Tính chất cơ bản của phân số.
(Tính chất 1) Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác $0$ thì ta được một phân số bằng phân số đã cho.
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\cdot m}{b\cdot m}$ với $m\in\mathbb{Z}, m\neq 0.$
(Tính chất 2) Nếu chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung của chúng thì ta được một phân số bằng phân số đã cho.
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a:n}{b:n}$ với $n\in ƯC(a,b).$
Chẳng hạn:
$\dfrac{4}{5}=\dfrac{4\cdot 3}{5\cdot 3}=\dfrac{12}{15}.$
$\dfrac{-6}{8}=\dfrac{(-6):(-2)}{8:(-2)}=\dfrac{3}{-4}.$
Ví dụ 1: Thay $(?)$ bằng số thích hợp:
a) $\dfrac{5}{-7}=\dfrac{5\cdot(-2)}{(-7)\cdot(?)}=\dfrac{(?)}{14}.$
b) $\dfrac{-12}{-16}=\dfrac{(-12):(?)}{(-16):(-4)}=\dfrac{3}{(?)}.$
Giải:
a) $\dfrac{5}{-7}=\dfrac{5\cdot(-2)}{(-7)\cdot(-2)}=\dfrac{-10}{14}.$
b) $\dfrac{-12}{-16}=\dfrac{(-12):(-4)}{(-16):(-4)}=\dfrac{3}{(4)}.$
Ví dụ 2: Viết các phân số sau thành phân số bằng nó và có mẫu là số dương: $\dfrac{3}{-7};$ $\dfrac{-2}{-3}.$
Hướng dẫn:
Áp dụng Tính chất 1, ta nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với $-1.$
Giải:
+) $\dfrac{3}{-7}=\dfrac{3\cdot(-1)}{(-7)\cdot(-1)}=\dfrac{-3}{7}.$
+) $\dfrac{-2}{-3}=\dfrac{(-2)\cdot(-1)}{(-3)\cdot(-1)}=\dfrac{2}{3}.$
Mẹo: Để đưa phân số có mẫu âm về dạng phân số bằng nó có mẫu dương, ta đổi dấu cả tử và mẫu của phân số đó.
Rút gọn phân số.
Để rút gọn một phân số, ta chia cả tử và mẫu của phân số đó cho cùng một ước chung khác $1$ và $-1.$ (dựa vào Tính chất 2 vừa học)
Chẳng hạn:
+) $\dfrac{-8}{12}=\dfrac{(-8):(-2)}{12:(-2)}=\dfrac{4}{-6}.$
+) $\dfrac{4}{-6}=\dfrac{4:2}{(-6):2}=\dfrac{2}{-3}.$
+) $\dfrac{-14}{21}=\dfrac{(-14):7}{21:7}=\dfrac{-2}{3}.$
Ta có nhận xét:
- phân số $\dfrac{4}{-6}$ vẫn còn rút gọn được nữa $\left(\dfrac{4}{-6}=\dfrac{4:2}{(-6):2}=\dfrac{2}{-3}\right) .$
- các phân số $\dfrac{2}{-3}$ và $\dfrac{-2}{3}$ không thể rút gọn được nữa (vì tử và mẫu của mỗi phân số đó không có ước chung nào khác $1$ và $-1).$ Chúng được gọi là các phân số tối giản.
Phân số tối giản là phân số mà tử và mẫu chỉ có ước chung là $1$ và $-1$ (mà không còn ước chung nào khác).
Ví dụ 3: Trong các phân số $\dfrac{20}{-30};\dfrac{11}{12},$ phân số nào là phân số tối giản? Nếu chưa là tối giản, hãy rút gọn chúng.
Giải:
+) Xét phân số $\dfrac{20}{-30}:$
Ta thấy $20$ và $-30$ có ước chung là $2$ khác $1$ và $-1,$ nên $\dfrac{20}{-30}$ không phải là phân số tối giản.
Ta rút gọn nó về tối giản: $\dfrac{20}{-30}=\dfrac{20:10}{(-30):10}=\dfrac{2}{-3}.$
+) Xét phân số $\dfrac{11}{12}:$
Ta thấy $11$ và $12$ chỉ có ước chung là $1$ và $-1$ nên $\dfrac{11}{12}$ là phân số tối giản.
Muốn rút gọn một phân số (chưa tối giản) về dạng tối giản, ta chỉ cần chia cả tử và mẫu của phân số đó cho $ƯCLN$ của chúng.
Ví dụ 4: Rút gọn phân số $\dfrac{-24}{36}$ về dạng tối giản.
Giải:
Ta có: $24=2^3\cdot 3$ và $36=2^2\cdot 3^2.$
Thừa số chung là $2$ (có số mũ nhỏ nhất là $2)$ và $3$ (có số mũ nhỏ nhất là $1).$
Do đó: $ƯCLN(24,36)=2^2\cdot 3^1=12.$
Rút gọn phân số: $\dfrac{-24}{36}=\dfrac{(-24):12}{36:12}=\dfrac{-2}{3}.$
Quy đồng mẫu nhiều phân số.
Áp dụng Tính chất 1, ta có thể biến đổi các phân số về dạng có mẫu giống nhau (gọi là Quy đồng mẫu) bằng cách nhân tử và mẫu của mỗi phân số với số nguyên thích hợp.
Chẳng hạn:
+) $\dfrac{7}{-6}=\dfrac{7\cdot (-5)}{(-6)\cdot (-5)}=\dfrac{-35}{30}.$
+) $\dfrac{-15}{10}=\dfrac{(-15)\cdot 3}{10\cdot 3}=\dfrac{-45}{30}.$
(Ta thấy các phân số $\dfrac{7}{-6}$ và $\dfrac{-15}{10}$ đã được biến đổi thành $\dfrac{-35}{30}$ và $\dfrac{-45}{30}$ có cùng mẫu chung là $30).$
Ví dụ 5: Quy đồng mẫu những phân số sau: $\dfrac{-4}{25};$ $\dfrac{7}{-10};$ $\dfrac{-11}{-15}.$
Giải:
Ta có: $\dfrac{7}{-10}=\dfrac{-7}{10};$ $\dfrac{-11}{-15}=\dfrac{11}{15}.$
$BCNN(25,10,15)=150.$ (Chọn mẫu chung là $150.)$
Các thừa số phụ: $150:25=6;$ $150:10=15;$ $150:15=10.$
$\star) \dfrac{-4}{25}=\dfrac{(-4)\cdot 6}{25\cdot 6}=\dfrac{-24}{150};$
$\star)\dfrac{7}{-10}=\dfrac{-7}{10}=\dfrac{(-7)\cdot 15}{10\cdot 15}=\dfrac{-105}{150}.$
$\star)\dfrac{-11}{-15}=\dfrac{11}{15}=\dfrac{11\cdot 10}{15\cdot 10}=\dfrac{110}{150}.$
Bài tập:
1)- Rút gọn mỗi phân số sau về phân số tối giản:
a) $\dfrac{-25}{50}.$
b) $\dfrac{18}{-42}.$
2)- Rút gọn:
a) $\dfrac{2\cdot 3\cdot 5}{3\cdot 7\cdot 2}.$
b) $\dfrac{15\cdot 8}{4\cdot 21}.$
3)- Quy đồng mẫu các phân số sau: $\dfrac{-5}{-7};$ $\dfrac{2}{21};$ $\dfrac{3}{-14}.$
Giải:
1)-
a) $\dfrac{-25}{50}.$
$ƯCLN(25,50)=25.$
$\dfrac{-25}{50}=\dfrac{(-25):25}{50:25}=\dfrac{-1}{2}.$
b) $\dfrac{18}{-42}.$
$ƯCLN(18,42)=6.$
$\dfrac{18}{-42}=\dfrac{18:6}{(-42):6}=\dfrac{3}{-7}.$
2)-
a) $\dfrac{2\cdot 3\cdot 5}{3\cdot 7\cdot 2}=\dfrac{(2\cdot 3\cdot 5):(2\cdot 3)}{(3\cdot 7\cdot 2):(2\cdot 3)}=\dfrac{5}{7}.$
b) $\dfrac{15\cdot 8}{4\cdot 21}=\dfrac{(15\cdot 8):(3\cdot 4)}{(4\cdot 21):(3\cdot 4)}=\dfrac{5\cdot 2}{7}=\dfrac{10}{7}.$
3)- Ta có: $\dfrac{-5}{-7}=\dfrac{5}{7};$ $\dfrac{3}{-14}=\dfrac{-3}{14}.$
$BCNN(7,21,14)=42.$ Mẫu chung là $42.$
Các thừa số phụ là: $42:7=6;$ $42:21=2;$ $42:14=3.$
Quy đồng: $\dfrac{-5}{-7}=\dfrac{5}{7}=\dfrac{5\cdot 6}{7\cdot 6}=\dfrac{30}{42};$ $\dfrac{2}{21}=\dfrac{2\cdot 2}{21\cdot 2}=\dfrac{4}{42};$ $\dfrac{3}{-14}=\dfrac{-3}{14}=\dfrac{(-3)\cdot 3}{14\cdot 3}=\dfrac{-9}{42}.$