Cách so sánh hai phân số có CÙNG MẪU DƯƠNG.
Trong hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
Chẳng hạn, hai phân số $\dfrac{-5}{18}$ và $\dfrac{-1}{18}$ có cùng mẫu dương (là $18)$. Vì $-5 < -1$ nên $\dfrac{-5}{18} < \dfrac{-1}{18}.$
Ví dụ 1: So sánh:
a) $\dfrac{39}{2023}$ và $\dfrac{28}{2023}.$
b) $\dfrac{-3}{47}$ và $\dfrac{-8}{47}.$
Giải:
a) $\dfrac{39}{2023} > \dfrac{28}{2023}$ (vì $39 > 28).$
b) $\dfrac{-3}{47} > \dfrac{-8}{47}$ (vì $-3 > -8).$
Ví dụ 2: Do dịch bệnh Covid-19, trung bình mỗi tháng trong ba tháng cuối năm $2020,$ công ty A đạt lợi nhuận $\dfrac{-5}{3}$ tỷ đồng, công ty B đạt lợi nhuận $\dfrac{-2}{3}$ tỷ đồng. Công ty nào đạt lợi nhuận ít hơn?
Giải:
Ta có: $\dfrac{-5}{3} < \dfrac{-2}{3}$ (vì $-5 < -2).$
Vậy công ty A đạt lợi nhuận ít hơn.
Cách so sánh hai phân số BẤT KỲ.
Để so sánh hai phân số bất kỳ, ta đưa chúng về dạng có cùng mẫu dương rồi so sánh.
Cụ thể:
+) Với hai phân số có cùng mẫu âm, ta đưa chúng về dạng có cùng mẫu dương (bằng cách đổi dấu cả tử và mẫu) rồi so sánh.
Chẳng hạn, để so sánh $\dfrac{7}{-5}$ và $\dfrac{6}{-5},$ ta đưa chúng về dạng có cùng mẫu dương: $\dfrac{7}{-5}=\dfrac{-7}{5}$ và $\dfrac{6}{-5}=\dfrac{-6}{5}.$ Mà $\dfrac{-7}{5} < \dfrac{-6}{5}$ (vì $-7 < -6).$ Do đó, $\dfrac{7}{-5} < \dfrac{6}{-5}.$
+) Với hai phân số khác mẫu, ta quy đồng mẫu hai phân số đó (chọn mẫu chung là số dương) rồi so sánh.
Chẳng hạn, để so sánh $\dfrac{-2}{3}$ và $\dfrac{5}{-6},$ ta quy đồng chúng về cùng mẫu dương: $\dfrac{-2}{3}=\dfrac{(-2)\cdot 2}{3\cdot 2}=\dfrac{-4}{6}$ và $\dfrac{5}{-6}=\dfrac{-5}{6}.$ Mà $\dfrac{-4}{6} > \dfrac{-5}{6}$ (vì $-4 > -5).$ Do đó, $\dfrac{-2}{3} > \dfrac{5}{-6}.$
Ví dụ 3: So sánh:
a) $\dfrac{1}{-5}$ và $\dfrac{-2}{-5}.$
b) $\dfrac{7}{-15}$ và $\dfrac{-5}{6}.$
Hướng dẫn:
a) Hai phân số có cùng mẫu âm (là $-5),$ ta đưa về cùng mẫu dương rồi so sánh.
b) Hai phân số khác mẫu, ta quy đồng về cùng mẫu dương rồi mới so sánh.
Giải:
a) Ta có: $\dfrac{1}{-5}=\dfrac{-1}{5}$ và $\dfrac{-2}{-5}=\dfrac{2}{5}.$
Mà $\dfrac{-1}{5} < \dfrac{2}{5}$ (vì $-1 < 2).$
Do đó $\dfrac{1}{-5} < \dfrac{2}{5}.$
b)
+) Quy đồng mẫu các phân số về cùng mẫu dương:
$\dfrac{7}{-15}=\dfrac{-7}{15}=\dfrac{(-7)\cdot 2}{15\cdot 2}=\dfrac{-14}{30};$
$\dfrac{-5}{6}=\dfrac{(-5)\cdot 5}{6\cdot 5}=\dfrac{-25}{30}.$
+) So sánh:
Ta có: $\dfrac{-14}{30} > \dfrac{-25}{30}$ (vì $-14 > -25).$
Do đó: $\dfrac{7}{-15} > \dfrac{-5}{6}.$
Ví dụ 4: So sánh: $\dfrac{-1}{36}$ và $\dfrac{3}{-40}.$
Giải:
+) Quy đồng các phân số về cùng mẫu dương:
Viết: $\dfrac{3}{-40}=\dfrac{-3}{40}.$
Ta có: $36=2^2\cdot 3^2;$ $40=2^3\cdot 5.$
Do đó: $BCNN(36,40)=2^3\cdot 3^2\cdot 5=360.$ Vậy chọn mẫu chung là $360.$
Các thừa số phụ: $360:36=10;$ $360:40=9.$
Quy đồng:
$\dfrac{-1}{36}=\dfrac{(-1)\cdot 10}{36\cdot 10}=\dfrac{-10}{360};$
$\dfrac{3}{-40}=\dfrac{-3}{40}=\dfrac{(-3)\cdot 9}{40\cdot 9}=\dfrac{-27}{360}.$
+) So sánh:
Ta có: $\dfrac{-10}{360} > \dfrac{-27}{360}$ (vì $-10 > -27).$
Do đó: $\dfrac{-1}{36} > \dfrac{3}{-40}.$
So sánh phân số với số nguyên.
Để so sánh phân số với số nguyên, ta viết số nguyên dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân số nhận được (áp dụng những điều ta đã học ở trên).
Chẳng hạn, ta có $2=\dfrac{2}{1}=\dfrac{8}{4}.$ Mà $\dfrac{8}{4} > \dfrac{5}{4}$ (vì $8 > 5).$ Do đó, $2 > \dfrac{5}{4}.$
Ví dụ 5: So sánh $\dfrac{-11}{-5}$ với $2.$
Giải:
Ta có:
+) $\dfrac{-11}{-5}=\dfrac{11}{5},$
+) $2=\dfrac{2}{1}=\dfrac{2\cdot 5}{1\cdot 5}=\dfrac{10}{5}.$
Mà $\dfrac{11}{5} > \dfrac{10}{5}$ (vì $11 > 10).$
Do đó $\dfrac{-11}{-5} > 2.$
Bài tập:
1)- So sánh:
a) $\dfrac{-47}{55}$ và $\dfrac{-38}{55}.$
b) $\dfrac{-1}{8}$ và $\dfrac{-5}{24}.$
c) $\dfrac{-2}{-35}$ và $\dfrac{3}{49}.$
d) $-3$ và $\dfrac{14}{-5}.$
2)-
a) Thời gian nào dài hơn: $\dfrac{2}{3}$ giờ hay $\dfrac{3}{4}$ giờ?
b) Đoạn thẳng nào ngắn hơn: $\dfrac{7}{10}$ m hay $\dfrac{3}{4}$ m?
c) Khối lượng nào lớn hơn: $\dfrac{7}{8}$ kg hay $\dfrac{9}{10}$ kg?
d) Vận tốc nào nhỏ hơn: $\dfrac{5}{6}$ km/h hay $\dfrac{7}{9}$ km/h?
3)- Cho các phân số: $\dfrac{3}{7},$ $\dfrac{-5}{4},$ $\dfrac{-7}{-12},$ $\dfrac{3}{-5}.$
a) Hãy so sánh mỗi phân số trên với số $0.$
b) Biết rằng: phân số nhỏ hơn $0$ được gọi là phân số âm; phân số lớn hơn $0$ được gọi là phân số dương. Trong các phân số đã cho, đâu là phân số dương, đâu là phân số âm?
c) Hãy so sánh các phân số dương với nhau và so sánh các phân số âm với nhau.
d) Biết rằng mọi phân số âm đều nhỏ hơn mọi phân số dương. Em hãy sắp xếp các phân số đã cho theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.
4)- Lớp 6B có $\dfrac{4}{5}$ số học sinh thích bóng bàn, $\dfrac{7}{10}$ số học sinh thích bóng chuyền, $\dfrac{23}{25}$ số học sinh thích bóng đá. Môn thể thao nào được các bạn học sinh lớp 6B yêu thích nhất?
Giải:
1)-
a) $\dfrac{-47}{55} < \dfrac{-38}{55}$ (vì $-47 < -38).$
b) $\dfrac{-1}{8}$ và $\dfrac{-5}{24}.$
Ta có: $\dfrac{-1}{8}=\dfrac{(-1)\cdot 3}{8\cdot 3}=\dfrac{-3}{24}.$
Mà $\dfrac{-3}{24} > \dfrac{-5}{24}$ (vì $-3 > -5).$
Do đó $\dfrac{-1}{8} > \dfrac{-5}{24}.$
c) $\dfrac{-2}{-35}$ và $\dfrac{3}{49}.$
Quy đồng mẫu:
Viết $\dfrac{-2}{-35}=\dfrac{2}{35}.$
Ta có: $35=5\cdot 7$ và $49=7^2.$
Do đó: $BCNN(35,49)=5\cdot 7^2=245.$
Thừa số phụ: $245:35=7;$ $245:49=5.$
Quy đồng: $\dfrac{-2}{-35}=\dfrac{2}{35}=\dfrac{2\cdot 7}{35\cdot 7}=\dfrac{14}{245}$ và $\dfrac{3}{49}=\dfrac{3\cdot 5}{49\cdot 5}=\dfrac{15}{245}.$
So sánh:
Ta có: $\dfrac{14}{245} < \dfrac{15}{245}$ (vì $14 < 15).$
Suy ra: $\dfrac{-2}{-35} < \dfrac{3}{49}.$
d) $-3$ và $\dfrac{14}{-5}.$
Ta có: $-3=\dfrac{-3}{1}=\dfrac{-15}{5}$ và $\dfrac{14}{-5}=\dfrac{-14}{5}.$
Mà $\dfrac{-15}{5} < \dfrac{-14}{5}$ (vì $-15 < -14).$
Suy ra: $-3 < \dfrac{14}{-5}.$
2)-
a) Thời gian nào dài hơn: $\dfrac{2}{3}$ giờ hay $\dfrac{3}{4}$ giờ?
Ta có: $\dfrac{2}{3}=\dfrac{2\cdot 4}{3\cdot 4}=\dfrac{8}{12}$ và $\dfrac{3}{4}=\dfrac{3\cdot 3}{4\cdot 3}=\dfrac{9}{12}.$
Mà $\dfrac{8}{12} < \dfrac{9}{12}$ (vì $8 < 9).$
Suy ra $\dfrac{2}{3} < \dfrac{3}{4}.$
Vậy $\dfrac{3}{4}$ giờ dài hơn $\dfrac{2}{3}$ giờ.
b) Đoạn thẳng nào ngắn hơn: $\dfrac{7}{10}$ m hay $\dfrac{3}{4}$ m?
Ta có: $\dfrac{7}{10}=\dfrac{7\cdot 2}{10\cdot 2}=\dfrac{14}{20}$ và $\dfrac{3}{4}=\dfrac{3\cdot 5}{4\cdot 5}=\dfrac{15}{20}.$
Mà $\dfrac{14}{20} < \dfrac{15}{20}$ (vì $14 < 15).$
Suy ra $\dfrac{7}{10} < \dfrac{3}{4}.$
Vậy $\dfrac{7}{10}$ m ngắn hơn $\dfrac{3}{4}$ m.$
c) Khối lượng nào lớn hơn: $\dfrac{7}{8}$ kg hay $\dfrac{9}{10}$ kg?
Ta có: $\dfrac{7}{8}=\dfrac{7\cdot 5}{8\cdot 5}=\dfrac{35}{40}$ và $\dfrac{9}{10}=\dfrac{9\cdot 4}{10\cdot 4}=\dfrac{36}{40}.$
Mà $\dfrac{35}{40} < \dfrac{36}{40}$ (vì $35 < 36).$
Suy ra $\dfrac{7}{8} < \dfrac{9}{10}.$
Vậy $\dfrac{9}{10}$ kg lớn hơn $\dfrac{7}{8}$ kg.
d) Vận tốc nào nhỏ hơn: $\dfrac{5}{6}$ km/h hay $\dfrac{7}{9}$ km/h?
Ta có: $\dfrac{5}{6}=\dfrac{5\cdot 3}{6\cdot 3}=\dfrac{15}{18}$ và $\dfrac{7}{9}=\dfrac{7\cdot 2}{9\cdot 2}=\dfrac{14}{18}.$
Mà $\dfrac{15}{18} > \dfrac{14}{18}$ (vì $15 > 14).$
Suy ra $\dfrac{5}{6} > \dfrac{7}{9}.$
Vậy $\dfrac{7}{9}$ km/h nhỏ hơn $\dfrac{5}{6}$ km/h.
3)-
a) Ta có: $\dfrac{3}{7} > \dfrac{0}{7}=0;\;\;\;$ $\dfrac{-5}{4} < \dfrac{0}{4}=0;\;\;\;$ $\dfrac{-7}{-12}=\dfrac{7}{12} > \dfrac{0}{12}=0;\;\;\;$ $\dfrac{3}{-5}=\dfrac{-3}{5} < \dfrac{0}{5}=0.$
Vậy $\dfrac{3}{7} > 0;\;\;\;$ $\dfrac{-5}{4} < 0;\;\;\;$ $\dfrac{-7}{-12} > 0;\;\;\;$ $\dfrac{3}{-5} < 0.$
b) Các phân số dương là: $\dfrac{3}{7}; \dfrac{-7}{-12}.$
Các phân số âm là: $\dfrac{-5}{4}; \dfrac{3}{-5}.$
c)
So sánh các phân số dương với nhau: $\dfrac{3}{7}$ và $\dfrac{-7}{-12}.$
Ta có: $\dfrac{3}{7}=\dfrac{3\cdot 12}{7\cdot 12}=\dfrac{36}{84}$ và $\dfrac{-7}{-12}=\dfrac{7}{12}=\dfrac{7\cdot 7}{12\cdot 7}=\dfrac{49}{84}.$
Mà $\dfrac{36}{84} < \dfrac{49}{84}$ (vì $36 < 49).$
Suy ra: $\dfrac{3}{7} < \dfrac{-7}{-12}.$
So sánh các phân số âm với nhau: $\dfrac{-5}{4}$ và $\dfrac{3}{-5}.$
Ta có $\dfrac{-5}{4}=\dfrac{(-5)\cdot 5}{4\cdot 5}=\dfrac{-25}{20}$ và $\dfrac{3}{-5}=\dfrac{-3}{5}=\dfrac{(-3)\cdot 4}{5\cdot 4}=\dfrac{-12}{20}.$
Mà $\dfrac{-25}{20} < \dfrac{-12}{20}$ (vì $-25 < -12).$
Suy ra $\dfrac{-5}{4} < \dfrac{3}{-5}.$
d) Sắp xếp các phân số đã cho theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: $\dfrac{-5}{4} < \dfrac{3}{-5} < \dfrac{3}{7} < \dfrac{-7}{-12}.$
4)- Ta cần so sánh các phân số $\dfrac{4}{5},$ $\dfrac{7}{10}$ và $\dfrac{23}{25}.$
Quy đồng mẫu các phân số:
Ta có: $5$ là số nguyên tố, $10=2\cdot 5$ và $25=5^2.$
Do đó: $BCNN(5, 10, 25)=2\cdot 5^2=50.$
Thừa số phụ: $50:5=10;\;\;$ $50:10=5;\;\;$ $50:25=2.$
Quy đồng:
$\dfrac{4}{5}=\dfrac{4\cdot 10}{5\cdot 10}=\dfrac{40}{50};$
$\dfrac{7}{10}=\dfrac{7\cdot 5}{10\cdot 5}=\dfrac{35}{50};$
$\dfrac{23}{25}=\dfrac{23\cdot 2}{25\cdot 2}=\dfrac{46}{50}.$
So sánh:
Ta có: $\dfrac{35}{50} < \dfrac{40}{50} < \dfrac{46}{50}$ (vì $35 < 40 < 46).$
Suy ra: $\dfrac{7}{10} < \dfrac{4}{5} < \dfrac{23}{25}.$
Kết luận: Môn bóng đá được yêu thích nhất.