Khái niệm hai phân số bằng nhau.
Hai phân số được gọi là bằng nhau nếu chúng biểu diễn cùng một giá trị.
Chẳng hạn, ta có $\dfrac{15}{-3}=15:(-3)=-5$ và $\dfrac{-10}{2}=(-10):2=-5.$ Ta thấy hai phân số $\dfrac{15}{-3}$ và $\dfrac{-10}{2}$ mặc dù có cách viết khác nhau nhưng đều bằng $-5.$ Do đó, ta nói $\dfrac{15}{-3}$ và $\dfrac{-10}{2}$ là hai phân số bằng nhau, ký hiệu là $\dfrac{15}{-3}=\dfrac{-10}{2}.$
Nếu hai phân số $\dfrac{a}{b}$ và $\dfrac{c}{d}$ bằng nhau, ta viết bằng ký hiệu là $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}.$
Ví dụ 1:
a) Dùng hình vẽ để biểu diễn mỗi phân số $\dfrac{2}{3}$ và $\dfrac{4}{6}.$
b) Dựa vào các hình vẽ ở câu a), em hãy cho biết hai phân số $\dfrac{2}{3}$ và $\dfrac{4}{6}$ có bằng nhau hay không?
Hướng dẫn:
a) Để biểu diễn một phân số bằng hình vẽ, ta vẽ các ô vuông bằng nhau, trong đó:
+) mẫu số tương đương với số ô tổng cộng.
+) tử số tương đương với số ô được tô màu.
b) Nếu chồng khít hai hình lên nhau mà phần tô màu trùng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
Giải:
a)
Hình vẽ biểu diễn phân số $\dfrac{2}{3}$ là:
Hình vẽ biểu diễn phân số $\dfrac{4}{6}$ là:
b) Hai hình vẽ trên có thể chồng khít lên nhau và phần được tô màu trùng nhau nên hai phân số biểu diễn hai hình vẽ đó bằng nhau, tức là $\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6}.$
Quy tắc bằng nhau của hai phân số.
Ta thừa nhận quy tắc sau khi xem xét hai phân số có bằng nhau hay không:
Xét hai phân số $\dfrac{a}{b}$ và $\dfrac{c}{d}.$
Nếu $a\cdot d=b\cdot c$ thì $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}.$
Ngược lại, nếu $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ thì $a\cdot d=b\cdot c.$
Ví dụ 2:
a) Hai phân số $\dfrac{-2}{3}$ và $\dfrac{4}{-6}$ có bằng nhau hay không? Vì sao?
b) Hai phân số $\dfrac{8}{-7}$ và $\dfrac{9}{-8}$ có bằng nhau hay không? Vì sao?
Giải:
a) Ta có $(-2)\cdot(-6)=3\cdot 4$ (đều bằng $12).$
Do đó $\dfrac{-2}{3}=\dfrac{4}{-6}.$
b) Ta thấy $8\cdot(-8)=-64$ và $(-7)\cdot 9=-63$ nên $8\cdot(-8)\neq (-7)\cdot 9.$
Do đó $\dfrac{8}{-7}\neq \dfrac{9}{-8}.$
Ví dụ 3: Tìm số nguyên $x,$ biết:
a) $\dfrac{x}{6}=\dfrac{2}{3}.$
b) $\dfrac{-8}{x}=\dfrac{2}{-5}.$
Giải:
a) Để $\dfrac{x}{6}=\dfrac{2}{3}$ thì $x\cdot 3=6\cdot 2.$
Do đó, $x\cdot 3=12.$ Dẫn đến $x=12:3=4.$
Vậy $x=4.$
b) Để $\dfrac{-8}{x}=\dfrac{2}{-5}$ thì $(-8)\cdot(-5)=x\cdot 2.$
Do đó, $40=x\cdot 2.$ Dẫn đến $x=40:2=20.$
Vậy $x=20.$
Bài tập:
1)- Mỗi cặp phân số sau đây có bằng nhau không? Vì sao?
a) $\dfrac{2}{3}$ và $\dfrac{3}{9}.$
b) $\dfrac{-7}{-4}$ và $\dfrac{14}{8}.$
c) $\dfrac{1}{9}$ và $\dfrac{3}{11}.$
d) $\dfrac{4}{-9}$ và $\dfrac{-8}{18}.$
2)- Tìm số nguyên $x,$ biết:
a) $\dfrac{x}{-15}=\dfrac{-2}{5}.$
b) $\dfrac{-7}{-5}=\dfrac{14}{x}.$
c) $\dfrac{x}{-5}=4.$
d) $\dfrac{8}{x}=-2.$
3)- Tìm số nguyên $x,$ biết:
a) $\dfrac{2x}{9}=\dfrac{2}{3}.$
b) $\dfrac{x+1}{15}=-2.$
4)- Tìm các số nguyên $x,y,$ biết: $\dfrac{-10}{15}=\dfrac{x}{-9}=\dfrac{-8}{y}.$
Giải:
1)-
a) $\dfrac{2}{3}\neq\dfrac{3}{9}$ vì $2\cdot 9\neq 3\cdot 3.$
b) $\dfrac{-7}{-4}=\dfrac{14}{8}$ vì $(-7)\cdot 8=(-4)\cdot 14$ (đều bằng $56).$
c) $\dfrac{1}{9}\neq\dfrac{3}{11}$ vì $1\cdot 11\neq 9\cdot 3.$
d) $\dfrac{4}{-9}=\dfrac{-8}{18}$ vì $4\cdot 18=(-9)\cdot(-8)$ (đều bằng $72).$
2)-
a) Muốn $\dfrac{x}{-15}=\dfrac{-2}{5}$ thì $x\cdot 5=(-15)\cdot(-2),$ hay $x\cdot 5=30.$ Dẫn đến $x=30:5=6.$
b) Muốn $\dfrac{-7}{-5}=\dfrac{14}{x}$ thì $(-7)\cdot x=(-5)\cdot 14,$ hay $(-7)\cdot x=-70.$ Dẫn đến $x=(-70):(-7)=10.$
c) Muốn $\dfrac{x}{-5}=4$ thì $x=(-5)\cdot 4=-20.$
d) Muốn $\dfrac{8}{x}=-2$ thì $8=x\cdot(-2).$ Dẫn đến $x=8:(-2)=-4.$
3)-
a) Muốn $\dfrac{2x}{9}=\dfrac{2}{3}$ thì $(2x)\cdot 3=9\cdot 2,$ hay $(2x)\cdot 3=18.$ Dẫn đến $2x=18:3=6.$
Muốn $2x=6$ thì $x=6:2=3.$
b) Muốn $\dfrac{x+1}{15}=-2$ thì $x+1=15\cdot(-2),$ hay $x+1=-30.$ Dẫn đến $x=-30-1=-31.$
4)- Vì $\dfrac{x}{-9}=\dfrac{-10}{15}$ nên $x\cdot 15=(-9)\cdot(-10),$ hay $x\cdot 15=90.$ Dẫn đến $x=90:15=6.$
Vì $\dfrac{-10}{15}=\dfrac{-8}{y}$ nên $(-10)\cdot y=15\cdot(-8),$ hay $(-10)\cdot y=-120.$ Dẫn đến $y=(-120):(-10)=12.$