ (vì $32\;\vdots\;8).$ Do đó, $8$ là ước chung của $16$ và $32.$
+) Ta thấy $4$ là ước của các số $16; 48;88$ (vì các số $16;48;88$ đều chia hết cho $4).$ Do đó, $4$ là ước chung của $16;48;88.$
Ví dụ 1:
a) Số $3$ có phải là ước chung của $27$ và $87$ không? Vì sao?
b) Số $9$ có phải là ước chung của $45$ và $91$ không? Vì sao?
Giải:
a) Ta có: $27\;\vdots\;3$ và $87\;\vdots\;3$ (vì $8+7=15\;\vdots\;3).$
Do đó, $3$ là ước của $27$ và cũng là ước của $87.$
Suy ra $3$ là ước chung của $27$ và $87.$
b) Ta có: $91\;\not{\vdots}\;9$ (vì $9+1=10\;\not{\vdots}\;9).$
Do đó, $9$ không phải là ước của $91.$
Suy ra $9$ không phải là ước chung của $45$ và $91.$
Mẹo: Muốn biết $x$ có phải là ước chung của các số $a;b;c;d;…$ hay không, ta kiểm tra xem $a;b;c;d;…$ có chia hết cho $x$ hay không.
+) Nếu tất cả các số $a;b;c;d;…$ đều chia hết cho $x$ thì ta kết luận $x$ là ước chung của $a;b;c;d;…$
+) Nếu có ít nhất một số trong các số $a;b;c;d;…$ không chia hết cho $x$ thì ta kết luận $x$ không là ước chung của $a;b;c;d;…$
Ký hiệu $ƯC(a,b)$ để chỉ tập hợp các ước chung của $a$ và $b.$ (Tương tự, ký hiệu $ƯC(a,b,c,…)$ để chỉ tập hợp các ước chung của $a;b;c;…)$
Nếu $x$ là một ước chung của $a$ và $b,$ ta viết $x\in ƯC(a,b).$
Chẳng hạn, ta có:
$Ư(18)=\{\textbf{1};2;\textbf{3};6;\textbf{9};18\};$
$Ư(27)=\{\textbf{1};\textbf{3};\textbf{9};27\}.$
Ta thấy các số $1;3;9$ (được in đậm) là ước của $18$ và cũng là ước của $27.$ Do đó, các số này là các ước chung của $18$ và $27.$
Vậy $ƯC(18,27)=\{1;3;9\}.$
Ví dụ 2: Tìm các tập hợp sau: $Ư(12),$ $Ư(30).$ Từ đó suy ra tập hợp $ƯC(12,30).$
Giải:
$Ư(12)=\{1;2;3;4;6;12\}.$
$Ư(30)=\{1;2;3;5;6;10;15;30\}.$
Các số $1;2;3;6$ thuộc cả hai tập hợp $Ư(12)$ và $Ư(30),$ nên $ƯC(12,30)=\{1;2;3;6\}.$
Mẹo: Muốn tìm $ƯC(a,b,c,…),$ làm như sau:
+) Viết các tập hợp $Ư(a), Ư(b), Ưc),…$
+) Chọn ra các phần tử chung của $Ư(a), Ư(b), Ư(c),…$ Đó là các phần tử của tập hợp $ƯC(a,b,c,…).$
Ước chung lớn nhất.
Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.
Chẳng hạn, theo Ví dụ 2, tập hợp các ước chung của $12$ và $30$ là $ƯC(12,30)=\{1;2;3;6\}.$ Trong tập hợp này, $6$ là số lớn nhất nên $6$ là ước chung lớn nhất của $12$ và $30.$
Ký hiệu $ƯCLN(a,b)$ để chỉ ước chung lớn nhất của $a$ và $b.$ (Tương tự, ký hiệu $ƯCLN(a,b,c,…)$ để chỉ ước chung lớn nhất của $a,b,c,…)$
Nếu $y$ là ước chung lớn nhất của $a$ và $b,$ ta viết $y=ƯCLN(a,b).$
Ví dụ 3: Tìm các tập hợp $Ư(24), Ư(30), ƯC(24,30).$ Từ đó suy ra $ƯCLN(24,30).$
Giải:
$Ư(24)=\{1;2;3;4;6;8;12;24\}.$
$Ư(30)=\{1;2;3;5;6;10;15;30\}.$
Do đó, $ƯC(24,30)=\{1;2;3;6\}.$
Số lớn nhất trong tập hợp $ƯC(24,30)$ là $6$ nên $ƯCLN(24,30)=6.$
Mẹo: Cách tìm $ƯCLN(a,b):$
+) Viết các tập hợp $Ư(a)$ và $Ư(b).$
+) Viết tập hợp $ƯC(a,b)$ bằng cách chọn ra các phần tử chung của $Ư(a), Ư(b).$
+) Tìm số lớn nhất trong tập hợp $ƯC(a,b).$ Số vừa tìm được là $ƯCLN(a,b).$
Chú ý:
+) $ƯC(a,b)$ là một tập hợp, còn $ƯCLN(a,b)$ là một số.
+) $ƯC(1,x)=\{1\}$ và $ƯCLN(1,x)=1.$
Bài tập:
1)- Trong các số $4;7;2;6,$ số nào là ước chung của $12$ và $42?$
2)- Cho $a$ và $b$ là hai số tự nhiên. Hỏi $1$ có là ước chung của $a$ và $b$ không? Vì sao?
3)- Chọn ký hiệu $\in$ hoặc $\notin$ thích hợp cho $(?)$
a) $4\;(?)\;ƯC(12,18).$
b) $6\;(?)\;ƯC(12,18).$
c) $2\;(?)\;ƯC(4,6,8).$
4)- Viết tập hợp các ước của $6$ và tập hợp các ước của $9.$ Từ đó viết tập hợp các ước chung của $6$ và $9.$
5)-
a) Viết các tập hợp sau: $Ư(9), Ư(12), ƯC(9,12).$
b) Tìm số tự nhiên $x$ thỏa mãn $9\;\vdots\;x,$ $12\;\vdots\;x$ và $x>2.$
c) Tìm $ƯCLN(9,12).$
6)- Có $18$ miếng dứa và $27$ miếng dưa hấu được chia đều vào $x$ cái dĩa (các dĩa đều có dứa và dưa hấu, số miếng dứa trong các dĩa bằng nhau, số miếng dưa hấu trong các dĩa bằng nhau). Em hãy giải thích vì sao $x\in ƯC(18,27)$ rồi dựa vào đó để trả lời các câu hỏi sau:
a) Có bao nhiêu cách chia đều $18$ miếng dứa và $27$ miếng dưa hấu vào các dĩa?
b) Số dĩa nhiều nhất có thể chia được là bao nhiêu?
Giải:
1)- Trong các số $4;7;2;6,$
+) ta thấy $12$ chia hết cho $4;2;6.$ Do đó, $4;2;6$ là các ước của $12.$
+) ta thấy $42$ chia hết cho $7;2;6.$ Do đó, $7;2;6$ là các ước của $42.$
Suy ra $2;6$ là các ước chung của $12$ và $42.$
2)- CÓ. Vì $a$ và $b$ đều chia hết cho $1$ nên $1$ là ước của $a$ và cũng là ước của $b.$ Do đó, $1$ là ước chung của $a$ và $b.$
3)-
a) $4\notin ƯC(12,18)$ (vì $18\;\not{\vdots}\;4).$
b) $6\in ƯC(12,18)$ (vì $12$ và $18$ đều chia hết cho $6).$
c) $2\in ƯC(4,6,8)$ (vì $4;6;8$ đều chia hết cho $2).$
4)- $Ư(6)=\{1;2;3;6\}$ và $Ư(9)=\{1;3;9\}.$ Suy ra $ƯC(6,9)=\{1;3\}.$
5)-
a) $Ư(9)=\{1;3;9\},\;$ $Ư(12)=\{1;2;3;4;6;12\},\;$ $ƯC(9,12)=\{1;3\}.$
b) Vì $9\;\vdots\;x$ và $12\;\vdots\;x$ nên $x$ là ước chung của $9$ và $12.$ Vậy $x\in ƯC(9,12)=\{1;3\}$ (câu a).
Vì $x>2$ nên ta chọn $x=3.$
c) Ta có $ƯC(9,12)=\{1;3\}.$ Số lớn nhất trong tập hợp này là $3$ nên $ƯCLN(9,12)=3.$
6)- Vì $18$ miếng dứa và $27$ miếng dưa hấu được chia đều vào $x$ cái dĩa nên $18$ và $27$ đều chia hết cho $x.$ Do đó, $x$ là ước chung của $18$ và $27,$ hay $x\in ƯC(18,27).$
a) Ta có: $Ư(18)=\{1;2;3;6;9;18\}$ và $Ư(27)=\{1;3;9;27\}.$ Suy ra $ƯC(18,27)=\{1;3;9\}.$
Do đó, vì $x\in ƯC(18,27)$ nên $x=1$ hoặc $x=3$ hoặc $x=9.$
Vậy $18$ miếng dứa và $27$ miếng dưa hấu chỉ có thể chia đều thành $1$ dĩa, $3$ dĩa hoặc $9$ dĩa. Tức là có $3$ cách chia.
b) $x$ lớn nhất bằng $9$ nên số dĩa nhiều nhất có thể chia được là $9$ dĩa.
Nhận xét: Số dĩa nhiều nhất chia được bằng với $ƯCLN(18,27).$