Khái niệm hỗn số (dương).
Trong một phân số có tử và mẫu đều là số nguyên dương, nếu tử lớn hơn mẫu thì ta đều có thể viết phân số đó dưới dạng tổng của một số nguyên dương và một phân số nhỏ hơn $1.$
Chẳng hạn:
$\dfrac{7}{3}$ $=\dfrac{2\cdot 3+1}{3}$ $=\dfrac{2\cdot 3}{3}+\dfrac{1}{3}$ $=2+\dfrac{1}{3}.$
Trong tổng $2+\dfrac{1}{3},$ người ta thường lược bỏ dấu cộng và viết gọn lại là $2\dfrac{1}{3}$ (được đọc là “hai, một phần ba”).
Số có dạng như $2\dfrac{1}{3}$ được gọi là một hỗn số dương (thường được gọi tắt là “hỗn số”).
Cấu tạo của hỗn số.
Mỗi hỗn số đều gồm một số nguyên dương (phần nguyên) đi liền với một phân số nhỏ hơn $1$ (phần phân số).
Ví dụ 1: Đọc mỗi hỗn số sau và cho biết phần nguyên và phần phân số của nó: $3\dfrac{1}{5};$ $7\dfrac{2}{3}.$
Giải:
$3\dfrac{1}{5}$ được đọc là: “ba, một phần năm”; có phần nguyên là $3$ và phần phân số là $\dfrac{1}{5}.$
$7\dfrac{2}{3}$ được đọc là: “bảy, hai phần ba”; có phần nguyên là $7$ và phần phân số là $\dfrac{2}{3}.$
Ví dụ 2: $7\dfrac{5}{2}$ có phải là một hỗn số không? Vì sao?
Giải:
$7\dfrac{5}{2}$ không phải là một hỗn số, vì $\dfrac{5}{2} > 1.$
Mối quan hệ giữa hỗn số và phân số.
Mỗi phân số có tử, mẫu đều là số dương và lớn hơn $1$ đều viết được dưới dạng hỗn số. Ngược lại, mỗi hỗn số đều viết được dưới dạng phân số.
Cách đổi phân số thành hỗn số.
Muốn viết phân số (lớn hơn $1$ và có tử, mẫu đều là số dương) thành hỗn số, ta thực hiện phép chia tử cho mẫu. Khi đó, thương là phần nguyên và số dư là tử (trong phần phân số) của hỗn số.
Ví dụ 3: Viết phân số $\dfrac{25}{4}$ ra dạng hỗn số.
Giải:
Ta có: $25:4=6$ (dư $1).$
Do đó: $\dfrac{25}{4}=6\dfrac{1}{4}.$
Ví dụ 4: Dùng hỗn số để đổi độ dài $3\;100\;m$ sang đơn vị $km.$
Giải:
$3\;100\;m=\dfrac{3\;100}{1\;000}\;km$ $=\dfrac{31}{10}$ $=3\dfrac{1}{10}\;km.$
Cách đổi hỗn số thành phân số.
Mỗi hỗn số đều có thể đổi thành phân số bằng cách áp dụng công thức:
$q\dfrac{r}{b}=\dfrac{q\cdot b+r}{b}.$
Chẳng hạn:
Ví dụ 5: Viết hỗn số $7\dfrac{3}{10}$ thành dạng phân số.
Giải:
$7\dfrac{3}{10}=\dfrac{7\cdot 10+3}{10}=\dfrac{73}{10}.$
Mẹo:
Nếu lỡ quên công thức đổi hỗn số thành phân số, ta tách hỗn số thành dạng phép cộng: $q\dfrac{r}{b}=q+\dfrac{r}{b}.$
Khi đó, ta chỉ cần thực hiện phép cộng phân số mà thôi.
Ví dụ 6: Viết hỗn số $7\dfrac{5}{9}$ thành dạng phân số.
Giải:
$7\dfrac{5}{9}=7+\dfrac{5}{9}$ $=\dfrac{63}{9}+\dfrac{5}{9}$ $=\dfrac{63+5}{9}$ $=\dfrac{68}{9}.$
Bài tập:
1)- Mẹ có $15$ quả táo và muốn chia đều cho $4$ anh em.
a) Mỗi anh em được mấy quả táo và mấy phần của quả táo?
b) Dùng hỗn số để thể hiện số lượng táo mà mỗi anh em được mẹ chia cho.
2)-
a) Đổi $\dfrac{39}{7}$ ra dạng hỗn số.
b) Đổi $9\dfrac{2}{5}$ ra dạng phân số.
4)-
a) So sánh $3\dfrac{5}{9}$ và $\dfrac{10}{3}.$
b) Tính: $8\dfrac{2}{7}+\dfrac{4}{5}-7\dfrac{2}{7}.$
5)- Hai xe ô tô cùng đi được quãng đường $100$ km, xe taxi chạy trong $1\dfrac{1}{5}$ giờ và xe tải chạy trong $70$ phút.
a) Dùng hỗn số để thể hiện thời gian xe tải chạy theo đơn vị giờ.
b) So sánh vận tốc của hai xe.
Giải:
1)-
a) Vì $15:4=3$ (dư $3)$ nên mỗi anh em được $3$ quả táo và $\dfrac{3}{4}$ quả táo.
b) Số lượng táo mà mỗi anh em được mẹ chia cho là $3\dfrac{3}{4}$ quả.
2)-
a) Vì $39:7=5$ (dư $4)$ nên $\dfrac{39}{7}=5\dfrac{4}{7}.$
b) $9\dfrac{2}{5}=\dfrac{9\cdot 5+2}{5}=\dfrac{47}{5}.$
4)-
a) Ta có: $3\dfrac{5}{9}=\dfrac{3\cdot 9+5}{9}=\dfrac{32}{9}$ và $\dfrac{10}{3}=\dfrac{30}{9}.$
Mà $\dfrac{32}{9} > \dfrac{30}{9}$ nên $3\dfrac{5}{9} > \dfrac{10}{3}.$
b) Tính: $8\dfrac{2}{7}+\dfrac{4}{5}-7\dfrac{2}{7}.$
Cách 1: (Đổi tất cả hỗn số thành phân số)
Ta có: $8\dfrac{2}{7}=\dfrac{8\cdot 7+2}{7}=\dfrac{58}{7};\;\;$ $7\dfrac{2}{7}=\dfrac{7\cdot 7+2}{7}=\dfrac{51}{7}.$
Do đó: $8\dfrac{2}{7}+\dfrac{4}{5}-7\dfrac{2}{7}$ $=\dfrac{58}{7}+\dfrac{4}{5}-\dfrac{51}{7}$ $=\dfrac{58}{7}-\dfrac{51}{7}+\dfrac{4}{5}$ $=\dfrac{7}{7}+\dfrac{4}{5}$ $=1+\dfrac{4}{5}$ $=1\dfrac{4}{5}.$
Cách 2: (Viết hỗn số thành dạng tổng)
Ta có: $8\dfrac{2}{7}=8+\dfrac{2}{7}$ và $7\dfrac{2}{7}=7+\dfrac{2}{7}.$
Do đó: $8\dfrac{2}{7}+\dfrac{4}{5}-7\dfrac{2}{7}$ $=\left(8+\dfrac{2}{7}\right)+\dfrac{4}{5}-\left(7+\dfrac{2}{7}\right)$ $=8+\dfrac{2}{7}+\dfrac{4}{5}-7-\dfrac{2}{7}$ $=(8-7)+\left(\dfrac{2}{7}-\dfrac{2}{7}\right)+\dfrac{4}{5}$ $=1+0+\dfrac{4}{5}$ $=1+\dfrac{4}{5}$ $=1\dfrac{4}{5}.$
5)-
a) Thời gian xe tải chạy theo đơn vị giờ là: $\dfrac{70}{60}=\dfrac{7}{6}=1\dfrac{1}{6}$ (giờ).
b) So sánh vận tốc hai xe:
Cách 1: (Tính vận tốc rồi so sánh)
Thời gian xe taxi chạy là: $1\dfrac{1}{5}=\dfrac{1\cdot 5+1}{5}=\dfrac{6}{5}$ (giờ).
Vận tốc của xe taxi là: $100:\dfrac{6}{5}=100\cdot\dfrac{5}{6}=\dfrac{250}{3}$ (km/h).
Thời gian xe tải chạy là: $1\dfrac{1}{6}=\dfrac{1\cdot 6+1}{6}=\dfrac{7}{6}$ (giờ).
Vận tốc của xe tải là: $100:\dfrac{7}{6}=100\cdot\dfrac{6}{7}=\dfrac{600}{7}$ (km/h).
Ta có $\dfrac{250}{3}=\dfrac{1\;750}{21};$ $\dfrac{600}{7}=\dfrac{1\;800}{21};$ $\dfrac{1\;750}{21} < \dfrac{1\;800}{21}.$
Do đó: $\dfrac{250}{3} < \dfrac{600}{7}.$
Vậy vận tốc xe taxi nhỏ hơn vận tốc xe tải.
Cách 2: (Dùng lập luận)
Với cùng một quãng đường, xe nào chạy nhanh hơn (tức là thời gian chạy ngắn hơn) thì vận tốc lớn hơn. Do đó, ta chỉ cần so sánh thời gian chạy của hai xe.
Thời gian xe taxi chạy là $1\dfrac{1}{5}=1+\dfrac{1}{5}$ giờ.
Thời gian xe tải chạy là $1\dfrac{1}{6}=1+\dfrac{1}{6}$ giờ.
Ta có: $\dfrac{1}{5} > \dfrac{1}{6}$ (so sánh hai phân số có cùng tử)
Suy ra: $1+\dfrac{1}{5} > 1+\dfrac{1}{6},$ hay $1\dfrac{1}{5} > 1\dfrac{1}{6}.$
Vậy xe taxi chạy trong thời gian lâu (dài) hơn, do đó, xe taxi chạy chậm hơn.
Tức là vận tốc xe taxi nhỏ hơn vận tốc xe tải.