Số đối của phân số.
Hai phân số được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng $0.$
Ví dụ 1: Mỗi cặp phân số sau đây có phải là hai phân số đối nhau không? Vì sao?
a) $\dfrac{3}{7}$ và $\dfrac{4}{7}.$
b) $\dfrac{5}{20}$ và $\dfrac{1}{-4}.$
Hướng dẫn:
Muốn biết hai phân số có đối nhau hay không, ta thực hiện cộng hai phân số đó: nếu kết quả bằng $0$ thì hai phân số đó đối nhau, nếu kết quả khác $0$ thì hai phân số đó không đối nhau.
Giải:
a) Ta có: $\dfrac{3}{7}+\dfrac{4}{7}=\dfrac{3+4}{7}$ $=\dfrac{7}{7}$ $=1\neq 0.$
Suy ra: $\dfrac{3}{7}$ và $\dfrac{4}{7}$ không phải là hai phân số đối nhau.
b) Ta có: $\dfrac{5}{20}+\dfrac{1}{-4}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{-1}{4}$ $=\dfrac{1+(-1)}{4}=0.$
Suy ra: $\dfrac{5}{20}$ và $\dfrac{1}{-4}$ là hai phân số đối nhau.
Nếu hai phân số đối nhau thì phân số này là số đối của phân số kia và ngược lại.
Số đối của phân số $\dfrac{a}{b}$ được ký hiệu là $-\dfrac{a}{b}.$
Ta có: $\dfrac{a}{b}+\left(-\dfrac{a}{b}\right)=0.$
Chẳng hạn, $\dfrac{2}{5}$ và $\dfrac{-2}{5}$ là hai phân số đối nhau (vì $\dfrac{2}{5}+\dfrac{-2}{5}=\dfrac{2+(-2)}{5}=0).$
Do đó, ta viết bằng ký hiệu là: $-\dfrac{2}{5}=\dfrac{-2}{5}.$
Ví dụ 2:
a) Em hãy chứng tỏ rằng $\dfrac{-2}{9}$ và $\dfrac{2}{-9}$ đều là số đối của $\dfrac{2}{9}.$
b) Hãy giải thích vì sao ta có: $-\dfrac{2}{9}=\dfrac{-2}{9}=\dfrac{2}{-9}.$
Giải:
a) Vì $\dfrac{-2}{9}+\dfrac{2}{9}=\dfrac{2+(-2)}=0$ nên $\dfrac{-2}{9}$ là số đối của $\dfrac{2}{9}.$
Tương tự, vì $\dfrac{2}{-9}+\dfrac{2}{9}=\dfrac{-2}{9}+\dfrac{2}{9}=0$ nên $\dfrac{2}{-9}$ là số đối của $\dfrac{2}{9}.$
b) Dựa theo câu a, ta có $\dfrac{-2}{9}$ là số đối của $\dfrac{2}{9}.$ Do đó: $-\dfrac{2}{9}=\dfrac{-2}{9}.$
Cũng vậy, ta có $\dfrac{2}{-9}$ là số đối của $\dfrac{2}{9}.$ Do đó: $-\dfrac{2}{9}=\dfrac{2}{-9}.$
Vậy $-\dfrac{2}{9}=\dfrac{-2}{9}=\dfrac{2}{-9}.$
Lưu ý:
+) Từ ví dụ 2, ta có nhận xét: $-\dfrac{a}{b}=\dfrac{-a}{b}=\dfrac{a}{-b}.$
+) Số đối của $-\dfrac{a}{b}$ là $\dfrac{a}{b}.$ Tức là: $-\left(-\dfrac{a}{b}\right)=\dfrac{a}{b}.$
+) Trừ cho một phân số chính là cộng với số đối của nó: $\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d} =\dfrac{a}{b}+\left(-\dfrac{c}{d}\right).$
Ví dụ 3: Tính: $\left(-\dfrac{3}{4}\right)+\dfrac{1}{2}.$
Giải:
Vì $-\dfrac{3}{4}=\dfrac{-3}{4}$ nên:
$\left(-\dfrac{3}{4}\right)+\dfrac{1}{2}$ $=\dfrac{-3}{4}+\dfrac{1}{2}$ $=\dfrac{-3}{4}+\dfrac{1}{4}$ $=\dfrac{(-3)+1}{4}$ $=\dfrac{-2}{4}$ $=\dfrac{-1}{2}.$
Quy tắc dấu ngoặc.
Quy tắc dấu ngoặc đối với phân số giống như quy tắc dấu ngoặc đối với số nguyên:
- Khi bỏ dấu ngoặc kèm theo dấu cộng $(+)$ đằng trước, ta giữ nguyên dấu các số hạng trong ngoặc.
- Khi bỏ dấu ngoặc kèm theo dấu trừ $(-)$ đằng trước, ta đổi dấu các số hạng trong ngoặc.
Chẳng hạn: $+\left(\dfrac{3}{9}-\dfrac{7}{4}\right)=\dfrac{3}{9}-\dfrac{7}{4};\;\;\;$ $-\left(\dfrac{1}{6}-\dfrac{4}{21}\right)=-\dfrac{1}{6}+\dfrac{4}{21}.$
Lưu ý: Thứ tự khi thực hiện các phép tính với phân số tương tự như khi thực hiện các phép tính với số nguyên.
Ví dụ 4: Bỏ dấu ngoặc rồi tính:
a) $A=\dfrac{1}{2}+\left(-\dfrac{1}{3}\right)-\left(-\dfrac{1}{4}\right).$
b) $B=\dfrac{1}{8}-\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{8}\right).$
Giải:
a) $A=\dfrac{1}{2}+\left(-\dfrac{1}{3}\right)-\left(-\dfrac{1}{4}\right)$ $=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}$
Mà $\dfrac{1}{2}=\dfrac{1\cdot 6}{2\cdot 6}=\dfrac{6}{12};\;\;\;$ $\dfrac{1}{3}=\dfrac{1\cdot 4}{3\cdot 4}=\dfrac{4}{12};\;\;\;$ $\dfrac{1}{4}=\dfrac{1\cdot 3}{4\cdot 3}=\dfrac{3}{12}.$
Vậy $A=\dfrac{6}{12}-\dfrac{4}{12}+\dfrac{3}{12}$ $=\dfrac{6-4+3}{12}$ $=\dfrac{5}{12}.$
b) $B=\dfrac{1}{8}-\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{8}\right)$ $=\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{8}$ $=\dfrac{1}{8}-\dfrac{4}{8}+\dfrac{3}{8}$ $=\dfrac{1-4+3}{8}$ $=\dfrac{0}{8}$ $=0.$
Bài tập:
1)- Chứng tỏ rằng:
a) $\dfrac{-2023}{-2024}$ là số đối của $\dfrac{-2023}{2024}.$
b) $-\dfrac{-9}{8}=-\dfrac{9}{-8}.$
2)- Bỏ dấu ngoặc rồi tính: $-\left(\dfrac{3}{-5}+\dfrac{1}{2}\right)+\left(-\dfrac{1}{5}\right).$
Giải:
1)-
a) Ta có: $\dfrac{-2023}{-2024}+\dfrac{-2023}{2024}$ $=\dfrac{2023}{2024}+\dfrac{-2023}{2024}$ $=\dfrac{2023+(-2023)}{2024}$ $=\dfrac{0}{2024}$ $=0.$
Do đó $\dfrac{-2023}{-2024}$ và $\dfrac{-2023}{2024}$ là hai số đối nhau.
Vậy $\dfrac{-2023}{-2024}$ là số đối của $\dfrac{-2023}{2024}.$
b) Ta có: $-\dfrac{-9}{8}=\dfrac{-(-9)}{8}=\dfrac{9}{8}$ và $-\dfrac{9}{-8}=\dfrac{9}{-(-8)}=\dfrac{9}{8}.$
Do đó $-\dfrac{-9}{8}=-\dfrac{9}{-8}$ (đều bằng $\dfrac{9}{8}).$
2)-
$-\left(\dfrac{3}{-5}+\dfrac{1}{2}\right)+\left(-\dfrac{1}{5}\right)$ $=-\dfrac{3}{-5}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}$ $=\dfrac{-3}{-5}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}$ $=\dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}$ $=\dfrac{6}{10}-\dfrac{5}{10}-\dfrac{2}{10}$ $=\dfrac{6-5-2}{10}$ $=\dfrac{-1}{10}.$