Bội chung.
Bội chung (BC) của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.
Chú ý: Ta chỉ xét bội chung của các số khác $0.$
Chẳng hạn:
+) Ta thấy $16$ là bội của $2$ (vì $16\;\vdots\;2),$ và $16$ cũng là bội của $4$ (vì $16\;\vdots\;4).$ Do đó, $16$ là bội chung của $2$ và $4.$
+) Ta thấy $30$ là bội của cả ba số $2;6;10$ (vì $30$ chia hết cho cả ba số $2;6;10).$ Do đó, $30$ là bội chung của $2;6;10.$
Ví dụ 1:
a) Số $45$ có phải là bội chung của $3$ và $9$ không? Vì sao?
b) Số $65$ có phải là bội chung của $5$ và $26$ không? Vì sao?
Giải:
a) Ta có $45\;\vdots\;3$ và $45\;\vdots\;9$ nên $45$ là bội của $3$ và cũng là bội của $9.$
Do đó, $45$ là bội chung của $3$ và $9.$
b) Ta có $65\;\not{\vdots}\;26$ nên $65$ không phải là bội của $26.$
Do đó, $65$ không phải là bội chung của $5$ và $26.$
Mẹo: Muốn biết $x$ có phải là bội chung của $a,b,c,d,…$ hay không, ta kiểm tra xem $y$ có chia hết cho $a,b,c,d,…$ hay không.
+) Nếu $x$ chia hết cho tất cả các số $a,b,c,d,…$ thì ta kết luận $y$ là bội chung của $a,b,c,d,…$
+) Nếu $x$ không chia hết cho một số bất kỳ nào đó trong các số $a,b,c,d,…$ thì ta kết luận $y$ không là bội chung của $a,b,c,d,…$
Ký hiệu $BC(a,b)$ để chỉ tập hợp các bội chung của $a$ và $b.$ (Tương tự, ký hiệu $BC(a,b,c,…)$ để chỉ tập hợp các bội chung của $a,b,c,…)$
Nếu $x$ là bội chung của $a$ và $b,$ ta viết $x\in BC(a,b).$
Chẳng hạn, ta có:
$B(4)=\{\textbf{0};4;8;\textbf{12};16;20;\textbf{24};28;…\},$
$B(6)=\{\textbf{0};6;\textbf{12};18;\textbf{24};30;…\}.$
Ta thấy các số $0;12;24;…$ (được in đậm) là bội của $4$ và cũng là bội của $6.$ Do đó, các số này là các bội chung của $4$ và $6.$
Vậy $BC(4,6)=\{0;12;24;…\}.$
Ví dụ 2: Tìm các tập hợp sau: $B(3), B(4).$ Từ đó suy ra tập hợp $BC(3,4).$
Giải:
$B(3)=\{0;3;6;9;12;15;18;21;24;27;…\}.$
$B(4)=\{0;4;8;12;16;20;24;…\}.$
Các số $0;12;24;…$ thuộc cả hai tập hợp $B(3)$ và $B(4),$ nên $BC(3,4)=\{0;12;24;…\}.$
Mẹo: Muốn tìm $BC(a,b,c,…),$ ta làm như sau:
+) Viết các tập hợp $B(a), B(b), B(c), …$
+) Chọn ra các phần tử chung của $B(a), B(b), B(c),…$ Đó là các phần tử của tập hợp $BC(a,b,c,…).$
Bội chung nhỏ nhất.
Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác $0$ trong tập hợp các bội chung của các số đó.
Chẳng hạn, theo Ví dụ 2, tập hợp các bội chung của $3$ và $4$ là $BC(3,4)=\{0;12;24;…\}.$ Trong tập hợp này, $12$ là số nhỏ nhất khác $0$ nên $12$ là bội chung nhỏ nhất của $3$ và $4.$
Ký hiệu $BCNN(a,b)$ để chỉ bội chung nhỏ nhất của $a$ và $b.$ (Tương tự, ký hiệu $BCNN(a,b,c,…)$ để chỉ bội chung nhỏ nhất của $a,b,c,…)$
Nếu $y$ là bội chung nhỏ nhất của $a$ và $b,$ ta viết $BCNN(a,b)=y.$
Ví dụ 3: Tìm các tập hợp $B(6), B(8), BC(6,8).$ Từ đó suy ra $BCNN(6,8).$
Giải:
$B(6)=\{0;6;12;18;24;30;36;42;48;54…\}.$
$B(8)=\{0;8;16;24;32;40;48;56;…\}.$
Do đó, $BC(6,8)=\{0;24;48;…\}.$
Số nhỏ nhất khác $0$ trong tập hợp $BC(6,8)$ là $24$ nên $BCNN(6,8)=24.$
Mẹo: Cách tìm $BCNN(a,b):$
+) Viết các tập hợp $B(a)$ và $B(b).$
+) Viết tập hợp $BC(a,b)$ bằng cách chọn ra các phần tử chung của $B(a), B(b).$
+) Tìm số nhỏ nhất khác $0$ trong tập hợp $BC(a,b).$ Số vừa tìm được là $BCNN(a,b).$
Chú ý:
+) $BC(a,b)$ là một tập hợp, còn $BCNN(a,b)$ là một số.
+) $BC(1,x)=B(x)$ và $BCNN(1,x)=x.$
Bài tập:
1)- Trong các số $21;63;45,$ số nào là bội chung của $7$ và $9?$
2)- Cho $a$ và $b$ là hai số tự nhiên khác $0.$ Hỏi $0$ có là bội chung của $a$ và $b$ không? Vì sao?
3)- Chọn ký hiệu $\in$ hoặc $\notin$ thích hợp cho $(?).$
a) $35\;(?)\;BC(5,7).$
b) $27\;(?)\;BC(9,2).$
c) $240\;(?)\;BC(2,4,6).$
4)-
a) Viết các tập hợp sau: $B(2), B(7), B(2,7).$
b) Tìm số tự nhiên $x$ thỏa mãn: $x\;\vdots\;2,$ $x\;\vdots\;7$ và $14 < x\leq 28.$
c) Tìm $BCNN(2,7).$
5)- Một trường học tổ chức cho học sinh đi tham quan bằng ô tô. Biết rằng nếu xếp $40$ học sinh hay $45$ học sinh vào một xe thì đều không dư. Hãy giải thích vì sao số học sinh đi tham quan là bội chung của $40$ và $45.$
Giải:
1)- $63$ là bội chung của $7$ và $9$ (vì $63$ chia hết cho cả $7$ và $9).$
$21$ không phải là bội chung của $7$ và $9$ (vì $21\;\not{\vdots}\;9).$
$45$ không phải là bội chung của $7$ và $9$ (vì $45\;\not{\vdots}\;7).$
2)- CÓ.
$0$ là bội chung của $a$ và $b$ vì $0$ chia hết cho cả $a$ và $b.$
3)-
a) $35\in BC(5,7)$ (vì $35$ chia hết cho cả $5$ và $7).$
b) $27\notin BC(9,2)$ (vì $27\;\not{\vdots}\;2).$
c) $240\in BC(2,4,6)$ (vì $240$ chia hết cho cả $2;4;6).$
4)-
a) $B(2)=\{0;2;4;6;8;10;12;14;16;…\},\;$ $B(7)=\{0;7;14;21;28…\},\;$ $B(2,7)=\{0;14;28…\}.$
b) Để $x\;\vdots\;2$ và $x\;\vdots\;7$ thì $x\in BC(2,7)=\{0;14;28;…\}.$
Mà $14 < x\leq 28$ nên $x=28.$
c) $14$ là số nhỏ nhất khác $0$ trong tập hợp $BC(2,7)$ nên $BCNN(2,7)=14.$
5)- Các học sinh đi tham quan khi xếp $40$ học sinh hay $45$ học sinh vào một xe thì đều không dư nên số học sinh đi tham quan chia hết cho $40$ và chia hết cho $45.$ Do đó, số học sinh đi tham quan vừa là bội của $40$ vừa là bội của $45.$ Tức là số học sinh đi tham quan là bội chung của $40$ và $45.$