Phép chia hết hai số nguyên.
Khái niệm chia hết.
Cho hai số nguyên $a$ và $b$ (với $b$ khác $0).$ Nếu phần số của $a$ chia hết cho phần số của $b$ thì ta nói $a$ chia hết cho $b,$ ký hiệu là $a\;\vdots\;b.$
Ta vẫn dùng ký hiệu $a\;\not{\vdots}\;b$ để chỉ “$a$ không chia hết cho $b$”.
Chẳng hạn:
+) Xét hai số nguyên $-27$ và $3.$ Ta thấy $27\;\vdots\;3$ nên $-27\;\vdots\;3.$
+) Xét hai số nguyên $17$ và $-2.$ Ta thấy $17\;\not{\vdots}\;2$ nên $17\;\not{\vdots}\;-2.$
Cách tính thương $a\;:\;b.$
Nếu số nguyên $a$ chia hết cho số nguyên $b$ thì ta tính thương $a\;:\;b$ như sau:
Bước 1 (Tìm phần dấu của thương): Dựa vào dấu của $a$ và $b,$
- Nếu $a$ và $b$ cùng dấu thì thương $a\;:\;b$ mang dấu dương $(+).$
- Nếu $a$ và $b$ khác dấu thì thương $a\;:\;b$ mang dấu âm $(-).$
Bước 2 (Tìm phần số của thương): Lấy phần số của $a$ chia cho phần số của $b$ ta được phần số của thương $a\;:\;b.$
Để được thương, ta đặt phần dấu ở Bước 1 vào trước phần số ở Bước 2.
Ví dụ 1: Tính: $(-45)\;:\;(-5).$
Hướng dẫn:
Hai số $-45$ và $-5$ cùng dấu (âm) nên:
- phần dấu của thương là dương $(+);$
- phần số của thương là $45\;:\;5.$
Đặt phần dấu vào trước phần số: $+(45\;:\;5)=45\;:\;5.$
Giải:
$(-45)\;:\;(-5)=45\;:\;5=9.$
Ví dụ 2: Tính $75\;:\;(-15).$
Hướng dẫn:
Hai số $75$ và $-15$ khác dấu nên:
- phần dấu của thương là âm $(-);$
- phần số của thương là $75\;:\;15.$
Đặt phần dấu vào trước phần số: $-(75\;:\;15).$
Giải:
$75\;:\;(-15)=-(75\;:\;15)=-5.$
Ví dụ 3: Sau một quý $(3$ tháng) kinh doanh, tổng lợi nhuận của ông Bình là $-15$ triệu đồng (hay lỗ $15$ triệu đồng). Tính lợi nhuận trung bình mỗi tháng của ông Bình.
Giải:
Lợi nhuận trung bình mỗi tháng của ông Bình là: $(-15)\;:\;3=-(15\;:\;3)=-5$ (triệu đồng).
(Tức là ông Bình lỗ khoảng $5$ triệu đồng mỗi tháng).
Ước và bội của một số nguyên.
Khái niệm ước và bội trong tập hợp các số nguyên $\mathbb{Z}$ tương tự như ước và bội trong tập hợp các số tự nhiên $\mathbb{N}.$ Đó là:
Nếu $a$ chia hết cho $b$ thì $a$ là bội của $b$ và $b$ là ước của $a$ (với $a,b\in\mathbb{Z}).$
Ví dụ 4: Cho các số nguyên: $-2;3;5;-9.$
a) Số nào là ước của $-5$ trong các số đã cho?
b) Số nào là bội của $3$ trong các số đã cho?
Giải:
a) Ta thấy $-5$ chia hết cho $5$ nên $5$ là ước của $-5.$
b) Ta thấy các số $3$ và $-9$ chia hết cho $3$ nên $3$ và $-9$ là các bội của $3.$
Nhận xét: Do sự chia hết chỉ liên quan đến phần số của số nguyên (mà không liên quan đến phần dấu), ta có:
- Nếu $a$ là bội của $b$ thì $-a$ cũng là bội của $b.$
- Nếu $b$ là ước của $a$ thì $-b$ cũng là ước của $a.$
Vì vậy, để tìm các ước (hoặc bội) của một số nguyên $x,$ ta tìm các ước (hoặc bội) không âm của $x,$ cùng với các số đối của chúng.
Ví dụ 5: Tìm tất cả các ước (nguyên) của $6.$
Hướng dẫn:
Trước tiên, ta tìm các ước không âm của $6,$ đó là: $1;2;3;6.$
Từ đó, thêm vào các số đối của các ước vừa tìm được, đó là: $-1;-2;-3;-6.$
Vậy ta được tất cả các ước (nguyên) của $6$ là: $-6;-3;-2;-1;1;2;3;6.$
Giải:
Các ước không âm của $6$ gồm: $1;2;3;6.$
Số đối của các ước vừa tìm được là: $-1;-2;-3;-6.$
Vậy tất cả các ước (nguyên) của $6$ là: $-6;-3;-2;-1;1;2;3;6.$
Ví dụ 6: Tìm các bội (nguyên) của $-2.$
Hướng dẫn:
Trước tiên, tìm các bội không âm của $-2,$ đó là: $0;2;4;6;8;…$
Từ đó, thêm vào các số đối của các bội vừa tìm được, đó là: $0;-2;-4;-6;-8;…$
Vậy ta được các bội (nguyên) của $-2$ là: $…;-8;-6;-4;-2;0;2;4;6;8;…$
(Lưu ý có dấu ba chấm $(…)$ ở đầu và cuối dãy; số $0$ chỉ viết một lần, không cần lặp lại.)
Giải:
Các bội không âm của $-2$ gồm: $0;2;4;6;8;…$
Số đối của các bội vừa tìm được là: $0;-2;-4;-6;-8;…$
Vậy các bội (nguyên) của $-2$ là: $…;-8;-6;-4;-2;0;2;4;6;8;…$
Bài tập:
1)- Tính:
a) $192\;:\;(-3).$
b) $(-450)\;:\;(-90).$
c) $(-725)\;:\;25.$
d) $(+350)\;:\;(-14).$
2)- Minh chơi một trò chơi điện tử. Mỗi lần bắn trượt mục tiêu sẽ nhận được $-15$ điểm.
a) Nếu Minh bắn trượt mục tiêu $2$ lần thì số điểm của Minh bị giảm bao nhiêu điểm?
b) Sau một số lần bắn trượt mục tiêu, số điểm của Minh đã bị giảm $60$ điểm. Hỏi Minh bắn trượt mục tiêu mấy lần?
3)- Một tủ cấp đông khi chưa bật thì nhiệt độ bằng $22^oC.$ Khi bật tủ đông, nhiệt độ bên trong tủ giảm $2^oC$ mỗi phút.
a) Sau khi bật tủ $12$ phút, nhiệt độ bên trong tủ là bao nhiêu độ $C?$
b) Phải mất bao lâu (từ khi bắt đầu bật tủ) thì tủ đông đạt $-12^o C?$
4)-
a) Tìm các ước nguyên của $35.$
b) Tìm các bội khác $0$ của $6,$ lớn hơn $-36$ và nhỏ hơn $20.$
Giải:
1)-
a) $192\;:\;(-3)=-(192\;:\;3)=-64.$
b) $(-450)\;:\;(-90)=450\;:\;90=5.$
c) $(-725)\;:\;25=-(725\;:\;25)=-29.$
d) $(+350)\;:\;(-14)=-(350\;:\;14)=-25.$
2)-
a) Nếu Minh bắn trượt mục tiêu $2$ lần thì Minh nhận được: $2\cdot (-15)=-(2\cdot 15)=-30$ (điểm).
Tức là số điểm của Minh bị giảm $30$ điểm sau $2$ lần bắn trượt mục tiêu.
b) Bị giảm $60$ điểm cũng có nghĩa là nhận được $-60$ điểm.
Do đó, số lần Minh bắn trượt mục tiêu là: $(-60)\;:\;(-15)=60\;:\;15=4$ (lần).
3)-
a) Sau khi bật tủ $12$ phút, nhiệt độ bên trong tủ giảm: $12\cdot 2=24\;(^oC).$
Do đó, sau khi bật $12$ phút thì nhiệt độ bên trong tủ là: $22-24=-(24-22)=-2\;(^oC)
.$
b) Khi tủ đông đạt $-12^oC$ thì nhiệt đã thay đổi: $(-12)-22$ $=(-12)+(-22)$ $=-(12+22)$ $=-34\;(^oC).$
Tức là nhiệt độ đã giảm $34^oC.$
Do đó, thời gian để tủ đông đạt $-12^oC$ là: $34\;:\;2=17$ (phút).
4)-
a) Các ước không âm của $35$ gồm: $1;5;7;35.$
Các số đối của các ước vừa tìm được gồm: $-1;-5;-7;-35.$
Vậy các ước nguyên của $35$ gồm: $-35;-7;-5;-1;1;5;7;35.$
b) Các bội không âm của $6$ gồm: $0;6;12;18;24;30;36;…$
Số đối của các bội vừa tìm được là: $0;-6;-12;-18;-24;-30;-36;…$
Vậy các bội (nguyên) của $6$ gồm: $…;-36;-30;-24;-18;-12;-6;0;6;12;18;24;…$
Ta cần tìm các bội khác $0,$ lớn hơn $-36$ và nhỏ hơn $20$ nên ta chọn các số: $-30;-24;-18;-12;-6;0;6;12;18.$