Bài $\S\;$ 2.6 đã nêu cách tìm ước chung và ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số dựa vào định nghĩa. Nhắc lại:
+) Ta có thể viết tập hợp $ƯC(a,b)$ bằng cách chọn ra các phần tử chung của $Ư(a)$ và $Ư(b).$
+) Ta có thể tìm $ƯCLN(a,b)$ bằng cách chọn ra số lớn nhất trong tập hợp $ƯC(a,b).$
Tuy nhiên, bằng cách phân tích các số $a$ và $b$ ra thừa số nguyên tố, ta vẫn có thể tìm được $ƯCLN(a,b)$ mà không cần phải viết tập hợp $ƯC(a,b)$ trước.
Cách tìm Ước chung lớn nhất.
| Các bước tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn $1:$ | Ví dụ: Tìm $ƯCLN(24,60)$. |
|---|---|
| (1) Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố. | Phân tích ra thừa số nguyên tố: $24=2^3\cdot 3$ và $60=2^2\cdot 3\cdot 5.$ |
| (2) Chọn ra các thừa số nguyên tố chung. | Các thừa số nguyên tố chung là ${\color{red}2}$ và ${\color{red}3}.$ |
| (3) Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất. Tích đó là ƯCLN phải tìm. | Số mũ nhỏ nhất của ${\color{red}2}$ là ${\color{green}2}.$ Số mũ nhỏ nhất của ${\color{red}3}$ là ${\color{green}1}.$ Do đó: $ƯCLN(24,60)$ $={\color{red}2}^{\color{green}2}\cdot {\color{red}3}^{\color{green}1}$ $=12.$ |
Ví dụ 1: Tìm $ƯCLN(56,140,168).$
Giải:
Phân tích ra thừa số nguyên tố: $56=2^3\cdot 7;\;$ $140=2^2\cdot 5\cdot 7;\;$ $168=2^3\cdot 3\cdot 7.$
Các thừa số nguyên tố chung là $2$ và $7.$
Số mũ nhỏ nhất của $2$ là $2;$ số mũ nhỏ nhất của $7$ là $1.$ Do đó, $ƯCLN(56,140,168)=2^2\cdot 7^1=28.$
Chú ý: Sau bước phân tích các số ra thừa số nguyên tố, nếu chúng không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng bằng $1.$ Hai số có ƯCLN bằng $1$ được gọi là hai số nguyên tố cùng nhau.
Ví dụ 2: Tìm $ƯCLN(24,25).$ Dựa vào đó để cho biết $24$ và $25$ có phải là hai số nguyên tố cùng nhau hay không?
Giải:
Phân tích ra thừa số nguyên tố: $24=2^3\cdot 3;\;$ $25=5^2.$
Ta thấy $24$ và $25$ không có thừa số nguyên tố chung. Do đó, $ƯCLN(24,25)=1.$
Từ đó suy ra rằng $24$ và $25$ là hai số nguyên tố cùng nhau.
Chú ý: Phương pháp tìm ƯCLN bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố chỉ áp dụng đối với các số lớn hơn $1.$ Nếu các số cần tìm ƯCLN có số $1$ thì ƯCLN của chúng bằng $1.$ Chẳng hạn, $ƯCLN(2\;023, 1)=1;\;$ $ƯCLN(1, 3, 15)=1.$
Tìm ước chung dựa vào ước chung lớn nhất.
Ta có nhận xét rằng: “ƯC của hai hay nhiều số đều là ước của ƯCLN của chúng”. Vậy ta có thể tìm ƯC dựa vào ƯCLN.
| Các bước tìm ƯC dựa vào ƯCLN: | Ví dụ: Tìm $ƯC(24,60).$ |
|---|---|
| (1) Tìm ƯCLN của các số. | Ta có: $ƯCLN(24,60)=12.$ |
| (2) Tìm các ước của ƯCLN đó. | Các ước của $12$ là: $1;2;3;4;6;12.$ Vậy $ƯC(24,60)$ $=\{1;2;3;4;6;12\}.$ |
Ví dụ 3: Tìm $ƯC(63,147).$
Giải:
Phân tích ra thừa số nguyên tố: $63=3^2\cdot 7;\;$ $147=3\cdot 7^2.$
Các thừa số nguyên tố chung là $3$ và $7.$ Số mũ nhỏ nhất của $3$ là $1;$ số mũ nhỏ nhất của $7$ là $1.$
Vậy $ƯCLN(63,147)=3\cdot 7=21.$
Suy ra: $ƯC(63,147)=Ư(21)=\{1;3;7;21\}.$
Bài tập:
1)- Tìm: $ƯCLN(1,49);\;$ $ƯCLN(15,30);\;$ $ƯCLN(27,35);\;$ $ƯCLN(84,156).$
2)- Dựa vào ƯCLN, tìm $ƯC(180,234).$
3)- Số $9$ và số $25$ có phải là hai số nguyên tố cùng nhau không?
Giải:
1)- $ƯCLN(1,49)=1;\;$ $ƯCLN(15,30)=15;\;$ $ƯCLN(27,35)=1;\;$ $ƯCLN(84,156)=12.$
2)- Phân tích ra thừa số nguyên tố: $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$ và $234=2\cdot 3^2\cdot 13.$
Thừa số nguyên tố chung là $2$ và $3.$ Số mũ nhỏ nhất của $2$ là $1;$ số mũ nhỏ nhất của $3$ là $2.$
Do đó, $ƯCLN(180,234)=2\cdot 3^2=18.$
Suy ra $ƯC(180,234)=Ư(18)=\{1;2;3;6;9;18\}.$
3)- Phân tích ra thừa số nguyên tố: $9=3^2$ và $25=5^2.$ Vì không có thừa số nguyên tố chung nên $ƯCLN(9,25)=1.$ Do đó, $9$ và $25$ là hai số nguyên tố cùng nhau.