Dùng số nguyên dương, số nguyên âm để diễn đạt tình huống cụ thể.
Người ta thường dùng số nguyên dương và số nguyên âm để diễn đạt các tình huống trái ngược nhau.
Chẳng hạn: trong làm ăn, nếu thua lỗ $2$ triệu đồng thì ta có thể dùng số nguyên âm để diễn đạt và nói “lợi nhuận là $-2$ triệu đồng”; còn nếu lãi $3$ triệu đồng thì ta dùng số nguyên dương để diễn đạt và nói “lợi nhuận là $3$ triệu đồng”.
Ví dụ 1: Diễn tả lại các tình huống sau bằng cách dùng số nguyên âm:
a) Nhiệt độ $2$ độ dưới $0^oC.$
b) Làm ăn thua lỗ $60$ triệu đồng sau hai tháng.
c) Bị trừ $5$ điểm vì bắn trượt mục tiêu.
d) Ông Pythagoras sinh vào khoảng năm 570 trước Công nguyên.
e) Tàu ngầm đang ở độ sâu $20$ mét dưới mực nước biển.
Giải:
Dùng số nguyên âm, ta có thể diễn tả lại các tình huống đã nêu bằng cách khác (cùng nghĩa) như sau:
a) Nhiệt độ $-2^oC.$
b) Làm ăn đạt lợi nhuận là $-60$ triệu đồng sau hai tháng.
c) Được $-5$ điểm vì bắn trượt mục tiêu.
d) Ông Pythagoras sinh vào khoảng năm $-570$ (Công nguyên).
e) Tàu ngầm đang ở độ cao $-20$ mét.
Phép cộng và phép trừ số nguyên.
Thêm – bớt, tăng – giảm: Ta dùng phép cộng khi thêm hoặc tăng một lượng nào đó; dùng phép trừ khi bớt hoặc giảm một lượng nào đó.
Ví dụ 2: Tàu ngầm đang ở độ cao $-20$ m so với mực nước biển. Sau đó, tàu nổi lên $7$ m rồi lại chìm xuống $3$ m.
a) Hỏi độ cao cuối cùng của tàu ngầm là bao nhiêu (so với mực nước biển)?
b) Thực tế thì cuối cùng tàu ngầm ở dưới hay ở trên mực nước biển bao nhiêu mét?
Hướng dẫn:
a) Dùng phép cộng khi nổi lên (do tăng chiều cao) và dùng phép trừ khi chìm xuống (do giảm chiều cao).
$\rightarrow$ Biểu thức tính độ cao cuối cùng của tàu ngầm là: $(-20)+7-3.$
b) Nếu độ cao (câu a đã tính) là số dương thì trên mực nước biển, nếu là số âm thì dưới mực nước biển.
Giải:
a) Biểu thức tính độ cao cuối cùng của tàu ngầm là: $(-20)+7-3$ $=-20-3+7$ $=-23+7$ $=-16.$
Vậy độ cao cuối cùng của tàu ngầm là $-16$ m.
b) Vì $-16 < 0$ nên tàu ngầm ở dưới mực nước biển $16$ mét.
Sự chênh lệch: Ta dùng phép trừ khi muốn tính sự chênh lệch giữa hai đại lượng. Chẳng hạn:
+) Muốn biết A cao hơn B bao nhiêu, ta lấy độ cao của A trừ cho độ cao của B.
+) Muốn biết A hơn B bao nhiêu tuổi, ta lấy tuổi của A trừ cho tuổi của B.
+) Muốn tính tuổi hiện tại của một người, ta lấy năm hiện tại trừ cho năm sinh. Muốn tính tuổi thọ, ta lấy năm mất trừ cho năm sinh.
Ví dụ 3: Nhiệt độ vào buổi sáng sớm ở một thành phố nọ là $-4^oC.$ Đến giữa trưa hôm đó, nhiệt độ là $13^oC.$ Hỏi nhiệt độ đã tăng hay giảm bao nhiêu độ $C$ từ sáng đến trưa?
Giải:
Ta có: $13 > -4$
Vậy nhiệt độ lúc trưa cao hơn lúc sáng, tức là nhiệt độ độ đã tăng từ sáng đến trưa.
Số độ $C$ tăng lên từ sáng đến trưa là: $13-(-4)=13+4=17\;(^oC).$
Ví dụ 4: Ông Archimedes sinh vào khoảng năm $287$ trước Công nguyên và mất vào khoảng năm $212$ trước Công nguyên. Hỏi tuổi thọ của ông Archimedes là bao nhiêu?
Hướng dẫn:
Sinh năm $287$ trước Công nguyên tức là sinh năm $-287.$
Sinh năm $212$ trước Công nguyên tức là sinh năm $-212.$
Tuổi thọ được tính bằng cách lấy năm mất trừ cho năm sinh, tức là: $(-212)-(-287).$
Giải:
Ông Archimedes sinh năm $287$ trước Công nguyên và mất năm $212$ trước Công nguyên, tức là sinh năm $-287$ và mất năm $-212.$
Ta có: $(-212)-(-287)=-212+287=75.$
Vậy ông Archimedes thọ $75$ tuổi.
Phép nhân và phép chia số nguyên.
Dùng phép nhân khi cộng nhiều lần những lượng bằng nhau.
Khi chia phần lớn thành những phần nhỏ (bằng nhau), ta dùng phép chia để tính số phần bằng nhau, hoặc giá trị của mỗi phần.
Ví dụ 5: Trong $5$ tháng đầu năm, lợi nhuận của một công ty là $-23$ triệu đồng mỗi tháng. Tính lợi nhuận của công ty này sau $5$ tháng đầu năm.
Giải:
Lợi nhuận của công ty này sau $5$ tháng đầu năm là: $5\cdot(-23)=-115$ (triệu đồng).
Lưu ý: Lợi nhuận $-115$ triệu đồng cho thấy công ty đã lỗ $115$ triệu đồng trong $5$ tháng đầu năm.
Ví dụ 6: Minh chơi một trò chơi điện tử. Mỗi lần bắn trượt mục tiêu sẽ nhận được $-15$ điểm. Hỏi Minh bắn trượt mục tiêu bao nhiêu lần thì bị trừ $60$ điểm?
Giải:
Bị trừ $60$ điểm tức là nhận được $-60$ điểm.
Do đó, số lần Minh bắn trượt mục tiêu là: $(-60):(-15)=60:15=4$ (lần).
Bài tập:
1)- Vào một ngày mùa đông ở thủ đô Paris của nước Pháp, nhiệt độ lúc $12$ giờ trưa là $11^oC,$ nhiệt độ lúc $7$ giờ tối là $-3^oC.$
a) Nhiệt độ đã thay đổi bao nhiêu từ $12$ giờ trưa đến $7$ giờ tối?
b) Biết rằng nhiệt độ đã thay đổi ổn định từ trưa đến tối. Hỏi mỗi giờ nhiệt độ đã thay đổi bao nhiêu độ?
c) Nhiệt độ lúc $7$ giờ tối của ngày hôm sau là $-4^oC.$ So với $7$ giờ tối ngày hôm trước thì nhiệt độ đã tăng hay giảm bao nhiêu độ $C?$
2)- Một tủ cấp đông khi chưa bật tủ thì nhiệt độ bằng $22^oC.$ Khi bật tủ đông, nhiệt độ bên trong tủ giảm $2^oC$ mỗi phút. Hỏi phải mất bao lâu để tủ đông đạt $-10^oC?$
3)- Một chiếc diều bay lên đến độ cao $15$ m (so với mặt đất), sau đó giảm $5$ m rồi gặp gió lại lên $7$ m. Hỏi cuối cùng chiếc diều ở độ cao bao nhiêu?
4)- Một chung cư có $25$ tầng và $2$ tầng hầm (tầng trệt được đặt là tầng $G,$ các tầng trên (lầu) được đánh số từ thấp đến cao là $1;2;3;…;24$ (tầng cao nhất là $24),$ các tầng hầm được đánh số từ cao xuống thấp là $B1; B2).$ Một thang máy đang ở tầng $12,$ sau đó đi lên $7$ tầng, và xuống $21$ tầng rồi lại lên $2$ tầng. Hỏi cuối cùng thì thang máy dừng lại ở tầng nào?
5)- Pithagoras được sinh vào khoảng năm $582$ trước Công nguyên. Newton sinh năm $1643$ Công nguyên. Họ sinh ra cách nhau bao nhiêu năm?
6)- Ông Archimedes sinh năm $287$ trước Công nguyên. Sau đó $2166$ năm thì ông Einstein ra đời. Hỏi ông Einstein sinh năm bao nhiêu?
7)- Công ty An Bình có lợi nhuận mỗi tháng trong $4$ tháng đầu năm là $-70$ triệu đồng. Trong $8$ tháng tiếp theo, lợi nhuận mỗi tháng của công ty là $60$ triệu đồng. Sau $12$ tháng kinh doanh, lợi nhuận của công ty An Bình là bao nhiêu tiền?
8)- Một tàu ngầm trên mặt đại dương lặn xuống với tốc độ là $2$ m/s trong $3$ phút. Sau đó, nó nổi lên với tốc độ là $3$ m/s trong $2$ phút. Cuối cùng, nó lặn xuống với tốc độ $3$ m/s trong $1$ phút. Độ cao cuối cùng của tàu ngầm là bao nhiêu so với bề mặt đại dương?
Giải:
1)-
a) Từ $12$ giờ trưa đến $7$ giờ tối, nhiệt độ đã thay đổi: $(-3)-11=-14\;(^oC).$
b) Số giờ từ $12$ giờ trưa đến $7$ giờ tối $(19$ giờ) là: $19-12=7$ (giờ).
Mỗi giờ nhiệt độ đã thay đổi: $(-14):7=-2\;(^oC).$
c) Nhiệt độ lúc $7$ giờ tối của ngày hôm trước là $-3^oC,$ của ngày hôm sau là $-4^oC.$
Số độ đã thay đổi là: $(-4)-(-3)=-4+3=-1\;(^oC).$
Vì $-1 < 0$ nên nhiệt độ đã giảm $1^oC$ từ ngày hôm trước đến ngày hôm sau (lúc $7$ giờ tối).
2)- Để đạt $-10^oC,$ nhiệt độ đã thay đổi: $(-10)-22=-32\;(^oC).$
Nhiệt độ bên trong tủ giảm $2^oC$ mỗi phút tức là thay đổi $-2^oC$ mỗi phút.
Do đó, thời gian để tủ đông đạt $-10^oC$ là: $(-32):(-2)=32:2=16$ (phút).
3)- Độ cao cuối cùng của chiếc diều là: $15-5+7=17$ (m).$
4)- Ta dùng số nguyên để đánh số các tầng:
+) Tầng hầm $B1, B2$ được đánh số lần lượt là $-1;-2.$
+) Tầng trệt $G$ được đánh số là $0.$
+) Tầng lầu được đánh số là $1;2;3;…;24.$
Thang máy đang ở tầng $12,$ sau đó đi lên $7$ tầng, và xuống $21$ tầng rồi lại lên $2$ tầng thì cuối cùng đến tầng: $12+7-21+2=0$ (tức là tầng trệt).
Vậy cuối cùng thang máy dừng ở tầng trệt $G.$
5)- Pithagoras được sinh vào khoảng năm $582$ trước Công nguyên, tức là sinh năm $-582.$ Newton sinh năm $1643$ Công nguyên, tức là sinh năm $1643.$ Họ sinh ra cách nhau: $1643-(-582)=1643+582=2225$ (năm).
6)- Ông Archimedes sinh năm $287$ trước Công nguyên, tức là sinh năm $-287.$ Sau đó $2166$ năm thì ông Einstein ra đời nên năm sinh của ông Einstein là: $(-287)+2166=1879.$
7)- Lợi nhuận trong $4$ tháng đầu năm là $4\cdot(-70)=-280$ (triệu đồng).
Lợi nhuận trong $8$ tháng tiếp theo là $8\cdot 60=480$ (triệu đồng).
Vậy lợi nhuận sau $12$ tháng kinh doanh là: $(-280)+480=200$ (triệu đồng).
8)- Tàu ngầm khi trên mặt đại dương có độ cao là $0$ m.
Ta có $2$ phút = $120$ giây, $3$ phút = $180$ giây, $1$ phút = $60$ giây.
Độ cao cuối cùng của tàu ngầm là: $0-2\cdot 180+3\cdot 120-3\cdot 60$ $=0-360+360-180$ $=-180$ (m).